dimensionamento de pilar

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CURSO: ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CONCRETO ARMADO III
PROFESSORA: PATRÍCIA PEREIRA
pati_gaia@yahoo.com.br
SEMESTRE: 02/2016 
REVISÃO
Dimensionar o Pilar P1. Sabendo-se que o pilar possui 3,20m de
comprimento e que esquema estrutural proposto refere-se a um edifício
de 6 pavimentos. Classe de Concreto C25. Cargas e vãos da vigas
apoiadas em P1 seguem conforme tabela.
Identificação q ( KN/m ) Le ( cm) Seção ( cm ) 
V1-a ( Apoios P1 e P2 ) 28 465 14 x 40V1-a ( Apoios P1 e P2 ) 28 465 14 x 40
V4-b ( Apoios P1 e P4 ) 25 400 14 x 40
2
ESQUEMA ESTRUTURAL PROPOSTO
3
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO DO PILAR
a – O que é pré-dimensionamento ?
b – O que é seção transversal do pilar ?
c – Qual o método utilizado ?
4
ÁREA DE INFLUÊNCIA
5
ÁREA DE INFLUÊNCIA
6
ÁREA DE INFLUÊNCIA
7
ÁREA DE INFLUÊNCIA
8
²04,510,2*40,2 MA ==
qAP *=
Carga de um Pavimento em P1
Área de Influência de P1 Carga de 6 Pavimentos em P1
pavimentosnPNk º*=
KNNk 40,3026*4,50 ==
Carga de projeto de 6 pavimentos
CÁLCULO DA CARGA DO PILAR POR ÁREA DE 
INFLUÊNCIA
qAP *=
KNP 4,5010*04,5 == kfnd NN **γγ=
KNNd 36,42340,302*4,1*1 ==
9
0,40,5f
1,5NA
ck
d
c
+
=
Área da seção do Pilar
Tipo/Classificação do Pilar
DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO DO PILAR
Pilar de Canto
Seções Possíveis
� 26 x 15 = 390 cm²
� 25 x 15 = 375 cm²
� 30 x 14 = 420 cm²
0,42,5*0,5
423,36*1,5Ac
+
=
cminc Acm²87,384A ≥=
� 30 x 14 = 420 cm²
� 35 x 12 = 420 cm²
10
kfnd NN **γγ=
Dimensão adotada para o Pilar P1
CÁLCULO DA FORÇA NORMAL DE COMPRESSÃO ( Nd )
30 x 14 cm
Força Normal de Compressão no Pilar P1
γn= 1,25 ( dim. 14 cm tabelado ) 
KNNd 20,52940,302*4,1*25,1 ==
11
γn= 1,25 ( dim. 14 cm tabelado ) 
γf = 1,4 ( coef. De segurança ) 
SITUAÇÃO DE PROJETO DO PILAR P1
12
�Momentos Mínimos;
�Momentos de 1ª ordem;
�Momentos de 2ª ordem;
�Momentos Totais
CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES
Momentos Mínimos
)03,05,1(* hNM += )03,05,1(* hNM +=
13
)03,05,1(*min,1 xdxd hNM +=
)14*03,05,1(*20,529min,1 +=xdM
KNcmM xd 06,1016min,1 =
)03,05,1(*min,1 ydyd hNM +=
)30*03,05,1(*20,529min,1 +=ydM
KNcmM yd 08,1270min,1 =
l
I
rviga =
Eixo X 
CÁLCULO DOS MOMENTOS DE 1ª ORDEM
Efeito de pórtico da viga V1-a
Índice de rigidez relativa da Viga 
Ι= momento de inércia da seção transversal 
da viga;
ℓ = vão efetivo viga
l
r =
14
l
hb
r
w
viga 12
*
3
=
³57,160
465
12
40
*14
3
cmrviga ==
12
*
2lqMeng =
CÁLCULO DOS MOMENTOS DE 1ª ORDEM
Momento de engastamento entre viga e pilar
65,4*28 2
15
KNcmKNmMeng 504545,50
12
65,4*28 2
===
l
I
rrrpilar === infsup
CÁLCULO DOS MOMENTOS DE 1ª ORDEM
Índice de rigidez relativa do pilar
Ι= momento de inércia da seção 
transversal do pilar;
ℓ = comprimento de flambagem,
* Para pilares com seção constante 
rpilar = rsup = rinf
h3 143
16
l
hb
r
w
pilar 12
*
3
= ³875,42
2/320
12
14
*30
3
cmrpilar ==
bw ( pilar ) - dimensão perpendicular a viga considerada;
Comprimento de flambagem ( ℓ ) para o cálculo de momento de 1ª
ordem (condição bi-engastada ) - metade do comprimento do pilar.
infsupsupinf rrr
rMMM
viga
pilar
engxx
++==
CÁLCULO DOS MOMENTOS DE 1ª ORDEM
KNcmMM xx 14,878
875,4257,160875,42
875,425045supinf =
++
==
KNcmMMMM x 21,131714,87814,878sup =+=+==
17
KNcmMMMM xxbasextopox 21,1317
2
14,87814,878
2
sup
inf =+=+==
basexfnbasexdtopoxd MMM **,, γγ==
21,1317*4,1*25,1,, == basexdtopoxd MM
xdbasexdtopoxd MKNcmMM min,1,, 13,2305 ≥==
l
I
rviga =
Eixo y 
CÁLCULO DOS MOMENTOS DE 1ª ORDEM
Efeito de pórtico da viga V4-b
Índice de rigidez relativa da Viga 
Ι= momento de inércia da seção transversal 
da viga;
ℓ = vão efetivo viga
l
r =
18
l
hb
r
w
viga 12
*
3
=
³67,186
400
12
40
*14
3
cmrviga ==
12
*
2lqMeng =
CÁLCULO DOS MOMENTOS DE 1ª ORDEM
Momento de engastamento entre viga e pilar
0,4*25 2
19
KNcmKNmMeng 333333,33
12
0,4*25 2
===
l
I
rrrpilar === infsup
CÁLCULO DOS MOMENTOS DE 1ª ORDEM
Índice de rigidez relativa do pilar
Ι= momento de inércia da seção 
transversal do pilar;
ℓ = comprimento de flambagem,
* Para pilares com seção constante 
rpilar = rsup = rinf
h3 303
20
l
hb
r
w
pilar 12
*
3
= ³88,196
2/320
12
30
*14
3
cmrviga ==
bw ( pilar ) - dimensão perpendicular a viga considerada;
Comprimento de flambagem ( ℓ ) para o cálculo de momento de 1ª
ondem (condição bi-engastada ) - metade do comprimento do pilar.
infsupsupinf rrr
rMMM
viga
pilar
engyy
++==
CÁLCULO DOS MOMENTOS DE 1ª ORDEM
KNcmMM yy 54,1130
88,19667,18688,196
88,1963333supinf =
++
==
KNcmMMMM y 81,169554,113054,1130sup =+=+==
21
KNcmMMMM yybaseytopoy 81,1695
2
54,113054,1130
2
sup
inf =+=+==
baseyfnbaseydtopoyd MMM **,, γγ==
81,1695*4,1*25,1,, == baseydtopoyd MM
ydbaseydtopoyd MKNcmMM min,1,, 67,2967 ≥==
d
x
N
dM1
e1 =
CÁLCULO DOS EXCENTRICIDADES DE 1ª ORDEM
cmx 36,4
20,529
13,2305
e1 ==
22
d
y
N
dM1
e1 =
cmy 61,5
20,529
67,2967
e1 ==
CÁLCULO DOS MOMENTOS DEVIDO A EFEITOS DE 2ª ORDEM 
x
x
h
l*46,3
=λ
Índice de esbeltez do pilar
Eixo x 
08,79
14
320*46,3
==xλ
Índice de esbeltez limite
1xe*5,1225 + 4,04,06,0 ≥+= BMα
Menor valor
Sinal oposto a MA
23
b
x
α
λ x
1x
1 h
e*5,1225 +
=
4,04,06,0 ≥+=
A
B
b
M
M
α Maior valor
4,02,0
13,2305
)13,2305(4,06,0 ≥=−+=bα
4,0=bα23,72
4,0
14
36,4*5,1225
1 =
+
=xλ
xx 108,79 λλ >= Considerar momento de 2ª ordem
CÁLCULO DOS MOMENTOS DEVIDO A EFEITOS DE 2ª ORDEM 
y
y
h
l*46,3
=λ
Índice de esbeltez do pilar
Eixo y 
90,36
30
320*46,3
==yλ
Índice de esbeltez limite
1ye*5,1225 + 4,04,06,0 ≥+= BMα
Menor valor
Sinal oposta a MA
24
b
y
α
λ y
1y
1
h
e*5,1225 +
=
4,04,06,0 ≥+=
A
B
b
M
M
α Maior valor
4,02,0
67,2967
)67,2967(4,06,0 ≥=−+=bα
4,0=bα34,68
4,0
30
61,5*5,1225
1 =
+
=yλ
yy 190,36 λλ <= Não considerar momento de 2ª ordem
CÁLCULO DOS MOMENTOS TOTAIS 
r
lNMM ddbtotalxd 1*
10
**
2
1, +=α
Eixo x 
ℓ = comprimento do pilar;
M1d = momento de 1ª ordem;
1/r = curvatura na dir. considerada;
ν = força normal adimensional.
)5,0(
005,01
+
=
νxhr
71,020,529 === dNν000295,0005,01 ==
25
71,0
4,1/5,2*14*30*
===
cdc fAν000295,0)5,071,0(14
005,01
=
+
=
r
000295,0*
10
320
*20,52913,2305*4,0
2
, +=totalxdM
≥= KNcmM totalxd 66,2520, KNcmM
KNcmM
d
d
06,1016
13,2305
min,1
1
=
=
CÁLCULO DOS MOMENTOS TOTAIS 
KNcmMKNcmMM dydtotalyd 08,1270167,2967 min,,1, =≥==
Eixo y 
KNcmM totalyd 67,2967, =
26