03 Exercicio Geometria Analitica I

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UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
Professora: E´rica Maceˆdo Semestre: 2015.2 Data: 17.03.2016
Aluno:
Roteiro de Estudos 03 - Geometria Anal´ıtica I
Orientac¸o˜es
• Assistir Vı´deos de Conteu´do: Produtos - Vetorial e Misto.
• Material de Suporte
– Material Complementar (Apostila de Vetores):
Pgs 26 a` 37.
– Mo´dulo 02: Aula 06, 08, 09 e 10.
1 Produto Vetorial
Definic¸a˜o 1. Sejam ~u e ~v vetores na˜o colineares. O
produto escalar de ~u por ~v , indicado por ~u × ~v, e´ um
vetor tal que:
a. | ~u× ~v |=| ~u | · | ~v | ·sen(~u,~v).
b. A direc¸a˜o de ~u × ~v e´ ortogonal a um plano que
conte´m representantes dos vetores ~u e ~v.
c. A base {~u,~v, ~u× ~v} e´ positiva.
1.1 Expressa˜o Cartesiana
Fixada a base ortonormal {~i,~j,~k}, e dados os vetores
~u = (a1, a2, a3) e ~v = (b1, b2, b3) temos:
~u× ~v =
∣∣∣
∣∣∣∣∣
∣
~i ~j ~k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣
∣∣∣∣∣
∣
Questa˜o 1. Dados os vetores ~u = (1, 0, 2), ~v = (−2, 1, 7)
e ~w = (3, 0, 6), efetue:
a. ~u× ~v
b. ~v × ~u
c. ~u× ~w
a. ~u× ~v =
∣∣
∣∣∣∣∣∣
∣
~i ~j ~k
1 0 2
−2 1 7
∣∣
∣∣∣∣∣∣
∣
= 0~i− 4~j + ~k − 7~j − 2~i+ 0~k =
−2~i− 11~j + ~k = (−2,−11, 1)
b. ~v × ~u =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣
~i ~j ~k
−2 1 7
1 0 2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣
= 2~i+ 7~j + 0~k + 4~j − 0~i− ~k =
2~i+ 11~j − ~k = (2, 11,−1)
c. ~u× ~w =
∣∣
∣∣∣∣∣
∣∣
~i ~j ~k
1 0 2
3 0 6
∣∣
∣∣∣∣∣
∣∣
= 0~i+ 6~j + 6~k − 0~j − 0~i+ 0~k =
0~i+ 0~j + 0~k = (0, 0, 0)
Questa˜o 2. Em relac¸a˜o a questa˜o anterior, compare os
resultados dos ı´tens (a) e (b). O que podemos afirmar
sobre o ı´tem (c)?
Nos ı´tens (a) e (b) percebemos que o produto vetorial
na˜o e´ comutativo. Quando trocamos a ordem do pro-
duto vetorial, encontramos vetores que sa˜o opostos. Ja´
no ı´tem (c), perceba que os vetores ~u e ~w sa˜o paralelos,
ou seja, sa˜o mu´ltiplos; nestes casos o produto vetorial
e´ sempre nulo.
Questa˜o 3. Encontre a a´rea do triaˆngulo ABC, sendo
dados A(1, 2, 1), B(0,−1, 3) e C(−2, 3, 1).
A a´rea do triaˆngulo e´ dada por A =
| ~AB × ~BC |
2
.
Temos que ~AB = B−A = (−1,−3, 2) e ~BC = C−B =
(−2, 4,−2). Assim,
~AB × ~BC =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣
~i ~j ~k
−1 −3 2
−2 4 −2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣
= 6~i− 4~j − 4~k− 2~j − 8~i−
6~k = −2~i− 6~j − 10~k = (−2,−6,−10)
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!
UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
E, | ~AB × ~BC |=| (−2,−6,−10) |=
√
(−2)2 + (−6)2 + (−10)2 = √4 + 36 + 100 =
√
140 = 2
√
35. Logo, a a´rea do triaˆngulo e´ A =
| ~AB × ~BC |
2
=
2
√
35
2
=
√
35u.a.
2 Produto Misto
Definic¸a˜o 2. Sejam ~u,~v e ~w vetores quaisquer. O
produto misto dos vetores ~u,~v e ~w, indicado por
[~u,~v, ~w], e´ o nu´mero real [~u,~v, ~w] = (~u× ~v) · ~w.
2.1 Expressa˜o Cartesiana
Dados os vetores ~u = (a1, a2, a3), ~v = (b1, b2, b3) e
~w = (c1, c2, c3) temos:
[~u,~v, ~w] =
∣∣
∣∣∣∣∣
∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣
∣∣∣∣∣
∣∣
Questa˜o 4. Dados os vetores ~u = (1, 0, 2), ~v = (−2, 1, 7)
e ~w = (3, 0, 6), efetue [~u,~v, ~w]. Estes vetores sa˜o
coplanares? Porque?
[~u,~v, ~w] =
∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1 0 2
−2 1 7
3 0 6
∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
= 6 + 0 + 0− 0− 0− 6 = 0
Os vetores sa˜o coplanares, pois o produto misto re-
sultou em 0(zero).
Questa˜o 5. Dados os vetores ~OA = (1, y, 2), ~OB =
(4, 0, 2) e ~OC = (0, 9, 3), determine o valor de y para
que o volume do tetraedro OABC seja igual a 1u.v..
�
A
�
B
�
C
�
O
Sabemos que o volume do tetraedro e´ dado por: VT =
1
6
· | [ ~OA, ~OB, ~OC] |. Temos que:
[ ~OA, ~OB, ~OC] =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣
1 y 2
4 0 2
0 9 3
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣
= 0+0+72−12y−18−0 =
−12y + 54.
Para que o volume seja igual a 1u.v., temos que VT =
1
6
· | [ ~OA, ~OB, ~OC] |
1 =
1
6
· | −12y + 54 |
| −12y + 54 |= 6
Enta˜o, −12y + 54 = 6 → −12y = −48 → y = 4 ou
−12y + 54 = −6→ −12y = −60→ y = 5.
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!