Aula 14 Crescimento e Decrescimento Teste da Primeira Derivada

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
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14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada.
Objetivos da Aula
• Definir funções crescentes e decrescentes;
• Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função;
• Apresentar e utilizar o teste da primeira derivada para determinar extremos relativos.
1 Funções Crescentes e Decrescentes
Segue a definição abaixo:
Definição 1. Sejam f : A→ B uma função e x1, x2 ∈ Df . Definimos que f é uma
(i) função crescente se x1 < x2 então f(x1) ≤ f(x2);
(ii) função sempre crescente ou estritamente crescente se x1 < x2 então f(x1) < f(x2);
(iii) função decrescente se x1 < x2 então f(x1) ≥ f(x2);
(iv) função sempre decrescente ou estritamente decrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2);
Seguem abaixo alguns exemplos.
Figura 1: Exemplo de uma função crescente.
1
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Figura 2: Exemplo de uma função estritamente crescente.
Figura 3: Exemplo de uma função estritamente decrescente.
Figura 4: Exemplo de uma função estritamente decrescente.
Observe que existem funções que não são crescentes e nem decrescentes em todo o seu domínio, ou
seja, uma mesma função pode ser crescente em uma parte do seu domínio e decrescente em outra parte.
Um exemplo de função com essa propriedade é a função quadrática, dada por f(x) = x2+
1
2
, pois note que
para x < 0 a função é decrescente e para x > 0 a função é crescente, como podemos ver no gráfico de f .
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Figura 5: Exemplo de uma função crescente e decrescente.
2 Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Uma das aplicações do Teorema do Valor Médio é a determinação dos intervalos de crescimento e de
decrescimento de uma função. O próximo teorema diz que podemos determinar os intervalos de crescimento
e decrescimento de uma função apenas analisando o sinal de sua derivada.
Teorema 1. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e diferenciável no aberto (a, b),
então:
(a) se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em [a, b].
(b) se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente nele em [a, b].
Exemplo 1. Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f(x) = x2.
Solução: Derivando a função, temos f ′(x) = 2x. Como f ′(x) = 2x > 0 para todo x > 0, então f(x)
cresce no intervalo (0,+∞). De forma análoga, como f ′(x) = 2x < 0 para todo x < 0, então f(x)
decresce no intervalo (−∞, 0).
�
Exemplo 2. Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f(x) = x3.
Solução: Derivando a função, temos f ′(x) = 3x2. Como x2 ≥ 0 para todo x, o intervalo de crescimento
é R = (−∞,+∞). Desta forma não temos intervalo de decrescimento.
�
Exemplo 3. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 3x4−4x3−12x2+5.
Solução: Derivando a função, temos:
f ′(x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x− 2)(x+ 1).
Para fazer o estudo do sinal, utilizamos o seguinte quadro
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Desse modo, f é decrescente em (−∞,−1) ∪ (0, 2) e crescente em (−1, 0) ∪ (2,+∞).
Observe graficamente:
Figura 6: Gráfico da função f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5
�
Exemplo 4. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 4x2 +
1
x
.
Solução: Note que
f ′(x) = 8x− 1
x2
=
8x3 − 1
x2
Como x2 > 0 para todo x ∈ R então o sinal de f ′ é determinado pela função que está no numerador.
Fatorando, temos que
8x3 − 1 = (2x)3 − 13 = (2x− 1)(4x2 + 2x+ 1)
Como o segundo fator é um polinômio irredutível de grau 2 e com concavidade para cima, então podemos
concluir que 4x2 + 2x + 1 > 0 para todo x ∈ R. Logo, o sinal de f ′ é determinado pelo fator 2x − 1
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que pode ser entendido como uma reta que passa pelos pontos (0,−1) e
(
1
2
, 0
)
. Logo, o sinal de f ′ e os
intervalos de crescimentos são dados pelo quadro abaixo:
Sendo assim, a função f decresce no intervalo (−∞, 0) ∪
(
0,
1
2
)
e cresce no intervalo
(
1
2
,+∞
)
.
Observe graficamente:
Figura 7: Gráfico da função f(x) = 4x2 +
1
x
�
3 Teste da Primeira Derivada
Mostramos anteriormente que se f tem um máximo ou mínimo local em c, então c deve ser um número
crítico de f , mas nem todo número crítico dá origem a um máximo ou mínimo. Consequentemente,
necessitamos de um teste que nos diga se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um certo ponto
crítico.
Teorema 2. Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua f .
1. Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo local em c.
2. Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo local em c.
3. Se f ′ não mudar de sinal em c, então f não tem máximo ou mínimo local em c.
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Exemplo 5. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x
e seus extremos relativos.
Solução: Derivando f , obtemos f ′(x) = 6x2 + 6x− 36 = 6(x− 2)(x+ 3). Os números críticos ocorrem
quando f ′(x) = 0, logo x = 2 e x = −3. Fazendo o estudo do sinal de f ′:
obtemos então que:
• f é crescente no intervalo (−∞,−3) ∪ (2,+∞)
• f é decrescente no intervalo (−3, 2)
Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada, podemos concluir que -3 é um ponto máximo relativo de f
e 2 é um mínimo relativo. Os valores da função nestes pontos, isto é, f(−3) = 81 é dito um valor máximo
relativo de f e f(2) = −44 um valor mínimo relativo. Veja um esboço do gráfico de f abaixo:
Figura 8: Gráfico da função f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x
�
Exemplo 6. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = x2e−x e seus
extremos relativos.
Solução: Calculando f ′, temos que
f ′(x) = (x2)′e−x + x2(e−x)′ = 2xe−x − x2e−x = (2− x)xe−x
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Logo, como f ′ está definida para todo x ∈ R, então os seus pontos críticos são os zeros da sua derivada.
Desse modo, como e−x > 0 para todo x ∈ R, apenas o fator (2 − x)x determinará o sinal de f ′. Logo,
utilizando o quadro abaixo:
Desse modo,
• f é decrescente no intervalo (−∞, 0) ∪ (2,+∞)
• f é crescente no intervalo (0, 2)
Pelo Teste da Primeira Derivada segue que 0 é mínimo local e 2 é máximo local. Graficamente,
Figura 9: Gráfico da função f(x) = x2e−x
�
Exemplo 7. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = x
x2+1
e seus
extremos relativos.
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Solução: Derivando f , temos que
f ′(x) =
(x)′(x2 + 1)− x(x2 + 1)′
(x2 + 1)2
=
x2 + 1− 2x2
(x2 + 1)2
= frac1− x2(x2 + 1)2
Antes de estudarmos o sinal de f ′, notamos que (x2 + 1)2 > 0 para todo x ∈ R. Logo, apenas a função
g(x) = 1− x2 determinará o sinal de f ′. Dessa forma, utilizando o quadro abaixo:
obtemos que
• f é decrescente no intervalo (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
• f é crescente no intervalo (−1, 1)
Pelo Teste da Primeira Derivada segue que −1 é mínimo local e 1 é máximo local. Graficamente,
Figura 10: Gráfico da função f(x) =
x
x2 + 1
�
Exemplo 8. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) =
√
x e seus extremos
relativos, se existirem.
Solução: Note que
f ′(x) =
1
2
√
x
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Agora, note que em x = 0 a função f ′ não está definida, porém,a função f está, pois f(0) = 0. Logo, x = 0
é um ponto crítico da função f . E, observe que f ′(x) > 0 para todo x > 0. Logo, a função f é estritamente
crescente para x > 0. Como o teste da primeira derivada necessita do sinal de f ′ antese depois do ponto
crítico, não podemos aplicá-lo nesse exemplo. Mas perceba que se a função f é estritamente crescente,
então para todo x > 0 teremos que f(x) > f(0) e assim, constatamos que x = 0 é mínimo global da
função f . Graficamente, podemos verificar esse fato no gráfico da função raiz quadrada:
Figura 11: Gráfico da função f(x) =
√
x
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 262-264 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 269-271 do livro texto.
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