Derivada-Crescimento-Decrescimento-Concavidade

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Crescimento, Decrescimento e Concavidade do Gra´fico de
Func¸o˜es
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Introduc¸a˜o
Nesta aula vamos estudar como obter informac¸o˜es sobre o gra´fico
de uma func¸a˜o atrave´s de suas derivadas.
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Teorema Rolle
Seja uma func¸a˜o f cont´ınua em [a, b], diferencia´vel em (a, b) e tal
que f (a) = f (b).
Existira´ pelo menos um c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Teorema Rolle
Seja uma func¸a˜o f cont´ınua em [a, b], diferencia´vel em (a, b) e tal
que f (a) = f (b).
Existira´ pelo menos um c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Teorema do Valor Me´dio
Seja uma func¸a˜o f cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b).
Existira´ pelo menos um c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f (b)− f (a)
b − a .
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Teorema do Valor Me´dio
Seja uma func¸a˜o f cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b).
Existira´ pelo menos um c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f (b)− f (a)
b − a .
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Intervalos de Crescimento ou Decrescimento
Seja uma func¸a˜o f cont´ınua no intervalo [a, b].
Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ crescente no
intervalo [a, b].
Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ decrescente no
intervalo [a, b].
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine os intervalos de crescimento ou
decrescimento da func¸a˜o f (x) = x4 +
4
3
x3 − 4x2 + 2.
Derivando a func¸a˜o f , obtemos
f ′(x) = 4x3 + 4x2 − 8x .
Fatorando esse polinoˆmio, obtemos:
f ′(x) = 4x(x + 2)(x − 1).
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine os intervalos de crescimento ou
decrescimento da func¸a˜o f (x) = x4 +
4
3
x3 − 4x2 + 2.
Derivando a func¸a˜o f , obtemos
f ′(x) = 4x3 + 4x2 − 8x .
Fatorando esse polinoˆmio, obtemos:
f ′(x) = 4x(x + 2)(x − 1).
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine os intervalos de crescimento ou
decrescimento da func¸a˜o f (x) = x4 +
4
3
x3 − 4x2 + 2.
Derivando a func¸a˜o f , obtemos
f ′(x) = 4x3 + 4x2 − 8x .
Fatorando esse polinoˆmio, obtemos:
f ′(x) = 4x(x + 2)(x − 1).
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Exerc´ıcio
Intervalos de decrescimento: (−∞, −2) e (0, 1).
Intervalos de crescimento: (−2, 0) e (1, +∞).
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Exerc´ıcio
Intervalos de crescimento e de decrescimento do gra´fico de
f (x) = x4 +
4
3
x3 − 4x2 + 2.
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Concavidade
Seja uma func¸a˜o f cont´ınua no intervalo [a, b].
Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f tem concavidade
para cima no intervalo [a, b].
Se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f tem concavidade
para baixo no intervalo [a, b].
Observac¸a˜o
Dizemos que P e´ um ponto de inflexa˜o se o gra´fico de f muda a
sua concavidade em P.
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Concavidade
Seja uma func¸a˜o f cont´ınua no intervalo [a, b].
Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f tem concavidade
para cima no intervalo [a, b].
Se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f tem concavidade
para baixo no intervalo [a, b].
Observac¸a˜o
Dizemos que P e´ um ponto de inflexa˜o se o gra´fico de f muda a
sua concavidade em P.
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Determine a concavidade da func¸a˜o
f (x) = x4 +
4
3
x3 − 4x2 + 2.
Calculando a segunda derivada da func¸a˜o f , obtemos
f ′′(x) = 12x2 + 8x − 8.
Estudando o sinal de f ′′, no´s obtemos:
Concavidade para cima:
(
−∞, −1−
√
7
3
)
e
(
−1+√7
3 , +∞
)
.
Concavidade para baixo:
(
−1−√7
3 ,
−1+√7
3
)
.
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Determine a concavidade da func¸a˜o
f (x) = x4 +
4
3
x3 − 4x2 + 2.
Calculando a segunda derivada da func¸a˜o f , obtemos
f ′′(x) = 12x2 + 8x − 8.
Estudando o sinal de f ′′, no´s obtemos:
Concavidade para cima:
(
−∞, −1−
√
7
3
)
e
(
−1+√7
3 , +∞
)
.
Concavidade para baixo:
(
−1−√7
3 ,
−1+√7
3
)
.
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Determine a concavidade da func¸a˜o
f (x) = x4 +
4
3
x3 − 4x2 + 2.
Calculando a segunda derivada da func¸a˜o f , obtemos
f ′′(x) = 12x2 + 8x − 8.
Estudando o sinal de f ′′, no´s obtemos:
Concavidade para cima:
(
−∞, −1−
√
7
3
)
e
(
−1+√7
3 , +∞
)
.
Concavidade para baixo:
(
−1−√7
3 ,
−1+√7
3
)
.
Crescimento, Decrescimento e Concavidade
Exerc´ıcio
Concavidade do gra´fico de f (x) = x4 +
4
3
x3 − 4x2 + 2.