Aula 04 Medidas de tendência central

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Bioestatística
Aula 04
Prof.ª Larissa
2017
Sumário
• Medidas de tendência central em amostragens
• Média aritmética simples e média aritmética ponderada
• Mediana
• Moda
Resumindo:
𝑛𝑛 = 5 Variável: altura (cm)
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
Moda = 155 Mediana = 158
Média = 160
Tendência central em amostragens – média aritmética
• Definição:
Considerando uma amostra, a média aritmética simples �̅�𝑥 é obtida dividindo-
se a soma das observações pelo número delas. Se tivermos uma série de 𝑛𝑛
valores de uma variável 𝑥𝑥, a média aritmética simples será determinada por:
�̅�𝑥 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑛𝑛
= ∑𝑖𝑖=1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑛𝑛
Simbologia: Em Estatística, é comum representar pela letra 𝒏𝒏 (minúscula) o tamanho da
amostra e por 𝑵𝑵 (maiúscula) o tamanho da população. Também é usual representar por �𝒙𝒙 a
média da amostra e por 𝝁𝝁 a média da população. Note que a forma de calcular é a mesma!
𝜇𝜇 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑥𝑁𝑁
𝑁𝑁
= ∑𝑖𝑖=1𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑁𝑁
Média populacional:Média amostral:
re
Exercícios propostos
1) Um produtor de cenouretes retira uma amostra de 6 minicenouras de
um lote de sua produção para avaliar se o comprimento delas está
dentro das especificações previstas. A tabela mostra o resultado da
medição, em 𝑐𝑐𝑐𝑐:
Qual é o valor médio obtido para esta amostra do lote?
5,5 5,6 5,2 6,5 6,6 6,6
= 5,5 + 5,6 + 5,2 + 6,5 + 6,6 + 6,66
∴ 𝑂𝑂 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑚 𝑚𝑚𝑐𝑐 6,0 𝑐𝑐𝑐𝑐.
𝑛𝑛 = 6
�̅�𝑥 = ∑𝑖𝑖=1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑛𝑛
= 366 = 6,0
re
Exercícios propostos
2) Um médico endocrinologista está testando uma dieta alimentar
associada a exercícios físicos em seus pacientes. Um dos resultados
esperados é a diminuição do nível de colesterol total (em 𝑐𝑐𝑚𝑚/𝑚𝑚𝑑𝑑). Para
poder analisar esse resultado, o médico solicitou a dez pacientes um
exame de colesterol total, obtendo os seguintes valores:
Qual é o valor médio do nível de colesterol nos pacientes observados?
200 180 150 200 190 141 160 170 174 165
= 200 + 180 + 150 + 200 + 190 + 141 + 160 + 170 + 174 + 16510
∴ 𝑂𝑂 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑣𝑣 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑑𝑑𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑚 𝑚𝑚𝑐𝑐 173𝑐𝑐𝑚𝑚/𝑚𝑚𝑑𝑑.𝑛𝑛 = 10
�̅�𝑥 = ∑𝑖𝑖=1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑛𝑛 = 173010 = 173
Tendência central em amostragens – média ponderada
• Definição:
A média aritmética ponderada 𝑥𝑥𝑝𝑝 é similar à média aritmética
simples. No entanto, é levado em consideração o peso (também
chamado de ponderação) de cada constituinte:
𝑥𝑥𝑝𝑝 = (𝑥𝑥1 × 𝑓𝑓1) + (𝑥𝑥2× 𝑓𝑓2) +⋯+ (𝑥𝑥𝑘𝑘× 𝑓𝑓𝑘𝑘)𝑓𝑓1 + 𝑓𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑓𝑘𝑘 = ∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 × 𝑓𝑓𝑖𝑖∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑖𝑖
Valores ={𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑘𝑘}
Pesos ={𝑓𝑓1, 𝑓𝑓2, … , 𝑓𝑓𝑘𝑘} Valores que compõem nossa observaçãoValores que indicam a “importância” de cada 𝑥𝑥𝑖𝑖
re
Exercícios propostos
3) Durante um curso, um aluno obteve as notas 7, 6 e 5 nas três provas
que constituem a avaliação geral do seu aprendizado. Como as provas
tinham conteúdos cumulativos, foram atribuídos pesos 2, 3 e 5,
respectivamente, a cada uma delas. Qual foi a média final deste aluno?
= 7 × 2 + 6 × 3 + (5 × 5)2 + 3 + 5
∴ 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑚𝑚𝑛𝑛𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑣𝑣 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑣𝑣𝑚𝑚 5,7.
= 5710 = 5,7
𝑥𝑥𝑝𝑝 = ∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 × 𝑓𝑓𝑖𝑖∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑖𝑖 = 14 + 18 + 2510
Tendência central em amostragens – média ponderada
• Média de distribuição de frequências:
Para uma distribuição de frequências simples, a média aritmética
ponderada 𝑥𝑥𝑝𝑝 é capaz de nos trazer a média dos constituintes da
amostra, utilizando os valores 𝑥𝑥𝑖𝑖 de ponto médio de classe e suas
frequências absolutas 𝑓𝑓𝑖𝑖, peso de cada classe.
𝑥𝑥𝑝𝑝 = ∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 × 𝑓𝑓𝑖𝑖∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑖𝑖 = ∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 × 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛
Note que o somatório de 𝑓𝑓𝑖𝑖 resulta em 𝑛𝑛 (tamanho da amostra). O
ponto médio da classe 𝑥𝑥𝑖𝑖 é a média aritmética simples entre limites
inferior e superior desta classe.
𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑐𝑐inf(𝑖𝑖) + 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑐𝑐sup(𝑖𝑖)2
re
Exercícios propostos
4) Ache a média aritmética do seguinte conjunto de dados:
𝑥𝑥𝑝𝑝 = 30.2 + 31.5 + 32.1 + 33.6 + 34.5 + (35.1)2 + 5 + 1 + 6 + 5 + 1 = 65020 = 32,5
𝑥𝑥𝑝𝑝 = ∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 × 𝑓𝑓𝑖𝑖∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑖𝑖
re
5) Qual é o valor da média aritmética para os dados abaixo?
Exercícios propostos
𝑥𝑥𝑝𝑝 = 10 + 202 . 8 + 20 + 302 . 6 + 30 + 402 . 10 + 40 + 502 . 6 + 50 + 602 . 1040
𝑥𝑥𝑝𝑝 = 120 + 150 + 350 + 270 + 55040
𝑥𝑥𝑝𝑝 = ∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 × 𝑓𝑓𝑖𝑖∑𝑖𝑖=1𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑐𝑐inf(𝑖𝑖) + 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑐𝑐sup(𝑖𝑖)2
= 36
O intervalo compreende os 
valores de 10 (inclusive) a 
20 (excluído)
Tendência central em amostragens – mediana
• Definição:
A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada
em análise de dados. No entanto, em alguns casos, a mediana 𝑀𝑀 é
adotada por trazer valores mais condizentes, principalmente em
situações em que existem valores aberrantes.
A mediana é o valor numérico que separa a metade superior de um
conjunto de dados, ordenada em rol, a partir da metade inferior.
Valores = {9 , 3 , 11 , 3 , 5}
Rol = {3 , 3 , 5 , 9 , 11}
𝑀𝑀 = 5
Para 𝑛𝑛 ímpar, como no conjunto ao lado, a mediana 
é o valor 𝑥𝑥𝑖𝑖 que ocupa a posição 𝑚𝑚 dada por: 
𝑚𝑚′ = 𝑛𝑛 + 12= 𝑥𝑥3 𝑀𝑀í𝑚𝑚𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑥𝑥𝑖𝑖′
re
6) A empresa iSoftGames, produtora do jogo Crazy Pigeons, coletou
uma amostra da pontuação, que poderia variar de 0 a 100, de sete
partidas de usuários aleatórios. As pontuações conquistadas foram as
seguintes: 52, 41, 37, 82, 24, 63 e 68. Encontre a média aritmética e a
mediana desta série de dados.
Exercícios propostos
𝑛𝑛 = 7Rol = {24, 37, 41, 52, 63, 68, 82}
�̅�𝑥 = ∑𝑖𝑖=1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑛𝑛
= 24 + 37 + 41 + 52 + 63 + 68 + 827 = 52,4
𝑚𝑚′ = 𝑛𝑛 + 12 = 7 + 12 = 4 𝑀𝑀 = 𝑥𝑥4 = 52
re
7) Sabe-se que o número de casos de certa doença nos meses de
janeiros dos últimos 7 anos foi: 52, 41, 37, 1000, 24, 63 e 68. Encontre a
média aritmética e a mediana desta amostra.
Exercícios propostos
𝑛𝑛 = 7Rol = {24, 37, 41, 52, 63, 68, 1000}
�̅�𝑥 = ∑𝑖𝑖=1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑛𝑛
= 24 + 37 + 41 + 52 + 63 + 68 + 10007 = 183,6
𝑚𝑚′ = 𝑛𝑛 + 12 = 7 + 12 = 4 𝑀𝑀 = 𝑥𝑥4 = 52
Valores aberrantes aparecem eventualmente nas
amostras coletadas. Estes valores têm impacto muito
menor na mediana do que na média aritmética.
Tendência central em amostragens – mediana
A mediana de um conjunto de dados de número par é dado pela
média aritmética dos dois valores centrais, como em:
Valores = {9 , 12, 3 , 11 , 3 , 5}
Rol = {3 , 3 , 5 , 9 , 11, 12}
𝑀𝑀 = 5 + 92 = 7Para 𝑛𝑛 par, como no conjunto acima, a 
mediana é a média aritmética entre os valores 
𝑥𝑥𝑖𝑖 que ocupam as posições 𝑚𝑚 dadas por: 
𝑚𝑚′ = 𝑛𝑛2
= 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥42
𝑚𝑚′′ = 𝑛𝑛 + 22 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑥𝑥𝑖𝑖′ + 𝑥𝑥𝑖𝑖′′2
re
Exercícios propostos
8) Um médico endocrinologista está testando uma dieta alimentar
associada a exercícios físicos em seus pacientes. Um dos resultados
esperados é a diminuição do nível de colesterol total (em 𝑐𝑐𝑚𝑚/𝑚𝑚𝑑𝑑). Para
poder analisar esse resultado, o médico solicitou a dez pacientes um
exame de colesterol total, obtendo os seguintes valores:
Qual é o valor da mediana do nível de colesterol ?
200 180 150 200 190 141 160 170 174 165
∴ 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑣𝑣𝑛𝑛𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑣𝑣 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑑𝑑𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑚 𝑚𝑚𝑐𝑐 172𝑐𝑐𝑚𝑚/𝑚𝑚𝑑𝑑.
𝑛𝑛 = 10Rol = {141, 150, 160, 165, 170, 174, 180, 190, 200, 200}
𝑚𝑚′ = 𝑛𝑛2 𝑚𝑚′′ = 10 + 22 = 6= 102 = 5 𝑀𝑀 = 𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥62 = 170 + 1742 = 172
Tendência central em amostragens – moda
• Definição:
A moda 𝑀𝑀𝑂𝑂 é o valor que ocorre com maior frequência num
conjunto de dados, isto é, o valor mais comum.
A moda nem sempre existe e nem sempre é única. Outra limitação
é a sua instabilidade de uma amostra a outra. É a medida de
tendência central menos utilizada, mas pode ser útil na identificação
de estratos (grupos específicos) dentro de uma amostra.
Rol 1 = {1, 1, 3, 5, 7, 7, 7, 11, 13} 𝑀𝑀𝑂𝑂 = 7
Não possui modaRol 2 = {3, 5, 8, 11, 13, 18}
Rol 3 = {3, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 11, 12} 𝑀𝑀𝑂𝑂′ = 5 𝑀𝑀𝑂𝑂′′ = 7 (bimodal)
re
Exercícios propostos
9) Considere os dados referentes ao consumo de água, em 𝑐𝑐3, de 75
contas da SABESP:
a) Determine a média aritmética do consumo.
b) Determine a classe mediana.
c) Determine a classe modal e a moda bruta.
𝑥𝑥𝑝𝑝 = 5.2 + 15.27 + 25.19 + 35.16 + 45.7 + 55.475 = 26,5
Classe mediana é a aquela na qual 𝐹𝐹𝑚𝑚𝑖𝑖(%) atinge 50%:
𝐹𝐹𝑚𝑚3 % = 64% 20|── 30
Classe modal é aquela que apresenta maior frequência: 10|── 20
Moda bruta é o ponto médio da classe modal: 15
𝐹𝐹𝑚𝑚2 % = 38,67%
Para refletir...
Disponível em: <http://www.medicine.mcgill.ca/epidemiology/hanley/bios601/DescriptiveStatistics/median_or_mean_height.gif>
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