FUNCAO_LOGARITMICA

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Função Logarítmica
Prof.o Ricardo Reis
Universidade Federal do Ceará
Campus de Quixadá
8 de maio de 2014
1 Logaritmos
1.1 Definição
Seja a potência ab = c com a, b, c ∈ R e ainda
a, c > 0 e a 6= 1. Então dizemos que,
b = loga c (1)
e lemos b é igual ao logaritmo de c na base
b. Matematicamente diz-se que o logaritmo
é o inversa da exponencial. São exemplos
de logaritmos,
log2 16 = 4 ⇒ 24 = 16
log10 100 = 2 ⇒ 102 = 100
log10 0.001 = −3 ⇒ 10−3 = 0.001
log0.5 4 = −2 ⇒ 0.5−2 =
1
0.52
=
1
0.25
= 4
Quando a base é omitida, ela vale 10. Por
exemplo, log x equivale log10 x. A notação lnx
é conhecida como logaritmo natural ou lo-
garitmo neperiano e equivale a loge x onde e
é o número de Euler (número irracional de
valor aproximado 2.7183).
1.2 Propriedades
Se a, b, c, d ∈ R+∗ então são válidas as propri-
edades,
logc (a · b) = logc (a) + logc (b) (2)
logc
(a
b
)
= logc (a)− logc (b) (3)
logc (a
n) = n logc (A) n ∈ R (4)
logc (a) =
logd (a)
logd (c)
(5)
logc (a) =
1
loga (c)
(6)
logc (c
a) = a (7)
logc (c) = 1 (8)
logc (1) = 0 (9)
ILUSTRAÇÃO 1 Simplificar a expressão
log2
(
83 · 27)
SOLUÇÃO
Utilizando propriedades de logaritmos te-
mos,
log2
(
83 · 27) = log2 (83)+ log2 (27)
= 3 · log2 (8) + 7 · log2 (2)
= 3 · 3 + 7 · 1
= 9 + 7
= 16
Ou simplesmente,
log2
(
83 · 27) = log2 ((23)3 · 27)
= log2
(
29 · 27)
= log2
(
216
)
= 16
1.3 Reduções
Consideremos expressões aritméticas cujas
únicas operações são multiplicações (que
podem inclusive aparacer em forma de po-
tências) e divisões. Em geral o desenvolvi-
mento destas expressões é computacional-
mente dispendioso pois tanto a operação de
1
multiplicação quanto a de divisão são len-
tas quando comparadas com as operações
de soma e subtração. Uma maneira de re-
duzir o esforço desta computação é utili-
zando logaritmos. A ideia é aplicar log na
expressão de entrada e depois reduzi-la a
soma e subtrações de logaritmos. Com-
putacionalmente falando, apesar de o loga-
ritmo ser também de determinação lenta,
após a redução das expressões descritas,
eles aparecem em quantidade substancial-
mente menor. As ilustrações a seguir de-
monstram isso.
ILUSTRAÇÃO 2 Reduzir a expressão
221 · 711
312
utilizando logaritmos.
SOLUÇÃO
O total de multiplicações e divisões nessa
expressão vale,
21 + 11 + 12 + 1 + 1 = 46
Aplicando o logaritmo temos,
log
(
221 · 711
312
)
= log
(
221
)
+ log
(
711
)− log (312)
= 21 log (2) + 11 log (7)− 12 log (3)
Note que para computar esta expressão são
necessários apenas 3 logaritmos, 3 multi-
plicações, 1 soma e uma subtração. Note
também que este processo retorna y = log x
onde x é o valor da expressão inicial. Logo
adicionalmente, pela própria definição de
logaritmo, deve-se usar x = 10y.
ILUSTRAÇÃO 3 Se a = log 2 e b = log 3 então
escrever o número log 31104 em função de a
e b.
SOLUÇÃO
Fatorando 31104 em potências de fatores
primos, obtemos,
log 31104 = log
(
27 · 35)
= 7 log 2 + 3 log 3
= 7a + 3b
1.4 Equações Exponenciais
Equações exponenciais cujos termos não
podem ser reduzidas a a uma base comum
podem ser resolvidas com uso de logarit-
mos. A ideia neste caso é, ao invés de
igualar bases, separam-se termos de um
mesmo expoente que é função de x. O
passo seguinte é isolar x utilizando loga-
ritmos. As ilustrações seguintes mostram
como isso é feito.
ILUSTRAÇÃO 4 Resolver a equação 2x = 5x ·
11.
SOLUÇÃO
2x = 5x · 11(
2
5
)x
= 11
x = log 2
5
(11)
ILUSTRAÇÃO 5 Resolver a equação 2x = 5x+2
SOLUÇÃO
2x = 5x+2
2x = 5x · 52
(2/5)x = 25
x = log2/5 (25)
ILUSTRAÇÃO 6 Resolver a equação 2x+1 −
2x = 3x+2 − 3x
SOLUÇÃO
2x+1 − 2x = 3x+2 − 3x
2x · 2− 2x = 3x · 32 − 3x
2x · (2− 1) = 3x · (32 − 1)
2x = 3x · 8
(2/3)x = 8
x = log2/3 (8)
ILUSTRAÇÃO 7 Resolver a equação 3x+1 +
18
3x
= 29
SOLUÇÃO
Fazendo y = 3x, temos,
3x+1 +
18
3x
= 29
3x · 3 + 18
3x
= 29
3y +
18
y
= 29
2
3y2 + 18 = 29y
3y2 − 29y + 18 = 0
⇒ ∆ = (−29)2 − 4(3)(18) = 625
y =
29±√625
2(3)
y =
29± 25
6
y = {2
3
, 9}
3x = {2
3
, 9}
x = {log3
(
2
3
)
, log3 (9)}
x = {log3
(
2
3
)
, 2}
1.5 Equações Logarítmicas
De forma similar às equações exponenci-
ais, equações que envolvem logaritmos pre-
cisam primeiramente ter seus termos leva-
dos a uma base comum para então igualar
os operandos e finalizar a resolução. Mate-
maticamente,
logc (A) = logc (B)⇒ A = B
Em geral a relação da equação-(5) é útil
como mostram as ilustrações seguintes.
ILUSTRAÇÃO 8 Resolver a equação,
log5 (3x + 2) = log5 (7− 2x)
SOLUÇÃO
log5 (3x + 2) = log5 (7− 2x)
3x + 2 = 7− 2x
5x = 5
x = 1
Note que ainda é necessário testar se x = 1
é operável pelos logaritmos,
log5 (3x + 2)⇒ log5 (3(1) + 2) = log5 (5) = 1
log5 (7− 2x)⇒ log5 (7− 2(1)) = log5 (5) = 1
Logo x = 1 é solução.
ILUSTRAÇÃO 9 Resolver a equação,
log2
(
x2 − 10) = log2 (2x + 5)
SOLUÇÃO
log2
(
x2 − 10) = log2 (2x + 5)
x2 − 10 = 2x + 5
x2 − 2x− 15 = 0
⇒ ∆ = (−2)2 − 4(1)(−15) = 64
x =
2±√64
2(1)
x =
2± 8
2
x = {−3, 5}
Testando valores de x,
x = −3⇒ log2
(
(−3)2 − 10) = log2 (−1)
x = 5⇒ log2
(
(5)2 − 10) = log2 (15)
Note que x = −3 não é operável. Logo a
solução da equação é S = {5}.
ILUSTRAÇÃO 10 Resolva a equação,
log4
(
2x2 + 5x + 4
)
= 2
SOLUÇÃO
log4
(
2x2 + 5x + 4
)
= 2
2x2 + 5x + 4 = 42
2x2 + 5x− 12 = 0
⇒ ∆ = (5)2 − 4(2)(−12) = 121
x =
−5±√121
2(2)
x =
−5± 11
4
x = {3/2, −4}
Testando os valores de x encontrados,
log4
(
2(3/2)2 + 5(3/2) + 4
)
= log4 (16) = 2
log4
(
2(−4)2 + 5(−4) + 4) = log4 (16) = 2
Logo a solução da equação é x = {3/2, −4}.
ILUSTRAÇÃO 11 Resolver a equação,
logx (5x + 2) = logx (3x + 4)
3
SOLUÇÃO
logx (5x + 2) = logx (3x + 4)
5x + 2 = 3x + 4
2x = 2
x = 1
Testando os dois logaritmos, os operandos
obtidos são 5(1) + 2 = 7 e 3(1) + 4 = 7. En-
tretanto como a base dos logaritmos é x e
a base de um logaritmo de ser diferente de
1 então nosso conjunto solução é vazio, ou
S = �.
2 Definição
A função logarítmica básica é definida
como,
f(x) = logc (x) (10)
onde {0 < c 6= 1|c ∈ R} e x ∈ R+∗ . A generali-
zação da equação-(10) tem forma,
f(x) = logc [u(x)] (11)
onde u(x) é uma função real de x com 0 <
c 6= 1.
3 Domínio
O domínio da função da equação-(11) é de-
terminado de acordo com a imagem de u(x).
De forma geral o domínio de f(x) é o sub-
conjunto do domínio de u(x) cujo sinal da
imagem (de u(x)) é positivo (de outra forma
invalidaria o operador log). Note ainda que
se um ou mais números não fazem parte
do domínio de u(x) então eles também não
fazem parte do domínio de f(x).
ILUSTRAÇÃO 12 Determinar domínio da
função f(x) = log3 [x2 − 1].
SOLUÇÃO
Neste caso u(x) = x2 − 1 cujo domínio são
os reais e cuja parcela positiva da imagem
ocorre quando x < −1 ∪ x > 1. Logo D(f) =
{x ∈ R | x < −1 ∪ x > 1}
ILUSTRAÇÃO 13 Determinar o domínio da
função f(x) = log
x− 1
x− 3 .
SOLUÇÃO
Neste exemplo temos que u(x) =
x− 1
x− 3 cujo
estudo de sinal da imagem revela que,
y < 0 1 < x < 3
y = 0 x ∈ {1}
y > 0 x < 1 ∪ x > 3
Como log só opera números positivos então
temos que D(f) = {x ∈ R | x < 1 ∪ x > 3}.
4 Gráfico
4.1 Crescimento
O gráfico da equação-(10) varia de acordo
com o valor da base c. Quando 0 < c < 1
forma-se uma curva decrescente ao passo
que quando c > 1 a curva formada é cres-
cente. A figura a seguir ilustra os gráficos
das funções f(x) = log2 (x) e g(x) = log0.5 (x),
f(x) = log2 (x)
f(x) = log0.5 (x)
As curvas anteriores não tocam o eixo y
apesar de se aproximarem infinitamente
dele, ou seja, o eixo y é uma assíntota verti-
cal da função logarítmica da equação-(10).Note também que ambas as funções pos-
suem raiz em x = 1 pois f(0) = log2 (0) = 1 e
g(0) = log0.5 (0) = 1. De uma forma geral, da
equação-(10), como 0 < c 6= 1, logc (0) = 1.
No caso geral, equação-(11), o cresci-
mento/decrescimento de f(x) dependerá
tanto do valor da base c quanto da fun-
ção u(x). No caso em que c > 1 en-
tão nos intervalos em que u(x) for cres-
cente/decrescente, f(x) também será cres-
cente/decrescente. Mas se 0 < c < 1 então
quando u(x) for crescente/decrescente, f(x)
4
será decrescente/crescente. Vale ressaltar
que apenas a parcela de domínio de u(x)
com imagem positiva diz respeito a f(x).
ILUSTRAÇÃO 14 Avaliar crescimento da
função f(x) = log3 [1− x2].
SOLUÇÃO
Neste caso c = 3 e u(x) = 1 − x2. Como c >
1 então as partes crescentes/decrescentes
de u(x), de imagem positiva, são crescen-
tes/decrescentes em f(x) também. A parte
de imagem positiva de u(x) ocorre quando
−1 < x < 1 e logo este intervalo representa
o domínio de f(x). Como a parábola 1 − x2
é crescente em −1 < x < 0 e decrescente
em 0 < x < 1 então f(x) é crescente em
−1 < x < 0 e decrescente em 0 < x < 1.
4.2 Assíntotas
A função da equação-(11) pode apresentar
mais de uma assíntota. De fato cada raiz
de u(x), se houver, representa uma assín-
tota vertical de f(x). Além disso as assínto-
tas verticais de u(x), se houverem, também
serão assíntotas verticais de f(x). Se u(x)
possui uma assíntota horizontal em y = d
então f(x) possui uma assíntota horizontal
em y = logc (d).
ILUSTRAÇÃO 15 Determinar assíntotas da
função f(x) = log2 [2x− 6],
SOLUÇÃO
Neste caso u(x) = 2x− 6. Como cada raiz de
u(x) denota uma assíntota vertical fazemos,
2x− 6 = 0
x = 3
Assim há uma assíntota vertical, x = 3. Veja
o gráfico,
log(2x− 6)
x = 3
ILUSTRAÇÃO 16 Determinar assíntotas da
função,
f(x) = log2
[
x− 2
x + 1
]
SOLUÇÃO
Neste caso u(x) =
x− 2
x + 1
. Como x = −1
anula o denominador sem anular o nume-
rador de u(x) então representa uma assín-
tota vertical de u(x) e consequentemente de
f(x). Como os polinômios de u(x) possuem
mesmo grau então u(x) possui uma assín-
tota horizontal em y = 1
1
= 1 1 sendo conse-
quentemente y = log(1) = 0 (eixo x) uma as-
síntota horizontal de f(x). Além disso x = 2
é raiz de u(x) sendo logo outra assíntota
vertical de f(x). Totalizam três assíntotas
sendo duas verticais e uma horizontal. Veja
o gráfico de f(x) a seguir,
4.3 Reflexão
Consideremos a função f(x) = logb [u(x)]
com 0 < b < 1. Além do mais seja c = 1
b
de onde consequentemente deduz-se que
c > 1. Como b = 1
c
pode-se escrever f(x)
como segue,
f(x) = log 1
c
[u(x)]
=
logc [u(x)]
logc
[
1
c
]
=
logc [u(x)]
−1
= − logc [u(x)]
Sendo o reflexo em relação ao eixo x de uma
função f(x) a função −f(x) então, deste
último resultado, o reflexo de logc [u(x)] é
1razão de coeficientes dos monômios de maior
grau
5
− logc [u(x)] = log 1
c
[u(x)]. Na prática tal rela-
ção é utilizada para converter bases logarít-
micas no intervalo 0 < c < 1 para o intervalo
c > 1.
ILUSTRAÇÃO 17 Construir curvas das fun-
ções f(x) = log0.5 (x) e g(x) = log1.3 (x) e seus
respectivos reflexos em relação ao eixo x.
SOLUÇÃO
As funções reflexos de f e g são respectiva-
mente,
f ◦(x) = − log0.5 (x) = log2 (x)
g◦(x) = − log1.3 (x)
A figura a seguir ilustra as quatro curvas,
f
g
f ◦
g◦
4.4 Ampliação
Em caso de multiplicação por uma cons-
tante real k, ou seja f(x) = k logc [u(x)], o
gráfico de f(x) pode tanto mudar na inten-
sidade em que cresce (ou decresce) quanto
em monotonia (passar de crescente para
decrescente ou vice-versa).
ILUSTRAÇÃO 18 Comparar comportamen-
tos das funções f(x) = log x e g(x) = 3 · log x.
SOLUÇÃO
Os gráficos das funções são,
f(x) = log x
g(x) = 3 log x
Note que ambas funções são crescentes
mas que g cresce mais rapidamente do que
f , ou seja, para um mesmo valor de domí-
nio x o módulo dos valores de imagem de g
são superiores ou iguais (em x = 1) aos de f .
Note que isso se revela através da curva de
g acima da de f quando x > 1 e logo abaixo
quando 0 < x < 1.
ILUSTRAÇÃO 19 Comparar comportamen-
tos das funções f(x) = log x e g(x) = −2·log x.
SOLUÇÃO
A função g tem como reflexo em relação ao
eixo x a função g◦(x) = 2 log x que está acima
de f . A figura a seguir ilustra as três fun-
ções,
f(x) = log x
g◦(x) = 2 log x
g(x) = −2 log x
4.5 Análise de Sinal
Uma vez determinado o domínio e as assín-
totas de uma função logarítmica é necessá-
rio ainda, para efetuar um esboço de grá-
fico, saber a forma como a função se apro-
xima de uma assíntota vertical (veja figura
a seguir), ou seja, se se aproxima dela com
valores de imagem positivos (f3 e f4) ou ne-
gativos (f1 e f2).
f1f2
f3f4
Da equação-(11), quando c > 1, tem-se que
quando 0 < u(x) < 1 então a imagem de f(x)
6
possui valores negativos haja vista que o lo-
garitmo de valores no intervalo (0, 1) são ne-
gativos. Porém se u(x) > 1 então os valores
de imagem da função são positivos. Em re-
sumo o estudo de sinal da função,
v(x) = u(x)− 1 (12)
estabelece o comportamento do sinal da
imagem de f(x). Na prática se x = a é uma
assíntota vertical de f(x) então o sinal de
v(x) nas vizinhanças de a equivale ao sinal
da imagem de f(x) na mesma vizinhança.
ILUSTRAÇÃO 20 Esboçar o gráfico da fun-
ção f(x) = log [x2 − 1].
SOLUÇÃO
Sendo u(x) = x2 − 1 então x = ±1 são raízes
de u(x) e consequentemente assíntotas ver-
ticais de f(x). Pelo estudo de sinal de u(x)
tem-se que o domínio de f(x) deve ser,
D(f) = {x < −1 ∪ x > 1 |x ∈ R}
Fazendo f(x) = 0 calculamos as raízes de
f(x),
log
[
x2 − 1] = 0
x2 − 1 = 100 = 1
x2 = 2
x = ±
√
2
Como ±√2 pertencem ao domínio de f
então representam de fato raízes. Da
equação-(12) tem-se que,
v(x) = x2 − 1− 1 = x2 − 2
cujo estudo de sinal, no intervalo do domí-
nio de f revela,
v(x) < 0⇒ x < −
√
2 ∪ x >
√
2
v(x) = 0⇒ x = ±
√
2
v(x) > 0⇒ −
√
2 < x < −1 ∪ 1 < x <
√
2
Assim a curva de f se aproxima da assín-
tota x = −√2 pela direita com valores de
imagem negativos e pela esquerda com va-
lores de imagem positivos. Similarmente
f se aproxima da assíntota x =
√
2 pela
direita com valores de imagem positivos e
pela esquerda por valores de imagem nega-
tivos. O esboço do gráfico deve ser,
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
ILUSTRAÇÃO 21 Esboçar gráfico da função
f(x) = log2
[
x2 − 4
x + 8
]
SOLUÇÃO
Tomando u(x) =
x2 − 4
x + 8
obtemos as raízes
x = ±2 e a assíntota vertical x = −8. Logo
f(x) possui três assíntotas verticais, x = −8,
x = −2 e x = 2. O estudo de sinal de u(x)
revela que,
u(x) < 0⇒ x < −8 ∪ −2 < x < 2
u(x) = 0⇒ x = ±2
u(x) > 0⇒ −8 < x < −2 ∪ x > 2
Logo o domínio de f(x) deve ser,
D(x) = {−8 < x < −2 ∪ x > 2}
Fazendo f(x) = 0 obtemos as raízes da fun-
ção,
log2
[
x2 − 4
x + 8
]
= 0
x2 − 4
x + 8
= 1
x2 − 4 = x + 8
x2 − x− 12 = 0
⇒ ∆ = (−1)2 − 4(1)(−12) = 49
x =
1±√49
2
x = {−3, 4}
Como −3 e 4 pertencem ao domínio de f(x)
então são de fato raízes. Da equação-(12),
v(x) =
x2 − 4
x− 8 − 1
=
x2 − x− 12
x− 8
Cujo estudo de sinal mostra que,
7
x2 − x− 12
x− 8
v(x)−8 −3−2 2 4
+
−
−
+
+
+
−
+
−
−
+
−
−
+
−
+
+
+
onde a parte destacada é o domínio de f(x).
Note que à direita da assíntota x = −8 a
imagem deve tender a valores positivos. à
esquerda da assíntota x = −2 a imagem vai
para valores negativos. Por fim à esquerda
da assíntota x = 2 a imagem tende a valores
negativos. Eis o esboço,
−8 −6 −4 −2 2 4 6
−2
2
4
5 Exercícios
Simplifique as equações a seguir,
1. log27 (81)
2. log125 (25)
3. log25 (0.008)
4. log2
(√
2
)
5. log 3√5
(
4
√
5
)
6. log 3√4
(
1√
8
)
7. 8log4 (5)
8.32−log3 (6)
9. 92−log3 (
√
2)
Reduzir as equações logarítmicas a seguir,
10. log2
(
2ab
c
)
11. log3
(
a3b2
c4
)
12. log
(
a3
b2
√
c
)
13. log
(
ab3
c
3
√
a2
)
14. log
 3√a4√ab
b3 3
√
bc
2
Se a = log 2 e b = log 3 colocar em função de a
e b os seguintes logaritmos decimais,
15. log 6
16. log 5
17. log
√
2
18. log 4
19. log 0.5
20. log 15
Resolva os seguintes problemas
21. Se a = log20 (2) e b = log20 (3) calcule
log6 (5).
22. Se logab (a) = 4, calcule logab
(
3
√
a√
b
)
23. Se a = log12 (27), calcule log6 (16).
24. Calcular A = log3 (5) · log4 (27) · log25
(√
2
)
.
Marque verdadeiro ou falso nas expressões
a seguir,
25. log2 (3) > log2 (0.2)
26. log4 (0.1) > log4 (0.9)
27. log0.1 (0.13) > log0.1 (0.32)
28. log0.5
(
2
3
)
> log0.5
(
3
4
)
Resolva as equações a seguir,
8
29. 23x−2 = 32x+1
30. 72x−1 = 33x+4
31. 5x−1 = 34−2x
32. 3x = 2x + 2x+1
33. 5x + 5x+1 = 3x + 3x+1 + 3x+2
34. 23x+2 · x2x−1 = 8
35. 4x+1 − 2x+4 + 16 = 0
36. logx (3x
2 − 13x + 15) = x
37. log√x (2x2 + 5x + 6) = 4
38. logx−1 (x3 − x2 + x− 3) = 3
39.
log3 (2x)
log3 (4x− 15)
= 2
Para as funções logarítmicas a seguir deter-
minar domínio, raízes, assíntotas, análise
de crescimento e esboço de gráfico,
40. f(x) = log3 (x)
41. f(x) = log 1
3
(x)
42. f(x) = log2 (x− 1)
43. f(x) = log2 (x2)
44. f(x) = log3 (2x− 1)
45. f(x) = log2 (1− 2x)
46. f(x) = log (x2 + x− 12)
47. f(x) = log5 (x2 − 14x + 33)
48. f(x) = log3 [(x− 1)(2− x)(6− 3x)]
49. f(x) = 2 + log2 (x)
50. f(x) = 1 + log 1
2
(x)
51. f(x) = log5
[
x + 1
1− x
]
52. f(x) = log3
[
x2 − 4x + 3
x2 − 9
]
53. f(x) = log3
[
x2 + 1
x3 − 27
]
54. f(x) = log4
[
2− 5x
1 + x4
]
55. f(x) = log2
[
x4 + 14
6 + x2
]
56. f(x) = log2 (
√
x)
57. f(x) = log2
[
2√
4− x2
]
Para cada f(x) a seguir determine o gráfico
de −f(x), f(−x), 2f(x) e −2f(x),
58. f(x) = log3 (2x− 1)
59. f(x) = log0.5 (4− 12x)
60. f(x) = log4 (1− x2)
61. f(x) = log0.8 (x2 − 16)
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