Funções Logarítmicas

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Funções Logarítmicas
DEMANA, F. D. et. al. Pré-cálculo: capítulo 12 - p. 143
Inversas das funções exponenciais
Lembrando do que estudamos, uma função exponencial fx = bx é bijetora e, por isso, ela
tem uma inversa que também é uma função.
Essa inversa é a função logarítmica de base b, denotada por logbx, isto é, se fx = b
com b > 0 e b ≠ 1, então f−1x = logbx. Veja os gráficos a seguir, construídos com base na
propriedade da "simetria" dos gráficos de funções inversas em relação a reta y = x.
x
y
Os gráficos da função exponencial (com b > 1) e da sua inversa, a função logarítmica.
x
y
Os gráficos da função exponencial (com 0 < b < 1) e da sua inversa, a função logarítmica.
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Função Logarítmica
Definição:
Sendo b um número real, positivo e diferente de 1, chamamos função logarítmica de base b a
função f : R+∗  R definida por fx = logbx.
Veja que: Dlogbx = Imbx = R+∗ e Imlogbx = Dbx = R
Exemplos de funções logarítmicas:
fx = log2x gx = log1/2x hx = log4x Ix = log0.2x Jx = logx kx = ln
Gráfico
Construa o gráfico das seguintes funções nos sistemas apresentados e complete o que se pede:
-1 1 2 3 4 5 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
fx = log2x
-1 1 2 3 4 5 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
gx = log 1
2
x
fx = log2x gx = log 12 x
Df =. . . . . . . . . . Dg =. . . . . . . . . .
Imf =. . . . . . . . . . Img =. . . . . . . . . .
base =. . . . . . . . . base =. . . . . . . . .
Crescente ou decrescente?. . . . . . . . . . Crescente ou decrescente?. . . . . . . . . .
x→+∞
lim fx =. . . . . . . . . .
x→+∞
lim gx =. . . . . . . . .
x→0+
lim fx =. . . . . . . . .
x→0+
lim gx =. . . . . . . . .
Importante: Observe pelos gráficos que:
1) A função y = logbx é crescente quando b > 1 e decrescente quando 0 < b < 1;
2) Dlogbx = 0,+∞ e Imlogbx = R;
3) y = logbx não intercepta o eixo dos y e o gráfico está todo à direita do eixo dos y;
4) O gráfico de y = logbx intercepta o eixo dos x no ponto 1, 0;
5) Se b > 1, então, à medida que percorremos o gráfico de y = logbx da esquerda para a
direita, os valores de logbx crescem sem parar, enquanto percorrendo o gráfico da direita para a
esquerda os valores de logbx decrescem sem parar, sem nunca atingir o eixo y. Analogamente, se
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0 < b < 1, à medida que percorremos o gráfico de y = logbx da esquerda para a direita, os
valores de logbx decrescem sem parar, enquanto percorrendo o gráfico da direita para a esquerda
os valores de logbx crescem sem parar, sem nunca atingir o eixo y.
6) O gráfico da função y = logbx tem uma assíntota vertical: a reta x = 0.
Exemplo 1:
O gráfico da função fx = ln x é dado a seguir. No mesmo sistema, desenhe os gráficos das
funções definidas abaixo e determine seu domínio, imagem e assíntotas.
1. gx = lnx + 2
2. hx = 1 + ln x
3. ix = lnx − 3
4. lx = −2 ln x
-5.0 -4.5 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Exemplo 2:
Determine a função inversa das funções:
(a) fx = 3. 5x
(b) gx = 2 log3x
(c) hx = 3 lnx − 2
Exemplo 3: Determine a inversa das funções definidas a seguir e, em cada caso, construa o
gráfico da f e, usando a propriedade da simetria construa também o gráfico da f−1.
(a) fx = −3 ln x
(b) fx = log1/3x − 1
Exercícios:
Do livro indicado na Bibliografia Básica (Demana, páginas 158 a 161), resolva os
exercícios de números: 47, 48, 53, 55, 57, 61, 62, 120, 121, 122, 123, 131, 133, 135, 137, 139,
187, 188, 189 e 193 (para os exercícios 187 a 193, leia o parágrafo explicativo anterior a esses
exercícios).
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