resumo-geometria analítica I

Prévia do material em texto

RReessuummoo ddee GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa –– PPaarrttee II Pré/3º Ano 
 
profalexandreassis@hotmail.com 1 
 
   
2 2
B A B Ad(A,B) x x y y   
d(A,B) b a 
 Sistema cartesiano ortogonal 
 
É constituído por duas retas, x e y, perpendiculares entre si. 
 
 
Em que: 
- A reta x é chamada eixo das abscissas; 
- A reta y é a chamada eixo das ordenadas; 
- O ponto O é chamado origem; 
- O número a é denominado abscissa de P; 
- O número real b é denominado ordenada de P; 
- O par ordenado (a, b) representa as coordenadas de P. 
 
 Distância entre dois pontos 
 
A distância entre dois pontos A e B de coordenadas a e b, respectivamente é dado por: 
 
 
 
 
 
Em que d(A, B) é a distância entre A e B. O número real não-negativo d(A,B) é denominado, também, 
comprimento do segmento AB. 
 
 
 Distância entre dois pontos no plano 
 
 A distância entre os pontos 
 A AA x ,y
e 
 B BB x ,y
 é dada por: 
 
 
 
RReessuummoo ddee GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa –– PPaarrttee II Pré/3º Ano 
 
profalexandreassis@hotmail.com 2 
 
 
2 2
A B A B
M M
x x y y
M x ,y M ,
  
  
 
 
3 3
A B C A A A
G G
x x x y y y
G x ,y G ,
    
  
 
 
 
 
1
1
1
A A A A
B B B B
C CC C
A x ,y x y
B x ,y D x y
x yC x ,y


 


 Ponto Médio de um segmento 
 
O ponto médio do segmento AB, sendo 
 A AA x ,y
e 
 B BB x ,y
é dado por: 
 
 
 
 
 Coordenadas do baricentro de um triângulo 
 
O baricentro de um triângulo ABC de coordenadas 
 A AA x ,y
, 
 B BB x ,y
e 
 C CC x ,y
é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 Alinhamento de três pontos 
 
Sejam os pontos da figura: 
 
- D = 0 A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados. 
- D 0 A, B e C são os vértices de um triângulo. 
 
 
 
RReessuummoo ddee GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa –– PPaarrttee II Pré/3º Ano 
 
profalexandreassis@hotmail.com 3 
 
 Estudo da reta 
 
(i) Equação geral 
 
 
 
1
1 0
1
A A
B B
x y
x y ax by c
x y
   
 
 
Em que: 
A B
A B
A A B B
a y y
b x x
c x y x y
 

 
  
 
Observações: 
0
0
0 0
c
a y reta horizontal
b
c
b y reta vertical
a
c ax by reta passa pela origem

   


   

    


` 
O coeficiente angular ou declividade m da reta é dado por: 
B A
B A
y y a
tg m m
x x b

     

 
(ii) Reta que passa por um ponto dado e a declividade conhecida 
Seja a reta r que passa por 
 A AA x ,y
e com declividade m; então: 
 A Ay y m x x  
 
 
(iii) Equação reduzida 
A equação reduzida da reta r da figura é dada por: 
 
 
y mx b 
 
 b é o chamado coeficiente linear. 
 
RReessuummoo ddee GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa –– PPaarrttee II Pré/3º Ano 
 
profalexandreassis@hotmail.com 4 
 
(iv) Equação segmentária 
A equação segmetária da reta r que passa pelos pontos A(a, 0) e B(0, b) da figura é dada por: 
 
 
1
x y
a b
 
 
 
 
 
 
(v) Equação paramétrica 
São equações que não relacionam diretamente entre si as coordenadas x e y. Essas equações são 
dadas em função de uma terceira variável t, chamada parâmetro. 
 
 
 
 Posição relativas entre duas retas 
 
Sejam as retas : 
r r r
s s s
reta r : y m x b
reta s : y m x b
 

 
 
 
 
1
r s
r s r s
r s r s
r
s
m m r e s são concorrentes.
m m e b b r e s são paralelas e dist int as.
m m e b b r e s são paralelas e coincidentes.
m r e s são perpendiculares.
m
 
  
  
  
 
 
 
 
RReessuummoo ddee GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa –– PPaarrttee II Pré/3º Ano 
 
profalexandreassis@hotmail.com 5 
 
 Ângulos entre duas retas 
 
Sejam as retas r1 e r2 indicadas nas figuras seguintes. O ângulo agudo  entre elas é tal que: 
 
 
 
2 1
1 21
m m
tg
m m

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
tg
m
 
 
 
 Distância entre ponto e reta 
 
Dados um ponto P(xP, yP) e uma reta r de equação ax + by + c = 0, a distância entre P e r é dada por: 
 
 
 
2 2
P Pax by c
d P,r
a b
 


 
 
 Área de um triângulo 
 
 
1
2
S D 
 com 
1
1
1
A A
B B
C C
x y
D x y
x y
