Lista de AV2

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CÁLCULO II 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA AV2 E AV3 
 
1 – Calcule os limites abaixo: 
a) ( ) ( )( 
 ) b) ( ) ( )
( )[( ) ( ) ]
 
 
 
2 - Determinar 
 
 
 e 
 
 
 para a função f (x, y) = cos
2
(3x – y2). 
 
3 - Determinar os valores de 
 
 
 e 
 
 
 no ponto (4, -5) para a função: f (x, y) = x
2
 + 3xy + y -1. 
 
4 - Seja a função w = ln (2x + 3y). Determinar 
 
 
. 
 
5 - Determinar 
 
 
 para y
2
 – x2 – sen(xy) = 0 usando a derivação implícita. 
 
6 - Considere w = f (x, y, z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas 
 
 
, 
 
 
 e 
 
 
 
em algum intervalo e que x, y e z são funções de outra variável t. Então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
Diz-se que dw/dt é a derivada total de w com relação a t e representa a taxa de variação de w à medida que t 
varia. 
Supondo w = x
2
 – 3y2 + 5z2 onde x = et, y = e-t e z = e2t, calcule dw/dt sendo t = 0. 
 
7 – Seja z = sen(xy) + xseny. Determinar 
 
 
 quando u = 0, v = 1, x = u
2
 + v
2
 e y = u.v. 
 
8 - Encontre a derivada direcional da função f (x, y, z) = ln (xyz) em P(1, 2, 2) na direção do vetor v = i + j – 
k. 
 
9 – Determinar a derivada direcional da função f(x,y,z) = cos(xy) + eyz + ln(xz) em P(1, 0, 1/2) na direção do 
vetor v = i + 2j + 2k. 
 
10 – A equação de Laplace é empregada em estudos que envolvem a distribuição de temperatura em estado 
estacionário em sólidos, bem como de potenciais gravitacionais e potenciais elétricos tridimensional. A 
equação na forma tridimensional é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. Identifique as funções 
harmônicas abaixo: 
a) f(x,y,z) = x
2
 + y
2
 – 2z2 b) f(x,y,z) = sen(2x) + cos(2x) – 2z2 
c) f(x,y,z) = 2sen
2
(xy) + 2cos
2
(xy) – 2z2 d) f(x,y,z) = xy + xz + yz 
 
11 – Calcular o volume do sólido cuja base situada no plano xy é o retângulo: 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 2; e é 
limitado na parte superior pela superfície: z = 4xy. 
 
12 – A integral: ∫ ∫ 
 
 
 
 fornece a área de uma região no plano xy. Esboce a região, identifique cada 
curva limite com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois 
encontre a área da região. 
 
13 – Resolva a integral: ∫ ∫ 
 
 
 
 invertendo a ordem de integração. 
 
14 – Transforme a integral cartesiana para uma integral polar e calcule a integral polar de ∫ ∫ 
√ 
 
 
 
 
15 – Resolva a integral: ∫ ∫ 
 
 
√ 
 
 √ 
 , invertendo a ordem de integração. 
 
16 – Calcular o volume do sólido cuja base se encontra no plano xy limitada por y = 1, x = 2 e y = x +1, e 
tem a superfície z = 3 + x – y limitante na parte superior. 
 
17 – Calcular as integrais triplas abaixo: 
a) ∫ ∫ ∫ 
√ 
 
√ 
 
 
 b) ∫ ∫ ∫ 
√ 
 
 
 
 
 
c) ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
18 – Calcular a integral de linha para a função f (x,y,z) = x – 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a 
origem ao ponto (1,1,2). 
 
19 – Calcular o trabalho realizado pela força: F = (y – x2)i + (z – y2)j + (x – z2)k sobre a curva r(t) = ti + t2j + 
t
3
k, entre 0  t  1. 
 
20 – Quais dos campos abaixo não são conservativos? 
a) F = yzi + xzj + xyk b) F = (ysenz)i + (xsenz)j + (xycosz)k 
c) F = yi + (x + z)j – yk d) F = (z + y)i + zj + (y + x)k 
 
21 – Aplique o teorema de Green para calcular a integral: ∮ ( ) onde a curva C representa a 
fronteira: 0  x   e 0  y  sen(x). 
 
22 - Aplique o teorema de Green para calcular a integral: ∮ ( ) onde C representa o triângulo 
limitado por x = 0, x + y = 1 e y = 0. 
 
 
Respostas: 
 
1 – Substituindo os valores de x e de y nas respectivas expressões dos limites, vem. 
a) ( ) ( )( 
 ) 
b) ( ) ( )
( )[( ) ( ) ]
 
 
 [ ]
 
 
 
 
 
 
2 - 
 
 
 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 
e 
 
 
 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 
 
3 - 
 
 
 e 
 
 
 
Os valores das derivadas no ponto (4, -5) serão: 
 
 
 ( ) ( ) 
e 
 
 
 ( ) 
 
4 - 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
Obs.: Invertendo a ordem de derivação o resultado é o mesmo, ou seja: 
 
 
 
 
( ) 
 
 
5 – Fazendo z = y2 – x2 – sen(xy) = 0, logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 
6 - Determinação das derivadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo dos valores x, y,z e das derivadas em t = 0: 
x = e
o
 = 1 y = e
-0
 = 1 z = e
2.0
 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, se tem: 
 
 
 ( )( ) 
7 – Como z = f(x,y) e x = g(u,v) e y = h(u,v), então, z = f(g(u,v),h(u,v)), logo, usando a regra da cadeia, vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As derivadas parciais são dadas por: 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Para u = 0 e v = 1, tem-se: x = 0
2
 + 1
2
 = 1; y = 0.1 = 0. Os valores das derivadas são: 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Assim, obtém-se: 
 
 
 
 
8 – Por definição a derivada direcional é dada por: 
 
 
 , onde f é o gradiente da função e b o vetor 
unitário que fornece a direção do processo de derivação. 
O gradiente da função é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As derivadas parciais da função dada são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No ponto P(1,2,2), se tem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
O vetor b é dado por: b = 
 
 
 
 
√ ( ) 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
Assim, a derivada direcional será: 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 ) (
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
) 
 
√ 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
9 – Usando o mesmo procedimento do exercício anterior, vem: 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gradiente da função no ponto P é: 
 
 
 
O vetor unitário b é: b = 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a derivada direcional é: 
 
 
 ( 
 
 
 ) (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 – Uma função é dita harmônica se satisfaz a equação de Laplace, ou seja, a soma das derivadas parciais de 
segunda ordem é nula. Assim, se tem: 
a) 
 
 
 ee 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (harmônica) 
 
b) 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (não harmônica) 
 
c) 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) e 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) e 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (não harmônica) 
 
d) 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (harmônica) 
 
11 – O volume do sólido será dada pela integral dupla: 
V = ∫ ∫ 
 
 
 
 ou V = ∫ ∫ 
 
 
 
 
Resolvendo a primeira, vem: 
V = ∫ [ 
 ] 
 
 ∫ ( 
 ) ∫ 
 ( ) 
 
 
 
 
O cálculo da segunda integral fornecerá o mesmo valor, ou seja, V = 32. 
 
12 - A região é limitada em 0  x  /4 e senx  y  cosx. O gráfico está representado abaixo: 
O ponto interseção das duas curvas é dado por: senx = cosx, logo, x = /4 e y = 
√ 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da integral: 
∫ 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 (
√ 
 
 ) (
√ 
 
 ) √ 
 
13 – A região R de integração compreende: 0  y  1 e y  x  1. Esta região R está representada no gráfico 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Invertendo a ordem de integração, vem: 0  x  1 e 0  y  x e ∫ ∫ x2exy y x
x
0
1
0 . 
O cálculo da integral será: 
∫ ∫ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
 
 
 
14 - A região R de integração é: -1  x  1 e 0  y  √ , ou seja, a região R é o semicírculo conforme 
indicado no gráfico abaixo: 
 
 
 
       








x
y
0 x 
y 
1 
1 
y=x 
R 
 
 
 
 
 
 
 
Em coordenadas polares se tem: 0  r  1 e 0    , logo: ∫ ∫ y x ∫ ∫ 
1
0
 
0
√1 x2
0
1
 1 . O cálculo da 
integral é: 
∫ ∫ 
1
0
 
0 ∫
1
2
 2 0
1 
1
2
∫ 
 
0 
1
2
 0
 
0 
 
2
 
 
15 – A integral é resolvida invertendo a ordem de integração. A região R corresponde a: 0  y  √ e y/2 
 x  √ . A figura abaixo apresenta a região R de integração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, se tem: 0  x  √ e 0  y  2x. 
∫ ∫ ex
2
 x y
√ln3
y 2 ∫ ∫ e
x2 y x ∫ ex
2
y 0
2x x 
√ln3
0
2x
0
√ln3
0
2√ln3
0 ∫ 2xe
x2 x ex
2
 0
√ln3 e(√ln3)
2
 e0
2
 3 
√ln3
0
1 2 
 
16 – A base do sólido no plano xy está mostrada na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Os limites e integ ação são: 0 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ x + 1; e 0 ≤ z ≤ 3 + x – y. 
O volume do sólido será dado pelo cálculo da integral: 
V = ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
V = ∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 = ∫ * 
 
 
 
 
 
 +
 
 
x 0 
y 
-1 1 
y=√ 
R 
0 x 
y 
 √ 
√ 
y=2x 
R 
y 
x = 2 
y = 1 
y = x + 1 
R 
x 
V = ∫ ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 – 
a) ∫ ∫ ∫ z y x
√ x2
0
√ x2
0
3
0 ∫ ∫ z 0
√ x2 y x ∫ ∫ √ x2 y x ∫ √ x2 y 0
√ x2 x
3
0
√ x2
0
3
0
√ x2
0
3
0 
 = ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
( ) 
 
b) ∫ ∫ ∫ z 
√2 2
 
1
0
2 
0 ∫ ∫ z 
√2 2 ∫ ∫ ( √2 2 2) 
1
0
2 
0
1
0
2 
0 
 = ∫ * 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 + 
 
 
 √ 
 
∫ 
 √ 
 
 
 
 (√ )
 
 
 
 
c) ∫ ∫ ∫ 2 sen 
2sen 
0
 
0
 
0 ∫ ∫ (
1
3
 3) 0
2sen 
sen 
 
0
 
0 
 
 
∫ ∫ 
 
 
 
 
 =
 
 
∫ ∫ (
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 =
 
 
∫ (
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 =
 
 
∫ (
 
 
 ) ∫ 
 
 
 
 
 
Obs.: sen
4
x = (sen
2
x)
2
 = [1/2(1 – cos2x)]2 = 1/4(1 – 2cos2x + cos22x) = 1/4[1 – 2cos2x + 1/2(1 + cos4x)] 
sen
4
x = 3/8 – (1/2)cos2x + (1/8)cos4x. 
 
18 – O vetor correspondente a reta C é (fazendo x = t): r = ti + tj + 2tk. A sua derivada é: dr/dt = i + j + 2k. 
O valor de |dr/dt| = √ 
A integral de linha será: ∫ ( ) ∫ ( )√ √ 
 
 ∫ ( 
 ) √ *
 
 
 
 
 
 
 
 +
 
 
 = √ *
 
 
 
 
 
+ 
√ 
 
 
 
19 – Escrevendo a força F em função do parâmetro t, vem: F = (t2 – t2)i + (t3 – t4)j + (t – t6)k = (t3 – t4)j + (t – 
t
6
)k. 
Determinar dr/dt: dr/dt = i + 2tj + 3t
2
k 
O produto escalar entre F·r fornece: F·r = [(t
3
 – t4)j + (t – t6)k]·[ i + 2tj + 3t2k] = 2t4 – 2t5 + 3t3 – 3t8 
O trabalho será: ∫ ∫ ( ) (
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 – Um campo vetorial do tipo: F =Mdx + Ndy + Pdz é conservativo se as três igualdades abaixo forem 
simultaneamente satisfeitas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
a) M = yz N = xz P = xy 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
logo, essa função corresponde a um campo conservativo. 
 
b) M = ysenz N = xsenz P = xycosz 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
logo, essa função corresponde a um campo conservativo. 
 
c) M = y N = x + z P = y 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
logo, essa função corresponde a um campo conservativo. 
 
d) a) M = z + y N = z P = y + x 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
logo, essa função não corresponde a um campo conservativo. 
 
21 – Pelo teorema de Green: ∮ ( x y) ∬ (
 
 x
 
 
 y
) 
Assim, se tem: 
M = 3y e N = 2x 
 
 y
 3 e 
 
 x
 2 
A região R fechada está representada no gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os limites de integração são: 0  x   e 0  y  sen(x). Logo, podemos escrever: 
       








x
y
∮ (3y x 2x y) ∫ ∫ ( 1) y x ∫ sen(x) x osx 0
 1 1 2
 
0
sen(x)
0
 
0 
 
22 – Usando o mesmo procedimento do exercício anterior, tem-se: 
M = y
2
 e N = x
2
 
 
 y
 2y e 
 
 x
 2x 
A região R fechada está representada no gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Os limites de integração são: 0  x  1 e 0  y  (1 – x). Logo, podemos escrever: 
∮ (y2 x x2 y) ∫ ∫ (2x 2y) y x ∫ [2xy 0
1 x y2 0
1 x] x
1
0
1 x
0
1
0 
 = ∫ ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
0 x 
y 
1 
1 
y=1-x