Cálculo I UNIVESP Semana 06

Prévia do material em texto

6
cálculo I
exercícios
ExErcício 1
Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método 
de substituição simples:
a. ∫sen(2x) dx
b. ∫e5x dx
c. ∫(4x + 1)100 dx 
d. ∫x  2 + x2  dx 
e. � 6x - 4
3x2 - 4x + 8
 dx
ExErcício 2
Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método 
de integração por partes:
a. ∫x ln x dx
b. ∫xe2xdx 
Cálculo I / Aulas 21–24 Exercícios 2
ExErcício 3 
Calcule a integral indefinida � x - 1
x2 - 3x + 2
 dx usando o método das frações 
parciais.
ExErcício 4
Calcule as seguintes integrais definidas:
a. ∫0
4  16 - x2  dx
b. ∫0
1 e3xdx
c. ∫0
3 3x 9 - x2  dx
d. ∫0
1 xexdx
e. ∫0
π x senx dx
ExErcício 5
Decida se as seguintes integrais impróprias são Convergentes ou Diver-
gentes. Use os resultados vistos em aula:
a. �
1
∞ 3
x4
 dx
b. �
1
∞ 2
5
 x  
dx
c. �
0
1  3
x4
 dx
d. �
0
1  2
5
 x  
dx
ExErcício 6
a. Calcule a integral indefinida �  lnx
x
 dx
b. Calcule �
1
b  lnx
x
 dx
c. Decida se �
1
∞  lnx
x
 dx  é convergente ou divergente.
Cálculo I / Aulas 21–24 Exercícios 3
ExErcício 7 
Considere a função f:[-r, r] →  ℝ , dada por f(x) = r2 - x2 .
a. Calcule o comprimento de gráfico de f. 
b. A partir deste resultado obtenha a fórmula do comprimento de uma 
circunferência em função do raio da mesma.
Cálculo I / Aulas 21–24 Exercícios 4
Gabarito
1.	
a. Faça u = 2x ⇒ du = 2dx ⇔ dx =  1
2
 du , assim temos:
�sen(2x)dx = �senu  1
2
 du =  1
2
 �senudu = -  1
2
 cos u + c = -  sen(2x)
2
 + c
b. Faça u = 5x ⇒ du = 5dx ⇔ dx =  1
5
 du , assim temos:
�e5xdx = �eu  1
5
 du =  1
5
 �eudu =  1
5
 eu + c = -  e
5x
5
 + c
c. Faça u = 4x + 1 ⇒ du = 4dx ⇔ dx =  1
4
 du , assim temos:
�(4x + 1)100dx = �u100  1
4
 du =  1
4
 �u100du =  1
4
 . u
101
101
 + c = - (4x + 1)
101
404
 + c
d. Faça u = 2 + x2 ⇒ du = 2xdx ⇔ xdx =  1
2
 du , assim temos:
�x 2 + x2 dx = � u   1
2
 du =  1
2
 �u
¹⁄²du =  1
2
 . 
3
2
u
³⁄²
 + c =  (2 + x
2)3
3
 + c
e. Faça u = 3x2 - 4x + 8 ⇒ du = (6x - 4)dx , assim temos:
� 6x - 4
3x2 - 4x + 8
dx = �  1
u
 du = ln |u| + c = ln |3x2 -4x + 8| + c
2.	
a. Faça  u = ln x
dv = xdx
  ⇒   
du  =  1
2
 dx
v  =  1
2
 , dessa forma obtemos:
�xlnxdx = �udv = uv - �vdu =  x
2
2
 lnx - � x
2
2
 .  1
x
 dx =
Cálculo I / Aulas 21–24 Exercícios 5
=  x
2
2
 lnx -  1
2
 �xdx =  x
2
2
 lnx -  1
2
 .  x
2
2
 + c =  x
2
2
 lnx -  x
2
4
 + c =  x
2
2
  lnx -  1
2
 + c
b. Faça  u = x
dv = e2xdx
  ⇒   
du  =  dx
v  =  e
2x
2
 , dessa forma obtemos:
�xlnxdx = �udv = uv - �vdu = x e
2x
2
 - �e
2x
2
 dx =
= xe
2x
2
 -  1
2
 �e2xdx = xe
2x
2
 -  1
2
 . e
2x
2
 + c = xe
2x
2
 - e
2x
4
 + c = e
2x
2
  x -  1
2
 + c
3. x2 - 3x + 2 = 0, ∆ = (-3)2 - 4 . 1 . 2 = 9 - 8 = 1 , logo as raízes são:
x = - (-3) ±  1
2 . 1
 = 3 ± 1
2
 =  1
2
  . Assim existem reais A e B tais que:
6x - 4
3x2 - 4x + 8
 =  A
x - 1
 +  B
x - 2
 ⇒ 6x - 4 = A(x - 2) + B(x - 1)
Se x = 1 ⇒ 6 . 1 - 4 = A(1 - 2) + B(1 - 1) ⇒ 2 = -A ⇒ A = -2
Se x = 2 ⇒ 6 . 2 - 4 = A(2 - 2) + B(2 - 1) ⇒ 8 = B ⇒ B = 8, logo
6x - 4
3x2 - 4x + 8
 =  -2
x - 1
 +  8
x - 2
 ⇒ � 6x - 4
3x2 - 4x + 8
 dx = � -2
x - 1
 dx + � 8
x - 2
 dx =
= -2 ln |x - 1| + 8 ln |x - 2| + c
4.	
a. Fazemos x = 4senθ, dx = 4cosθdθ, x = 0 ⇒ θ = 0, x = 4 ⇒ θ =  π
2
∫0
4  16 - x2  dx = ∫0
π⁄² 4 cosθ4cosθdθ = 16
∫0
π⁄² 1 + cos2θ
2
 dθ = 16  θ
2
 - sen2θ
4
 0
π⁄² = 4π
b. Pomos u = 3x, du = 3dx, x = 0 ⇒ u = 0, x = 1 ⇒ u = 3 .
∫0
1 e3xdx = ∫0
3 eu du
3
 =  1
3
 eu | 0
3 =  1
3
 (e3 - 1)
Cálculo I / Aulas 21–24 Exercícios 6
c. u = 9 - x2, du = - 2xdx, x = 0 ⇒ u = 9, x = 3 ⇒ u = 0 .
∫0
3 3x  9 - x2  dx = 3 ∫9
0  u  ⋅ -du
2
 =  -3
2
 ∫9
0 u
¹⁄²du = -3u
³⁄²
2
³⁄²
 |90 = - (0 - 27) = 27
d. Por partes: u = x, du = dx, dv = exdx ⇒ v = ex .
∫0
1 xexdx = ∫0
1 udv = uv | 0
1 - ∫0
1 vdu = xex | 0
1 - ∫0
1 exdx = 
= 1 ⋅ e1 - 0 ⋅ e0 - ex | 0
1 = e - (e1 - e0 ) = e - e + 1 = 1
e. Por partes: u = x ⇒ du = dx, dv = senxdx ⇒ v = -cosx .
∫0
1 xsenxdx = ∫0
1 udv = uv | 0
1 - ∫0
1 vdu = xsenx | 0
1 - ∫0
1 -cosxdx = 
= 1 ⋅ sen1 - 0 ⋅ sen0 - senx | 0
1 = sen1 + (sen1 - sen0 ) = 2sen1
5.	
a. �
1
∞ 3
x4
 dx  é Convergente, pois 4 > 1
b. �
1
∞ 2
5
 x  
dx = �
1
∞ 2
x
¹⁄⁵  
dx  é Divergente, pois  1
5
 < 1
c. �
0
1  3
x4
 dx  é Divergente, pois 4 > 1
d. �
0
1  2
5
 x  
dx  é Convergente, pois  1
5
 < 1
6.	
a. Pomos u = lnx, du =  1
x
 dx
� lnx
x
dx = �udu =  u
2
2
 + c =  (lnx)
2x
2
 + c
b. �
1
b  lnx
x
 dx =  (lnx)
2x
2
 | 1
b
 = (lnb)
2x
2
 - (ln1)
2x
2
 = (lnb)
2x
2
Cálculo I / Aulas 21–24 Exercícios 7
c. Como (lnb)
2x
2
 = + ∞ , segue que �
1
∞  lnx
x
 dx é divergente.
7. 
a. f '(x) =  -2x
2
 
r2 - x2
 . Daí  1 + [f '(x)]2 = 1 +  x
2
r2 - x2
 = r
2 - x2 + x2
r2 - x2
 =  r
2
r2 - x2
e  1 + [f '(x)]2  =  r
r2 - x2
Comprimento = C = ∫a
b  1 + [f '(x)]2  dx = ∫-r
r r
r2 - x2
 dx
Fazemos x = rsenθ, dx = rcosθdθ, x = ± r ⇒ θ = ±  π
2
C = r �
-π⁄²
π⁄²  1
rcosθ
 ⋅ rcosθdθ = r �
-π⁄²
π⁄² 1 ⋅ dθ = r    π
2
 -   -  π
2
   = πr
b. Como o gráfico de f é uma semicircunferência segue que o com-
primento de uma circunferência é o dobro, isto é, 2πr.