PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (Caderno) a05

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA (Caderno) 
 
AULA 01 – INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
Objetivos: 
1. Conhecer um panorama histórico e a natureza da Estatística; 
2. Entender a importância da Estatística como uma poderosa 
ferramenta de análise de dados para tomada de decisões e a sua 
utilização em diversos tipos de pesquisa; 
3. Identificar as diferenças entre os três ramos da Estatística: a 
Descritiva, Das possibilidades e a Inferencial; 
4. Diferenciar uma população de uma amostra; 
5. Classificar os tipos de dados em função de seus níveis de 
informação; 
6. Começar a organizar os dados de um fenômeno coletivo de forma 
eficiente. 
 
A NATUREZA DA ESTATÍSTICA – UM PANORAMA HISTÓRICO 
 Antiguidade: na Antiguidade, os povos já sentiam a necessidade de 
um desenvolvimento social, registravam o número de habitantes, 
de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas 
individuais e sociais. As primeiras estatísticas foram realizadas para 
que os governantes das grandes civilizações antigas tomassem 
conhecimento dos bens que o Estado possuía e como estavam 
distribuídos pela população; 
 Idade média: já na idade média estatísticas eram feiras com 
finalidades de cobranças de impostos e para recenseamento militar; 
 Século XVI: no século XVI surgiram as primeiras tábuas e tabelas que 
registravam fatos sociais, como batizados, casamentos e funerais; 
 Século XVIII: no século XVIII o estudo dessas informações foi 
adquirindo um caráter mais científico e o alemão Gottfried 
Achemmel, que sugeriu o nome de “Estatística” para esta nova 
Ciência, determinou quais eram os seus objetivos e relações com as 
demais Ciências. 
 
Historicamente, o crescimento e o desenvolvimento da estatística 
moderna estão relacionados a três fenômenos isolados: as necessidades 
dos governantes colocarem dados sobre os seus cidadãos, o 
desenvolvimento da teoria da probabilidade e o advento da informática. 
Para estatísticas como SAS, Eviews, R-Project e outros se tornaram 
populares e vem ajudando no processamento das informações. 
 
O QUE É ESTATÍSTICA? 
É a Ciência que estuda método de coleta, organização, descrição, análise e 
interpretação de dados, para obtenção de conclusões válidas e tomadas 
de decisões. 
 
 
APLICAÇÃO DA ESTATÍSTICA 
Seguem situações distintas e influências em processos decisórios: 
 Em Marketing: testa a reação de um grupo de consumidores sobre 
um novo produto e com base nas respostas decidem-se pela 
produção e distribuição do mesmo em uma escala nacional; 
 Na Mídia: Calcula índices de audiência de um determinado canal e 
em um determinado horário, para estabelecer o preço a ser 
sobrado aos anunciantes pela veiculação de suas propagandas; 
 No Controle de Qualidade: testa a reação de um grupo de 
consumidores sobre um novo produto e com base nas respostas 
decidem-se pela produção e distribuição do mesmo em uma escala 
nacional. 
 Na Política: utiliza-se de pesquisas prévias de opiniões para muitas 
vezes corrigir estratégias de campanha para uma determinada 
eleição; 
 Na Saúde: fornece metodologia adequada que possibilita decidir 
sobre a eficiência de um novo tratamento no combate à 
determinada doença; 
 Em Finanças: observa índices de inflação, emprego e desemprego 
para estimar alguns aspectos econômicos do cenário nacional. 
 
POPULAÇÃO E AMOSTRA 
Ao conjunto ou grupo de indivíduos que possuem pelo menos uma 
característica em comum, denominados de população estatística ou de 
universo estatístico. Uma amostra é subconjunto finito não vazio de uma 
população estatística. 
Exemplos: apenas estudantes universitários, apenas os eleitores do Sul do 
país ou apenas peças produzidas na última semana do mês. Para 
obtermos previsões válidas sobre um determinado problema quase nunca 
utilizamos todos os elementos da população, trabalhamos apenas com 
amostras desta população. 
 
Para cada experimento ou informação obtemos um número de resultados 
possíveis, por exemplo: 
Se o experimento refere-se a uma categoria como "gênero de uma 
pessoa" são dois os resultados possíveis: masculino ou feminino. 
Se o experimento refere-se a uma categoria como "estatura de uma 
pessoa"temos vários resultados possíveis dentro de um intervalo de 
números. 
 
 
 Variável: é o conjunto de resultados possíveis de um experimento 
ou informação. Dependendo dos dados coletados em um 
experimento as variáveis podem ser classificadas em qualitativas e 
quantitativas: 
o Qualitativas: são assim quando os seus valores são expressos 
por um atributo como: gênero (masc. ou fem.), cor da pele 
(branco, pardo, negro, amarelo), estatura (alto, médio ou 
baixo), etc. As variáveis qualitativas podem ser subdivididas 
em nominais e ordinais: 
 Nominais: são classificadas assim quando permitem 
comparações, como o nome ou o gênero de um 
indivíduo (João ou Maria; masculino ou feminino). Não 
é possível estabelecer que há prioridade ou o mais 
importante nessa característica; 
 Ordinais: são assim classificadas quando permitem 
comparações, como atribuição de status alto, médio ou 
baixo para um indivíduo. É possível estabelecer 
comparações de intensidade e ordenamento; 
o Quantitativas: são quando os seus valores são expressos em 
números como: quantidade de filhos, salários de 
empregados, idades dos alunos de uma faculdade, etc. AS 
variáveis quantitativas podem ser subdivididas em discretas e 
contínuas: 
 Discretas: é quando assumir valores pertencentes a um 
conjunto enumerável, como por exemplo o número de 
filhos de um casal, que pode ser 0, 1, 2, 3,..., n; 
 Contínuas: quando assumir valores em um 
determinado intervalo, como pelo de um indivíduo 
com a precisão desejada, como 52 kg; 52,3 kg; 52,217 
kg, etc.; 
 
Para ilustrar, a tabela seguinte mostra uma base de dados de uma loja de 
modas: 
 
 
A classificação das seis variáveis apresentadas a seguir: 
 
 
ORGANIZANDO E CONTANDO DADOS 
Os dados coletados da observação de um fenômeno coletivo, sem 
manipulação ou ordenação, são chamados de dados brutos. Exemplo: As 
notas de matemática de um grupo de alunos ao final da primeira avaliação 
são: 2,1; 7,1; 4,3; 3,3; 4,7; 6,9; 6,1; 7,1 e 8,3; 6,9. 
 
A série numérica exposta poderia ser de melhor forma apresentada se 
estabelecêssemos uma ordenação para as notas. Esta etapa consiste na 
elaboração de um Rol ou conjunto ordenado de dados. Um tipo de Rol 
para esta série de notas poderia ser colocá-las e mordem crescente na 
forma: {2,1; 3,3; 4,3; 4,7; 6,1; 6,9; 6,9; 7,1; 7,1; 8,3} 
 
Além de visualizar melhor a série o Rol evidência os seus valores extremos 
(maiores e menores notas). “Neste ponto vale comentar que as presenças 
de valores extremos em conjuntos de dados distorcem a maior parte das 
medidas estatísticas obtidas. Esta discussão será abordada com mais 
profundidade em aulas futuras”. Além disso, observamos que existem 
repetições de notas no conjunto. Sendo assim, uma forma mais fácil de 
representar a série de notas será por uma tabela de frequência do tipo: 
 
 
Fim############################# 
 
 
AULA 02 – APRESENTAÇÃO E ORGANIZAÇÃO DE DADOS 
Objetivos: 
1. Organizar conjunto de dados discretos em tabelas estatísticas; 
2. Conhecer os elementos que compõem uma distribuição de 
frequência; 
3. Construir uma distribuição de frequência para dados agrupados sem 
intervalos de classes; 
4. Elaborar gráficos representativos de uma distribuição de 
frequências de dados agrupados sem intervalos de classes. 
 
Na primeira aula vimos que a etapa inicial para obtermos uma melhor 
visibilidade dos dados brutos extraídos de um fenômeno coletivo é a 
construção de um rol. 
Nesta segunda etapa vamos introduzir os conceitos necessários para a 
elaboração de uma tabela estatística, denominada Distribuição de 
Frequências, considerando apenaso caso de dados discretos agrupados 
sem intervalos de classes. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
É uma tabela que viabiliza a extração rápida de uma grande quantidade de 
informações sobre um problema aplicado. Para ilustrar, vamos iniciar a 
construção de uma distribuição de frequências considerando o seguinte 
exemplo: 
Suponha que a tabela abaixo represente os dados brutos sobre as vendas 
diárias de um determinado aparelho elétrico durante um mês, por uma 
firma comercial: 
Vendas Diárias 
14 12 11 13 14 13 
12 14 13 14 11 12 
12 14 10 13 15 11 
15 13 16 17 14 14 
 
Como vimos anteriormente, um rol para estas informações 
pode ser descrito por uma série numérica ordenada de 
forma crescente do tipo: 
 
{10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 
15, 15, 16, 17} 
 
Pelo rol observamos que as vendas de 11, 12, 13, 14, 15 aparelhos 
ocorreram em 3, 4, 5, 7 e 2 dias no mês, respectivamente, e, as vendas de 
10, 16 e 17 aparelhos ocorreram em apenas um dia no mês. 
Observe neste exemplo que a variável em questão, vendas diárias, pode 
ser obtida e estudada mais facilmente se dispusermos seus valores 
ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, os totais 
de dias no mês em que as respectivas vendas ocorreram. 
Vamos então começar a inserir colunas nesta tabela com alguns tipos de 
frequências de dados que definiremos a seguir: 
 
 
FRQUÊNCIAS SIMPLES OU ABSOLUTA 
Denotada por fi, representa o número de repetições com que o dado i 
aparece no rol. 
 
Observe no rol do exemplo trabalhado: 
O primeiro dado (i = 1) aparece com frequência simples f1=1; 
O segundo dado (i = 2) aparece com frequência simples f2= 3; 
E assim por diante. 
 
Acrescentando, portanto, a coluna das frequências fi no exemplo 
trabalhado, podemos então estabelecer uma tabela mais elaborada como 
pode ser vista na figura abaixo: 
 
 
É comum incluirmos sempre a uma tabela de frequências uma última linha 
contendo a soma de todas as frequências simples. Evidentemente, esta 
soma é igual ao número total de dados do problema. 
 
Para analisarmos ainda de forma mais fácil os dados da nossa tabela 
podemos inserir mais duas outras colunas, uma com os dados relativos ao 
tamanho da amostra e outra com esses mesmos dados só que expressos 
em suas formas percentuais. Para tal, considere as definições a seguir: 
FREQÜÊNCIAS RELATIVAS (fri) 
Denotadas por fri, são obtidas pelas razões entre as freqüências simples e 
o tamanho da amostra. 
 
 
 
FREQUÊNCIAS RELATIVAS PERCENTUAIS 
Denotadas por fri%, são as frequências relativas simples escritas em suas 
formas percentuais. Podem ser obtidas pela equação: fri % = fri * 100% 
 
 
Olhando tabela podemos, por exemplo, responder facilmente às questões: 
 
a. No mês, qual o percentual de vendas diárias de 12 aparelhos? 
A melhor opção é a leitura pura e simples na coluna da freqüência relativa 
percentual do dado três, fr3 % = 17 %, isto é, em 17% dos dias no mês 
foram vendidos 12 aparelhos. 
 
b. Em quantos dias no mês foram vendidos 15 aparelhos? 
Basta analisar o valor da frequência simples do dado seis, f6 = 2 dias. 
 
c. Qual o dado que aparece mais frequentemente na tabela? 
Basta olhar o dado com a maior frequência simples (i = 5), isto é, 14 
aparelhos. 
 
Para respondermos ainda a outros tipos de questionamentos podemos 
inserir mais três novas colunas na distribuição de frequências: a primeira 
com as frequências acumuladas simples, a segunda com as frequências 
acumuladas relativas e a terceira com as frequências acumuladas relativas 
percentuais, conforme as definições a seguir: 
 
FREQUÊNCIA ACUMULADA SIMPLES 
Denotadas por fi, são obtidas pelas somas de todas as frequências simples 
até o elemento analisado. O cálculo de fi é dado pela equação: 
 
 
No exemplo analisado as frequências acumuladas são obtidas por: 
F1 = 1; F2 = F1 + f2 = 4; F3 = F2 + f3 = 8; F4 = F3 + f4 = 13; 
F5 = F4 + f5 = 20; F6 + f6 = 22 ; F7 = F6 + f7 = 23 e F8 = F7 + f8 = 24. 
 
FREQUÊNCIAS RELATIVAS ACUMULDAS 
Denotadas por fri, são as razões entre as frequências acumuladas fi e o 
tamanho da amostra. 
 
Por exemplo, a frequência relativa acumulada do dado seis é dada por: Fr6 
= 22/24 = 0, 96. 
 
As frequências relativas acumuladas na forma de porcentagens são 
obtidas pela equação a seguir: 
 
Por exemplo, a frequência relativa acumulada do dado seis é dada por: Fr6 
= 0, 96. 100 % = 96%. 
 
Acrescentando a tabela do exemplo às novas colunas, obtemos finalmente 
uma tabela Distribuição de Frequências completa como mostraremos a 
seguir: 
 
 
Com o conhecimento dos vários tipos de frequências, podemos extrair 
com facilidades vários tipos de informações da distribuição de 
frequências, como por exemplo: 
 
a. As vendas diárias de no máximo 14 aparelhos ocorreram em 
20 dias no mês. 
Na tabela, a opção de leitura é a do dado 5 na coluna das frequências 
acumuladas simples, F5 = 20. 
 
b. O percentual de vendas diárias de pelo menos 13 aparelhos é de 66%. 
Na tabela, os dados considerados irão de i = 4 até i = 8, assim nas colunas 
das frequências acumuladas percentuais basta calcularmos: 
F8 % - F3% = 100 – 34 = 66 % dos dias. 
 
c. O percentual de vendas diárias de 10 aparelhos é de 4%. 
Na tabela, a opção de leitura é do dado 1 na coluna das frequências 
percentuais, relativas fr1 = 4. 
 
UTILIZANDO GRÁFICOS 
A visualização gráfica para uma distribuição de frequências é sempre 
bastante esclarecedora quanto desejamos extrair informações de um 
problema aplicado, a seguir apresentaremos alguns tipos de gráficos úteis 
e simples que representam distribuição de frequências para o caso de 
dados agrupados sem intervalos de classes. 
 
DIAGRAMA REPRESENTATIVO PARA UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
SME INTERVALOS DE CLASSES 
É um tipo de gráfico estatístico que para elaborá-lo, dispomos na linha 
horizontal os valores assumidos pela variável do problema e a seguir 
levantamos sobre cada valor da variável um segmento de reta vertical 
com medida correspondente ao valor da sua frequência simples. 
 
 
GRÁFICO DE COLUNAS 
É uma boa forma de visualizar a distribuição de frequências, apresenta as 
frequências sob a forma de barras verticais levantadas sobre os dados que 
aparecem organizados na linha horizontal. Observe o gráfico de colunas 
que representa a tabela 1 do exemplo trabalhado. 
 
 
DIAGRAMA OU GRÁFICO DE BARRAS 
Apresenta as frequências simples ou relativas sob a forma de barras 
horizontais, separadas entre si. O gráfico de barras a seguir representa a 
frequência simples das vendas diárias do aparelho elétrico exposto na 
tabela 01. 
 
 
GRÁFICO OU DIAGRAMA DE SETORES 
Representa as frequências simples ou relativas sob a forma de setores de 
um círculo, aponta de forma muito clara os dados mais representativos da 
distribuição de frequências. O gráfico de setores a seguir representa as 
frequências simples da tabela 1, a legenda mostra as cores dos setores 
associados a cada uma das frequências simples da variável venda diária. 
 
 
Nota-se neste gráfico que o setor circular de maior área está associado a 
14 aparelhos que é o dado com a maior frequência simples (dado 5: na cor 
azul claro), seguido por 13 aparelhos 
(dado 4: na cor lilás). 
Os setores de menor área estão associados a 10, 16, 17 aparelhos que são 
os dados com menores frequências simples (dado 1: na cor azul índigo, 
dado 7: na cor azul escuro e dado 8: na cor vinho). 
Recomendação: Faça uma ampla pesquisa na internet relacionada aos 
gráficos da estatística no Excel e descubra como plotar um histograma, um 
gráfico de colunas, um gráfico de barras e um gráfico de setores circulares. 
 
TESTE O QUE VOCÊ APRENDEU 
1. Complete as informações ausentes na seguinte distribuição de 
frequências:Lembre-se que Xi é a variável do problema e fi, fi%, Fi e Fi% são 
respectivamente as frequências simples, simples percentual, acumulada e 
acumulada percentual. 
2. Após completar a distribuição de frequências, use o Excel e plote alguns 
tipos de gráficos estatísticos que representam esta tabela. 
 
 
 
 
 
Fim########################## 
 
AULA 03 – APRESENTAÇÃO E ORGANIZAÇÃO DE DADOS AGRUPADOS EM 
CLASSES 
Objetivos: 
1. Agrupar ou compactar os dados de um problema em intervalos que, 
em Estatística, são chamados de intervalos de classes; 
2. Calcular o número de intervalos de classes que devemos utilizar em 
função do tamanho da amostra de dados; 
3. Entender as vantagens e desvantagens de agrupar dados em relação 
a uma listagem não agrupada ou completa; 
4. Construir uma distribuição de frequências para dados agrupados em 
classes; 
5. Elaborar gráficos representativos de uma distribuição de 
frequências para dados agrupados e deles extrair uma grande 
quantidade de informações. 
 
Na segunda aula aprendemos a montar e representar graficamente uma 
distribuição de freqüências para um conjunto de dados discretos. Nesta 
terceira aula veremos que quando os dados coletados possuem vários 
valores diferentes, uma melhor distribuição de freqüências poderá ser 
obtida por meio de agrupamentos desses dados em intervalos de classes, 
com limites inferior e limites superior. Para ilustrar a criação de classes de 
freqüências considere o problema a seguir: 
 
Exemplo 
Suponha que tenha sido feita uma coleta de dados relativos às estaturas 
de quarenta alunos da faculdade A. O resultado da pesquisa foi 
apresentado na seguinte tabela primitiva. 
Tabela 1: Tabela Primitiva 
Estatura de 40 alunos da faculdade A 
 
 
Esses são os dados primitivos que estão apresentados sem nenhuma 
ordenação. O primeiro passo é ordená-los em um Rol para que possamos 
separá–los posteriormente em intervalos de classes. 
 
Tabela 2: Rol 
Estatura de 40 alunos da faculdade A 
 
 
Com a tabela ordenada fica fácil visualizarmos, por exemplo, que o menor 
valor da variável estatura é 150 cm, e que, o maior valor é 173 cm. 
Podemos então calcular com facilidade a Amplitude Amostral, denotada 
por AA, que é a diferença entre o maior valor e o menor valor da variável 
do problema. 
AA = x máximo – x mínimo 
Assim em nosso problema, definindo a variável x como a estatura dos 
alunos, a amplitude total da nossa amostra será dada por: 
AA = 173 – 150 = 23 
 
Para determinar o Número de Intervalos de Classes (i) que devemos 
utilizar no problema adotaremos a “Regra de Sturges” que nos dá uma 
estimativa do número de classes em termos do tamanho da amostra (n). 
I ≈ (aproxim.) 1 + 3,3*log n 
(*) log n é o logaritmo na base 10 de n. 
Assim, o número de classes que devemos adotar em nosso problema será 
de: i = 1=3,3* log 40 = 6,286797970 ≈ (aproxim.) 6 classes. 
Nota: arredonda-se sempre o valor de i para o número inteiro mais 
próximo, pois o número de classes deve ser sempre inteiro. 
 
Decidido o número de intervalos de classes, devemos então determinar a 
Amplitude (h) desses intervalos, que é obtida pelo resultado da divisão 
entre a amplitude amostral (AA) e o número de classes (i): 
H =AA/i 
Assim, a amplitude de classe do nosso problema é dada por: h 23/6 = 3,8 ≈ 
(aproxim.) 4. 
Por fim, o nosso problema deve ter seus dados agrupados em 6 classes 
distintas de intervalos com amplitudes iguais a 4. Mas atenção: O 
arredondamento de h deve ser sempre efetuado para cima usando o 
mesmo número de casas decimais dos elementos da amostra para que 
nenhum elemento fique fora da tabela. 
 
VAMOS ENTÃO MOSTRAR COMO DEVEMOS MONTAR AS CLASSES PARA 
TABULAR OS DADOS 
Devemos construir as classes começando do menor valor que a variável 
assume na amostra. A partir daí, devemos ir somando a amplitude de 
classe de modo que o limite superior de uma classe anterior seja o limite 
inferior da nova classe. A convenção adotada para a representação de 
uma classe é a seguinte: 
 |- : Limite inferior incluído na classe e superior não. 
 |-|: limite inferior e superior incluídos na classe. 
 
No nosso exemplo, a classe i = 1 terá como limite inferior 150 cm e limite 
superior 154 cm; a classe i = 2 terá como limite inferior 154 cm e superior 
158 cm e assim por diante. 
 
Com essa lei de formação a tabela de freqüências para as estaturas pode 
ser apresentada na seguinte forma: 
Tabela 3 – Distribuição de frequências - Estatura de 40 alunos da 
faculdade A 
 
 
Observe que a última coluna da tabela representa a freqüência simples 
das estaturas dos alunos encontrados na respectiva classe. Por exemplo, 
pela classe i = 2, observamos que existem na amostra 9 alunos com 
estaturas entre 154 cm (inclusive) e 158 cm (exclusive). 
 
Com objetivo de extrair vários tipos de informações da distribuição de 
freqüências poderemos acrescentar a nossa tabela outros tipos de 
frequências. São elas: 
 
 
É comum acrescentarmos a nossa tabela uma coluna com os pontos 
médios de cada uma das classes, que é o ponto que divide a classe em 
duas partes iguais. Ou ainda, o ponto médio da classe i, denotado por x i, é 
igual a: 
 
Note que o ponto médio de uma classe é o valor que a representa. 
 
Acrescentando a tabela 3 uma coluna com os pontos médios das classes, 
e, ainda, mais outras colunas com os vários tipos de freqüências que 
conhecemos, vamos obter por fim a seguinte distribuição de freqüências 
para o problema: 
Tabela 4- Distribuição de freqüências - Estatura dos alunos da faculdade 
 
 
Agora que você já tem o conhecimento da distribuição de freqüências 
tabela do problema responda aos seguintes questionamentos: 
1. Quantos alunos têm estatura entre 162 cm, inclusive, e 166 cm? 
2. Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 158 
cm? 
3. Quantos alunos possuem estatura abaixo de 162 cm? 
4. Quantos alunos possuem estatura igual ou superior a 158 cm? 
5. Qual a estatura que representa a classe cinco? 
 
1. Basta observar f4 = 8 alunos. 
2. Basta observar Fr2% = 32, 5% dos alunos. 
3. Basta observar F3 = 24 alunos. 
4. Basta fazer a seguinte conta: F6 – F2 = 27 alunos. 
5. Basta observar o ponto médio da classe i = 5: x5 = 168 cm. 
 
Proposta de Atividade I - A tabela a seguir apresenta uma distribuição de 
freqüências das áreas de 400 lotes: 
 
 
a) A amplitude total; 
b) O limite superior da quinta classe; 
c) O limite inferior da oitava classe; 
d) O ponto médio da sétima classe; 
e) A amplitude do intervalo da segunda classe; 
f) A freqüência da quarta classe; 
g) A freqüência relativa da sexta classe; 
h) A freqüência acumulada da quinta classe 
i) O número de lotes cuja área não atinge 700 m2; 
j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2; 
l) A percentagem de lotes cuja área não atinge 600 m2; 
m) A percentagem de lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2; 
n) A percentagem de lotes cuja área é de 500 m2, no mínimo, mas inferior 
a 1000 m2; 
o) A classe do 72º lote; 
p) Até que classe está incluída 60% dos lotes; 
 
Respostas: 
a. 900 
b. 800 
c. 1000 
d. 950 
e. 100 
f. 76 
g. 0,155 
h. 262 
i. 194 
j. 138 
k. XXXX 
l. 29,5% 
m. 19% 
n. 78% 
o. i=3 
p. i=5 
 
A utilização de gráficos para representar problemas de natureza prática é 
usual em nossa cultura, se percorrermos os jornais e revistas no nosso dia 
a dia iremos nos defrontar a cada momento com essas figuras ilustrativas 
que nos possibilitam uma boa compreensão dos fatos estudados. No caso 
da Estatística, as representações gráficas de uma distribuição de 
freqüências para dados agrupados por classes que aparecem mais 
frequentemente são: 
 
HISTOGRAMA 
Apresenta as freqüências das classes em colunas e possui as seguintes 
características: 
 As frequências apresentadas podemser simples ou relativas; 
 As colunas possuem bases da mesma largura; 
 Não existem espaços entre classes. 
 
 
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA 
E um gráfico de linha que representa as frequências simples dos pontos 
médios das classes. Mas atenção: Para obtermos um polígono, que é 
representado por uma linha fechada, devemos complementar a figura, 
ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior 
à primeira classe e da posterior à última classe, da distribuição. 
 
 
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA 
É um gráfico de linha obtido representando as freqüências acumuladas 
dos limites superiores das classes. 
 
 
Proposta de Atividade 2 - O seguinte histograma foi construído com base 
numa pesquisa do tempo de serviço dos empregados de uma determinada 
empresa: 
 
 
Determine: 
a. O número de classes. 
b. A amplitude total. 
c. A frequência total. 
d. O limite inferior da primeira classe. 
e. O limite superior da primeira classe. 
f. A frequência relativa da primeira classe. 
g. A frequência acumulada da segunda classe. 
h. A frequência acumulada relativa da terceira classe. 
i. O limite inferior da quarta classe. 
j. O limite superior da quinta classe. 
k. A amplitude da quarta classe. 
l. O ponto médio da terceira classe. 
m. A frequência da quarta classe. 
n. A frequência relativa da quarta classe. 
 
Respostas: 
a. 5 
b. 30 
c. 25 
d. 0 
e. 6 
f. 0,12 
g. 9 
h. 0,64 
i. 18 
j. 30 
k. 6 
l. 15 
m. 4 
n. 0,16 
 
Proposta de Atividade 3 - A MKT Image é uma empresa de consultoria em 
marketing e iniciou um trabalho de pesquisa para a TDI, que pretende 
lançar um novo produto no mercado brasileiro. Foram aplicadas algumas 
pesquisas de mercado para verificar o potencial de compra por parte da 
população. A tabela abaixo mostra os dados sobre uma amostra da 
população pesquisada, referente à renda familiar mensal (em salário 
mínimo): 
 
 
Determine se verdadeiro ou falso: 
A. 30% da amostra ganham 10 salários ou mais; 
B. Somente 44,08% da amostra ganha abaixo de 10 salários mínimos; 
C. Menos de 10% da amostra ganham 15 salários mínimos ou mais; 
D. Mais de 75% da amostra ganham abaixo de 10 salários mínimos; 
E. Mais de 5% da amostra ganham 20 salários mínimos ou mais. 
 
Respostas: 
A. Falso, 24% da amostra ganham 10 salários mínimos ou mais; 
B. Falso, 76% da amostra ganham abaixo de 10 salários mínimos; 
C. Falso, 12% da amostra ganham 15 salários mínimos ou mais; 
D. Verdadeiro, mais de 75% da amostra ganham abaixo de 10 salários 
mínimos; 
E. Falso, 4% da amostra ganham 20 salários mínimos ou mais. 
 
End############################ 
AULA 04 – MEDIDAS DEPOSIÇÃO 
Objetivos: 
1. Conhecer as medidas descritivas da Estatística que buscam o ponto 
central de um conjunto de dados; 
2. Calcular, interpretar, localizar e comparar em uma distribuição de 
frequências, as medidas de tendência central: média aritmética, 
moda e mediana; 
3. Usar essas medidas de posição como uma poderosa ferramenta 
matemática de análise de tendências para os dados de um 
problema de natureza. 
 
Nas aulas anteriores aprendemos a organizar os dados de um problema 
em tabelas estatísticas de distribuição de frequências. 
Nesta aula vamos ilustrar, por meio de um problema-exemplo, algumas 
questões que vamos responder após os estudos realizados nesta aula 
sobre as medidas de tendência central definidas na Estatística: média 
aritmética, mediana e moda. 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
São medidas importantes que tentam apontar para o valor central de um 
conjunto de dados. Destacamos como medidas de tendência central: 
 Média Aritmética: A Média Aritmética é a medida de posição 
central da Estatística que encontra o ponto médio de um conjunto 
de dados. As principais características da média aritmética são: 
o O cálculo da média envolve todos os elementos do conjunto 
de dados; 
o A média é influenciada por dados com valores muito 
pequenos ou muito grandes; 
o A média aritmética é única; 
 Mediana: A MEDIANA é uma medida de posição central da 
Estatística que busca dividir um conjunto de dados em dois grupos 
que contenham o mesmo número de elementos. As principais 
características da MEDIANA são: 
o Para qualquer conjunto de dados haverá sempre uma única 
mediana; 
o A mediana não é influenciada para dados valores muito 
pequenos ou muito grandes. 
 Moda: A Moda é a medida de posição da Estatística que encontra o 
dado que aparece mais frequentemente em uma série de valores. 
As principais características da MODA são: 
o Pode não ser única; Exemplo: A série de dados: 2; 3; 4; 6; 4; 
8; 6, possui duas modas Mo= 4 e M’o= 6. Este tipo de série é 
chamado de série bimodal. 
o Pode não existir. Exemplo: A série de dados: 2; 3; 4; 6; 8, não 
possui valor repetido, logo não possui moda. Este tipo de 
série de dados é chamado de série amodal. 
o Por ser o valor mais frequente da série, é caracterizada como 
valor mais típico do conjunto de dados. 
 
CASO: DADOS NÃO AGRUPADOS 
A Média Aritmética ou simples Média é obtida pela soma de todos os 
valores numéricos do conjunto de dados, dividido pela quantidade de 
dados. Para o conjunto de n dados, x1, x2,..., xn, a média aritmética pode 
ser obtida aplicando-se a fórmula: 
 
 
Exemplo 1. Suponha que as notas de um condidato, em seis provas de um 
concurso, sejam: 8,4; 9,2; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2 
A média deste candidato no concurso é dada por: 
 
 
CASO: DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSES 
Exemplo 2. Considere uma distribuição de frequências simples como 
mostra o exemplo a seguir: em uma prateleira de uma loja de 
departamentos foram encontrados 4 tipos de produtos com os seguintes 
preços e respectivas quantidades: 
Valores em R$ (ci) Quantidades (fi) 
50 8 
60 5 
80 4 
90 3 
 
Neste caso, podemos pensar que as quantidades (frequências simples) 
atuam como fatores de ponderação para os valores dos produtos, o que 
nos leva a calcular o preço médio pela Média Aritmética Ponderada, que é 
dada pela fórmula: 
 
 
Aplicando a fórmula ao exemplo, temos: 
 
 
Ou ainda, o preço médio de todos os produtos da prateleira é de R$ 64,50. 
 
CASO: DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSES 
Neste caso, a média aritmética é obtida utilizando-se a fórmula da Média 
Ponderada vista anteriormente, com as seguintes ressalvas: 
As frequências fi correspondem às frequências simples dos intervalos de 
classes. Os valores utilizados para as variáveis xi correspondem aos pontos 
médios dos intervalos de classes. 
Exemplo 3. Considere a distribuição de frequências do problema das 
estaturas de 40 alunos a faculdade A. 
 
 
Para calcularmos a estatura média dos alunos da turma aplicamos a 
fórmula da média ponderada aos dados da tabela. 
 
 
Ou ainda, podemos concluir que a altura média dos estudantes da 
amostra é de 161 cm. 
 
CASO: DADOS NÃO AGRUPADOS 
Neste caso a mediana é o valor da variável que ocupa a posição central de 
um conjunto de dados ordenados de forma crescente ou decrescente. 
Para calcularmos a mediana de um conjunto de n dados devemos adotar 
os seguintes procedimentos: 
 Ordenar os dados de forma crescente; 
 Após a ordenação dos dados: 
o Se o número de dados for ímpar, a mediana será o termo de 
ordem central que divide a série em duas partes iguais, isto é, 
a mediana será o valor do termo de posição (n+1)/2; 
o Se o número de dados for par, a medida será a média 
aritmética dos termos que ocupam as posições n/2 e (n/2)+1. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
Para a série de dados: 5; 13; 10; 2; 4; 7; 6. Qual é o valor da mediana? 
Ordenando a série na forma crescente obtemos 
 
2; 4; 5; 6; 7; 10; 13 
 
A mediana é dada por 
 
Md = 6 
 
Observe que três termos da série estão situados à esquerda de 6 e os 
outros três termosa direita. Isto é, a mediana dividiu a série de dados em 
partes iguais. 
 
CASO: DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSES 
Neste caso, para calcularmos a MEDIANA devemos adotar os seguintes 
procedimentos: 
 Incluir na distribuição de frequencias simples uma coluna com as 
frequencias acumuladas. 
 Identificar a frequencia acumulada imediatamente superior à 
metade do somatório das frequencias simples. 
 Observar o valor da variável associado à frequencia acumulada 
identificada no procedimento anterior. 
 
O valor da variável obtido é a MEDIANA (Md) da distribuição de 
frequência. 
 
EXEMPLO 2: 
O primeiro passo é incluir uma coluna com as freqüências acumuladas na 
distribuição de freqüências dada como mostramos a seguir: 
 
 
O segundo passo é calcular o valor da metade do tamanho da amostra 
 
 
A maior frequência acumulada que supera o número 10 encontrado é F2 = 
13. Logo, a MEDIANA distribuição é dada por Md = 60, que corresponde 
ao valor da variável associado à frequência acumulada F2. 
 
CASO: DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSES 
Atenção: no caso o valor de Efi/2 ser exatamente igual a uma das 
frequências acumuladas Fi, o cálculo da mediana será a m´dia aritmética 
entre os valores das variáveis xi e xi+1. 
Exemplo 3. Suponha que desejamos encontrar a mediana da distribuição 
de frequências a seguir 
 
 
Observe que Efi/2-50=F2 
No caso, a mediana da distribuição será dada pela média aritmética entre 
os valores das variáveis x2 e x3. Ou ainda, Md = 58+66/2=62 
 
CASO: DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSES 
A forma prática de calcular a MEDIANA de uma distribuição de frequências 
deste tipo é estabelecida adotando-se os seguintes procedimentos: 
 Acrescentar a tabela uma coluna com as frequências acumuladas Fi 
da distribuição; 
 Calcular a metade do tamanho da amostra, isto é, E fi/2; 
 Encontrar a classe mediana que corresponde à classe associada à 
frequência acumulada imediatamente superior à E fi/2; 
 Aplicar a fórmula a seguite, onde LImd é o limite inferior da classe 
mediana, Fmd é a frequência simples da classe mediana, Fmd-1 é a 
frequência acumulada da classe anterior à classe mediana e Amd é 
a amplitude da classe mediana. 
 
 
Exemplo 3. 
 
 
Observe que como Efi/2=20, a classe mediana é a que está realçada na 
tabela. Uma vez estabelecida à classe mediana, podemos extrair os dados 
necessários para a aplicação da fórmula, isto é, para: 
LImd = 158; Fmf = 11; Amd = 4 e Fmd-1 = 13; 
 
Temos a mediana da distribuição dada por: 
Md = 158+4/11. (20-13) = 160, 54. 
 
A Moda é uma medida que pode ser calculada de forma rápida, mas que 
possui pouca aplicabilidade do ponto de vista prático. 
 
CASO: DADOS NÃO AGRUPADOS 
Neste caso a moda é facilmente reconhecida, basta buscar o valor que 
mais se repete no conjunto. Exemplo 1. Série de dados 804; 9,2; 7,2; 6,8; 
8,7 e 7,2 
 
Tem moda igual a 7,2, que corresponde ao dado que se repete no 
conjunto de valores. 
 
CASO: DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE 
Neste caso, basta observar na distribuição de frequências a variável que 
possui a maior frequência. Exemplo 2. O cálculo da moda: 
 
 
Observe que a maior frequência da distribuição é f1 = 8, logo a moda é o 
valor correspondente à variável x1. Ou ainda, M0 = 50. 
 
CASO: DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSES 
Neste caso, inicialmente identificamos a classe modal que corresponde à 
classe com maior freqüência de dados. Então o cálculo da Moda Bruta 
será dado por: M0 = l + L/2, onde l = limite inferior da classe modal e L = 
limite superior da classe modal. 
 
Fim########################### 
AULA 05 – MEDIDAS DE POSIÇÃO RELATIVA E MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Objetivos: 
1. Aprender o conceito de Média Geométrica e entender a sua 
aplicabilidade em problemas populacionais e financeiros; 
2. Calcular, interpretar e aplicar outros tipos de medidas de posição, 
chamadas de medidas de posição relativa, em uma distribuição de 
frequências; 
3. Calcular e interpretar os principais indicadores de dispersão em uma 
amostra de dados. 
 
MÉDIA GEOMÉTRICA E APLICAÇÕES 
A média geométrica é a raiz enésima dos produtos dos valores 
encontrados em um conjunto numérico. Para o conjunto X = {x1, x2,..., 
xn}, onde cada xi é um número real não negativo, a média geométrica 
(MG) será calculada aplicando-se a fórmula. 
 
 
Exemplo: Seja o conjunto X = {3, 5, 7, 16}. Então a média geométrica dos 
valores de X é igual a 
 
 
ALGUMAS CONIDERAÇÕES SOBRE A MÉDIA GEOMÉTRICA 
Como a média geométrica é sempre menor ou igual que a média 
aritmética, muitos a utilizam como uma forma de medida mais 
conservadora de análise central para um conjunto de dados. 
Para certos tipos de problema ela será a única medida que refletirá a 
resposta correta. 
Sua grande aplicabilidade está em estimar a média de razões de 
crescimentos de dados em problemas dos tipos populacionais e 
financeiros. 
Por exemplo, a tabela abaixo reflete as vendas anuais e a razão de 
crescimento anual das vendas de uma determinada empresa: 
 
 
A razão média de crescimento nas vendas ao longo desses anos é medida 
com base na média geométrica entre as razões anuais, a saber: 
 
 
Com base na razão média poderíamos estimar, por exemplo, as vendas 
em 2009 a partir de 2005. Como existe um intervalo de quatro anos, a 
venda estimada para 2009 seria em torno de VENDAS ESTIMADAS = 
100000. (1, 28540)4=272230. 
Pela tabela observamos que o valor estimado para as vendas se aproxima 
do valor real (273000). 
 
Desafio: Suponha que nos últimos quatro anos a inflação tenha sido 
respectivamente de i1= 15%; i2= 20%; i3= 25% e i4= 50%. Qual a inflação 
média anual? 
Gabarito: A inflação média anual será de 26,83%. 
 
Sugestão: No cálculo de variações médias percentuais ou taxas de juros 
devemos adotar o seguinte esquema para o cálculo da Média Geométrica. 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO RELATIVA 
Além da média, moda e mediana que são consideradas medidas de 
posições centrais existem outras medidas de posições denominadas de 
relativas. Dentre elas destacamos os: 
QUARTIS, DECIS e PERCENTIS. 
Todas essas medidas são destinadas a indicar a posição que um 
determinado dado ocupa em relação à amostra como um todo. 
Já sabemos que a MEDIANA divide um conjunto de dados em duas partes 
iguais. 
Os QUARTIS são os valores que dividem a série de dados em quatro partes 
iguais sendo que após a ordenação dos dados: 
 O primeiro quartil (Q1) é o valor que deixa a quarta parte ou 25% 
das observações dos dados abaixo dele; 
 O segundo quartil (Q2) coincide com a mediana (Md) do conjunto; 
 O terceiro quartil (Q3) é o valor que deixa três quartos 93/40 ou 
75% das observações dos dados abaixo dele. 
 
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A MÉDIA GEOMÉTRICA 
Caso 1: Dados não agrupados 
Para determinarmos os quartis para um conjunto com n dados devemos 
adotar os seguintes passos: 
 Ordenar o conjunto. 
o O quartil Q1 será o valor da variável que ocupar a posição (n/4); 
Q2 o valor da variável que ocupar a posição (2n/4) e o Q3 o 
valor da variável que ocupar a posição (3n/4); 
 Para a determinação dos quartis devemos adotar a seguinte 
convenção: 
 Se a divisão indicada no item for um número fracionário, 
arredonde-o para cima e o valor do quartil será a variável 
encontrado nesta posição. 
 Se a divisão for um número inteiro, o quartil será a 
média aritmética da variável que ocupar a posição 
encontrada com o valor da variável que ocupar a posição 
seguinte. 
 
Exemplo: Suponha que você queira fazer uma análise sobre o tempo que 
utiliza para se aprontar pela manhã de modo a minimizar atrasos 
excessivos ou chegar com muita antecedência aos seus compromissos. 
Para tal você coletou, durante dez dias consecutivos, os tempos 
mostrados a seguir desde a hora que levantou da camaaté sair de casa? 
 
 
Para tirar conclusões você resolveu calcular os quartis da série obtida. 
Vamos inicialmente ordenar, do menor para o maior, os tempos gastos 
para se aprontar nos dez dias consecutivos: 
Série ordenada de tempos gastos: 
Tempo (minutos) 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52 
 
Posição de Q1 
Observe que n/4=10/5=2,5. Como 2,5 é um número fracionário devemos 
inicialmente arredondar 2,5 para 3. Pelas regras estabelecidas, a posição 
do quartil Q1 será definida pelo terceiro elemento da série ordenada de 
tempos gastos. Ou ainda, o tempo de 35 minutos. 
Podemos então concluir que: 
Em 25% dos dias você levou um tempo menor ou igual a 35 minutos para 
se aprontar e em 75% dos dias você levou um tempo maior ou igual que 
35 minutos para se aprontar. 
 
Posição de Q2 ou da Mediana 
Observe que 2n/4=5. Como 5 é um número inteiro, pelas regras 
estabelecidas, o Quartil Dois ou Mediana será dado pela média aritmética 
dos tempos situados nas posições cinco e seis da série ordenada. Ou 
ainda, Q1 = Md = (39+40)/2 = 39,5. 
Podemos então concluir que: 
Para a metade dos dias você levou um tempo menor ou igual a 39,5 
minutos para ficar pronto e para a outra metade dos dias um tempo maior 
ou igual a 39,5 minutos. 
 
Posição de Q3 
Observe que 3n/4=7,5. Como 7,5 é um número fracionário devemos 
inicialmente arredondar 7,5 para 8. Pelas regras estabelecidas, a posição 
do quartil Q3 será definida pelo oitavo elemento da série ordenada de 
tempos gastos. Ou ainda, o tempo de 44 minutos. 
Podemos então concluir que: 
Em 75% dos dias você levou um tempo menor ou igual a 44 minutos para 
ficar pronto e em 25% dos dias você levou um tempo maior ou igual a 44 
minutos para ficar pronto. 
 
Caso 2: Dados Agrupados 
De forma semelhante aos quartis, os PERCENTIS podem ser 
calculados, para dados agrupados em classes, pela fórmula 
 
 
Onde k é a ordem do percentil que se deseja encontrar. Assim no exemplo 
das estaturas dos 40 alunos da distribuição a seguir 
 
 
O percentil de ordem 20 (P20 ) será calculado da seguinte forma: 
 
 
Ou ainda, P20 = 155,78 cm. 
Atenção: 
Agora que você já sabe calcular Quartis e Percentis faça uma pesquisa 
sobre determinação dos Decis. Considere os casos de dados não 
agrupados e agrupados. 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Nem sempre o cálculo da média, da moda e da mediana nos permite uma 
análise clara do comportamento de dados de uma amostra. Observe, por 
exemplo, os três grupos de notas de um teste: 
GRUPO 1 3 4 5 6 7 
GRUPO 2 1 3 5 7 9 
GRUPO 3 5 5 5 5 5 
 
Apesar de todos terem as mesmas médias e medianas (Verifique!), torna-
se evidente que o comportamento das notas dos três grupos não é o 
mesmo. Desta forma é sempre necessário uma análise conjunta entre as 
medidas de posição já estudadas e as medidas de dispersão que 
definiremos a seguir. 
 
AMPLITUDE INTERQUARTIL 
Mede a dispersão nos dados que estão entre as 50% observações centrais. 
Sendo assim, não é influenciada pelos valores extremos da amostra de 
dados. 
Amplitude Interquartil = Quartil 3 – Quartil 1. 
Para a série ordenada de tempos gastos no exemplo já visto. Série 
ordenada de tempos gastos: 
 
 
A amplitude Interquartil é de (44 – 35) = 9 minutos. 
 
VARIÂNCIA 
Denotada por (s²), é a medida de dispersão que mede a variação média 
dos dados de uma amostra em relação a sua média aritmética. Pode ser 
calculada pela fórmula 
 
 
Em que: Xi é o valor de cada observação; X (com negador em cima) é a 
média aritmética das observações e n o tamanho da amostra (número de 
dados). 
 
DESVIO PADRÃO 
Denotado por s, é uma medida conhecida pela sua utilidade e aplicação 
prática. É calculada extraindo-se a raiz quadrada da variância (s ). 
 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
Denotado por (CV), é uma medida de dispersão relativa, elimina o efeito 
da magnitude dos dados, exprime na forma percentual a dispersão dos 
dados em relação à média. É dado pela fórmula a seguir 
 
 
em que: s é o desvio padrão e é a média aritmética da amostra. Vamos a 
seguir calcular a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação 
para o problema da série ordenada de tempos gastos para se aprontar. 
 
 
A média aritmética X (com negador) = 39,6. 
 
 
 
 
 
RESOLVA AGORA AS MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA O EXEMPLO DOS TRÊS 
GRUPOS DE NOTAS DE TESTES 
Observe o resultado obtido: 
 
 
Para o caso de Dados Agrupados as freqüências simples das variáveis 
devem ser consideradas ao fazermos o cálculo das medidas de dispersão. 
Neste caso, a fórmula do desvio padrão resultará em: 
 
 
No exemplo a seguir vamos considerar uma distribuição de freqüências 
em que os dados estão agrupados sem intervalos de classes pela tabela: 
Xi 1 2 3 4 5 6 
Fix 2 5 8 6 3 1 
 
O desvio padrão da amostra poderá ser obtido organizando- se o seguinte 
esquema facilitador de cálculos: 
 
 
 
 
No caso de dados agrupados com intervalos de classes, o cálculo de s é 
feito utilizando-se da mesma fórmula do exemplo anterior. O valor da 
variável xi fica determinado pelo ponto médio do intervalo da classe i. 
Veja, por exemplo, o cálculo do desvio padrão para a distribuição de 
frequências a seguir: 
 
 
 
 
Fim############################### 
 
AULA 06 – ANALISE COMBINATÓRIA – REVISÃO 
Objetivos: 
1. Conhecer os fundamentos da análise combinatória; 
2. Conhecer as propriedades de fatorial de um número natural; 
3. Conhecer o princípio fundamental da contagem; 
4. Resolver problemas que envolvam Permutação, Combinação e 
Arranjo.