lista7 mudanca de variáveis int duplas

Prévia do material em texto

Lista 7: Mudanc¸a de Varia´veis - Integrais Duplas
Daniel Niemeyer
Questa˜o 1: Utilizando a mudanc¸a de varia´veis u = x+ y e v = x− y, calcule:∫ ∫
D
(x+ y)2(x− y)2 dxdy
Onde D e´ a regia˜o limitada pelo quadrado de ve´rtices (0, 1), (1, 0), (1, 2) e (2, 1).
Questa˜o 2: Utilizando a mudanc¸a de varia´veis u = x− y e v = x+ y, calcule:∫ ∫
D
(x2 − y2) sen 2(x+ y) dxdy
Onde D = {(x, y)/ − pi ≤ x+ y ≤ pi,−pi ≤ x− y ≤ pi}.
Questa˜o 3: Utilizando a mudanc¸a de varia´veis x = u2 − v2 e y = uv, calcule:∫ ∫
D
y dxdy
Onde D e´ a regia˜o limitada pelo eixo x e pelas para´bolas y2 = 4− 4x e y2 = 4 + 4x, com
y ≥ 0.
Questa˜o 4: Encontre a a´rea da regia˜o R do plano xy delimitada pela curva (2x−4y+7)2+(x+5y)2 = 14.
Questa˜o 5: Utilize as coordenadas polares para calcular as seguintes integrais:
a)
∫ ∫
D
ex
2+y2 dxdy, onde D = {(x, y)/ x2 + y2 ≤ 1}.
b)
∫ ∫
D
ln (x2 + y2) dxdy, onde D = {(x, y)/ x ≥ 0, y ≥ 0, a ≤ x2 + y2 ≤ b}.
c)
∫ ∫
D
sen (
√
x2 + y2)√
x2 + y2
dxdy, onde D = {(x, y)/ pi
2
4
≤ x2 + y2 ≤ pi2}.
d)
∫ 3
0
∫ √9−x2
−√9−x2
(x3 + xy2) dydx.
Questa˜o 6: Encontre o volume do so´lido W acima do plano xy limitado pelo parabolo´ide z = x2 + y2
e pelo cilindro x2 + y2 = 2y.
GABARITO :
Questa˜o 1:
26
9
.
Questa˜o 2: 0.
Questa˜o 3: 2.
Questa˜o 4: pi.
Questa˜o 5: a) pi(e− 1).
b)
pi
8
[a2 − b2 + 2(b2 ln b− a2 ln a)].
c) 2pi.
d)
486
5
.
Questa˜o 6:
3pi
2
u.v..