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Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 1 Integrais de Linha e de Superf´ıcie Integrais de Linha Definiremos uma integral que e´ semelhante a` integral unidimensional, exceto que, ao inve´s de integrarmos sobre um intervalo [a, b] , integraremos sobre uma curva C. Tais integrais sa˜o chamadas integrais de linha, embora ”integrais de curva”seria melhor terminologia. Elas foram inventadas no comec¸o do se´culo XIX para resolver problemas que envolviam escoamento de fluidos, forc¸as, eletricidade e magnetismo. Seja C uma curva plana dada pelas equac¸o˜es parame´tricas x = x (t) y = y (t) a ≤ t ≤ b ou, o que e´ equivalente, pela equac¸a˜o vetorial r (t) = x (t) i + y (t) j, e suponhamos que C seja uma curva suave, ou seja, r′ e´ cont´ınua e r′ (t) 6= 0. De forma ana´loga a` soma de Riemann, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos, que implica em uma divisa˜o na curva C em n subarcos de comprimento ∆s1, ∆s2, ..., ∆sn e, tomando um ponto t∗i ∈ [ti−1, ti] e assim, um ponto (x∗i , y∗i ) = (x (t∗i ) , y (t∗i )) , calculamos f (x∗i , y∗i ) , multiplicamos pelo comprimento ∆si e somamos. Logo, temos a definic¸a˜o: Se f e´ definida sobre uma curva suave C, enta˜o a integral de linha sobre C e´∫ C f (x, y)ds = lim n→∞ n∑ i=1 f (x∗i , y ∗ i )∆si se esse limite existir. Como ja´ vimos, o comprimento da curva C e´ L = ∫b a √( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt Assim, podemos reescrever ∫ C f (x, y)ds = ∫b a f (x (t) , y (t)) √( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt O valor da integral de linha na˜o depende da parametrizac¸a˜o da curva, desde que a curva seja percorrida uma u´nica vez quando t cresce de a para b. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 2 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis No caso especial em que C e´ um segmento de reta unindo (a, 0) a (b, 0) , a integral de linha se reduz a integral unidimensional. (basta fazer x = t e y = 0, a ≤ t ≤ b) Podemos, assim como para integrais unidimensionais, interpretar a integral de linha de uma func¸a˜o positiva como a´rea. Nesse caso, temos a a´rea de uma ”cerca”ou ”cortina”como na figura abaixo. Exemplo: Calcule ∫ C ( 2+ x2y ) ds, onde C e´ a metade superior do c´ırculo unita´rio x2 + y2 = 1. Quando estamos nos preparando para resolver uma integral de linha, a`s vezes o mais dif´ıcil e´ pensar na representac¸a˜o parame´trica da curva cuja descric¸a˜o geome´trica foi dada. Frequentemente, e´ preciso parametrizar um segmento de reta que inicia em r0 e termina r1. Recordemos que tal parametrizac¸a˜o e´ dada por r(t) = (1− t) r0 + tr1 0 ≤ t ≤ 1 Suponha agora que C seja uma curva suave por partes, ou seja, C e´ a unia˜o de um nu´mero finito de curvas suaves C1, C2, ..., Cn onde, o ponto inicial de Ci+1 e´ o ponto final de Ci. Nesse caso, definimos a integral de f ao longo de C como a soma das integrais de f ao longo de cada parte suave de C :∫ C f (x, y)ds = ∫ C1 f (x, y)ds+ ∫ C2 f (x, y)ds+ ...+ ∫ Cn f (x, y)ds Exemplo: Calcule ∫ C 2xds, onde C e´ formada pelo arco C1 da para´bola y = x 2 de (0, 0) a (1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2) . Duas outras integrais de linha sa˜o obtidas trocando-se ∆si por ∆xi = xi − xi−1 ou ∆yi = yi − yi−1 na definic¸a˜o anterior. Elas sa˜o chamadas, respectivamente, integrais de linhas ao longo de C com relac¸a˜o a x e y :∫ C f (x, y)dx = lim n→∞ n∑ i=1 f (x∗i , y ∗ i )∆xi∫ C f (x, y)dy = lim n→∞ n∑ i=1 f (x∗i , y ∗ i )∆yi Quando queremos distinguir a integral de linha original ∫ C f (x, y)ds das equac¸o˜es anteriores, esta e´ chamada de integral de linha com relac¸a˜o ao comprimento de arco. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 3 As fo´rmulas seguintes dizem que as integrais de linha com relac¸a˜o a x e y podem ser calculadas escrevendo-se tudo em termos de t : x = x (t) , y = y (t) , dx = x′ (t)dt, dy = y′ (t)dt∫ C f (x, y)dx = ∫b a f (x (t) , y (t)) x′ (t)dt∫ C f (x, y)dy = ∫b a f (x (t) , y (t))y′ (t)dt Frequentemente acontece de as integrais de linha com relac¸a˜o a x e y ocorrerem em conjunto. Quando isso acontece, e´ comum abreviar escrevendo∫ C P (x, y)dx+ ∫ C Q (x, y)dy = ∫ C P (x, y)dx+Q (x, y)dy. Exemplo: Calcule ∫ C y2dx+ xdy onde (a) C = C1 e´ o segmento de reta de (−5,−3) a (0, 2) (b) C = C2 e´ o arco da para´bola x = 4− y 2 de (−5,−3) a (0, 2) Observe que as respostas para os itens (a) e (b) sa˜o diferentes, apesar de as duas curvas terem as mesmas extremi- dades. Assim, em geral, o valor de uma integral de linha na˜o depende apenas das extremidades da curva, mas tambe´m da trajeto´ria. Integrais de Linha no Espac¸o Suponhamos que C seja uma curva espacial suave dada pelas equac¸o˜es parame´tricas x = x (t) y = y (t) z = z (t) a ≤ t ≤ b ou, por uma equac¸a˜o vetorial r (t) = x (t) i + y (t) j+z(t)k. Se f e´ uma func¸a˜o de treˆs varia´veis que e´ cont´ınua em alguma regia˜o contendo C, enta˜o definimos a integral de linha de f ao longo de C de maneira ana´loga ∫ C f (x, y, z)ds = ∫b a f (x (t) , y (t) , z (t)) √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 dt ou, de maneira reduzida ∫b a f (r (t)) |r′ (t)|dt As propriedades das integrais de linha sa˜o ana´logas a`s propriedades das integrais definidas. Suponha que C e´ uma curva suave, ou suave por partes e que f (x, y, z) e g (x, y, z) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em cada ponto de C. a) ∫ C kf (x, y, z)ds = k ∫ C f (x, y, z)ds, onde k e´ uma constante b) ∫ C [f (x, y, z) + g (x, y, z)]ds = ∫ C f (x, y, z)ds+ ∫ C g (x, y, z)ds c) Supondo que C seja composta de duas curvas suaves C1 e C2∫ C f (x, y, z)ds = ∫ C1 f (x, y, z)ds+ ∫ C2 f (x, y, z)ds d) ∫ C f (x, y, z)ds = ∫ −C f (x, y, z)ds, onde −C representa a curva C orientada no sentido oposto. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 4 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis Exemplo: Calcule ∫ C y sen zds, onde C e´ a he´lice circular dada pelas equac¸o˜es x = cos t, y = sen t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2pi. Exemplo: Calcule ∫ C xyds, onde C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 = 4 e y+ z = 8. Tambe´m podemos definir integrais de linha ao longo de C em relac¸a˜o a x, y e z. Por exemplo,∫ C f (x, y, z)dz = lim n→∞ n∑ i=1 f (x∗i , y ∗ i , z ∗ i )4zi = ∫b a f (x (t) , y (t) , z (t)) z′ (t)dt. Portanto, podemos calcular integrais da forma∫ C P (x, y, z)dx+Q (x, y, z)dy+ R (x, y, z)dz escrevendo tudo (x, y, z, dx, dy, dz) em termos do paraˆmetro t. Exemplo: Calcule ∫ C ydx + zdy + xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 de (2, 0, 0) a (3, 4, 5) , seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) a (3, 4, 0) . No´s tratamos molas e fios como massas distribu´ıdas ao longo de curvas lisas no espac¸o. A distribuic¸a˜o e´ descrita por uma func¸a˜o de densidade cont´ınua ρ (x, y, z) representando massa por unidade de comprimento. Quando uma curva C e´ parametrizada por r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t)k, a ≤ t ≤ b, enta˜o x, y e z sa˜o func¸o˜es do paraˆmetro t, a densidade e´ a func¸a˜o ρ (x (t) , y (t) , z (t)) , e a diferencial do comprimento de arco e´ fornecida por ds = √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 dt. A massa e o centro de massa da mola ou do fio sa˜o enta˜o calculados com as fo´rmulas a seguir, com as integrac¸o˜es em termos do paraˆmetro t sobre o intervalo [a, b] . Por exemplo, a fo´rmula para massa torna-se M = ∫b a ρ (x (t) , y (t) , z (t)) √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 dt. Essas fo´rmulas se aplicam tambe´m a hastes finas. Massa: M = ∫ C ρds Primeiros momentos emrelac¸a˜o aos eixos coordenados: Myz = ∫ C xρds, Mxz = ∫ C yρds, Mxy = ∫ C zρds Coordenadas do centro de massa: x = Myz M , y = Mxz M , z = Mxy M Exemplo: Um arco meta´lico fino, mais denso na base que no topo, encontra-se ao longo do semic´ırculo y2+z2 = 1, z ≥ 0, no plano yz. Encontre o centro de massa do arco se a densidade no ponto (x, y, z) no arco for ρ (x, y, z) = 2− z. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 5 Integrais de Linha de Campos Vetoriais Seja D um conjunto em R2 (uma regia˜o plana). Um campo vetorial em R3 e´ uma func¸a˜o F que associa a cada ponto (x, y) em D um vetor bidimensional F (x, y) = P (x, y) i+Q (x, y) j Seja D um conjunto em R3 (uma regia˜o plana). Um campo vetorial em R3 e´ uma func¸a˜o F que associa a cada ponto (x, y, z) em D um vetor tridimensional F (x, y, z) = P (x, y, z) i+Q (x, y, z) j+ R (x, y, z)k. Para representarmos graficamente um campo vetorial, tomamos alguns pontos P ∈ D e desenhamos o vetor F (P) como uma seta com a origem P (transladada paralelamente da origem para P). Um tipo importante de campo vetorial e´ formado por todos os vetores gradientes da func¸a˜o. Definimos o campo gradiente de uma func¸a˜o deriva´vel f (x, y, z) como o campo de vetores gradiente ∇f = ∂f ∂x i+ ∂f ∂y j+ ∂f ∂z k Em cada ponto (x, y, z), o campo gradiente fornece um vetor apontando na direc¸a˜o e sentido do maior crescimento de f, com a magnitude sendo o valor da derivada direcional naquela direc¸a˜o. Um campo vetorial F e´ chamado campo vetorial conservativo se ele for o gradiente de alguma func¸a˜o escalar, ou seja, se existir uma func¸a˜o f tal que F = ∇f. Nessa situac¸a˜o, f e´ denominada func¸a˜o potencial de F. Na F´ısica, o trabalho realizado por uma forc¸a constante F, para desolcar uma part´ıcula em linha reta, e´ definido como o produto da componente da forc¸a da direc¸a˜o do deslocamento pelo deslocamento, ou seja, se denotarmos por W o trabalho realizado por F para mover a particula de A ate´ B temos W = (|F| cosα) ∣∣∣−→AB∣∣∣ = |F| ∣∣∣−→AB∣∣∣ cosα = F · −→AB lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 6 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis De maneira geral, quando uma part´ıcula se move ao longo de uma curva C suave, sujeita a` ac¸a˜o de um campo de forc¸as varia´vel F, podemos dividir C em pequenos arcos e aproximar cada arco por um segmento retil´ınio tangente a` curva (consideraremos o vetor tangente T como sendo unita´rio). Enta˜o, o trabalho feito pela forc¸a F para mover a part´ıcula de Pi−1 para Pi e´ aproximadamente F (x∗i , y ∗ i , z ∗ i ) · [4siT (t∗i )] = [F (x∗i , y∗i , z∗i ) ·T (t∗i )]4si ou seja, o trabalho total executado e´ a soma de do trabalho para mover a part´ıcula ao longo de cada trecho. Intuitivamente, percebemos que essa aproximac¸a˜o torna-se cada vez melhor quanto maior e´ a quantidade de diviso˜es. Portanto, definimos o trabalho W feito por um campo de forc¸as F como o limite de tal soma, ou seja, W = ∫ C F (x, y, z) ·T (x, y, z)ds = ∫ C F ·Tds Se a curva C e´ dada por r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , t ∈ [a, b] , enta˜o T (t) = r ′ (t) |r (t)| e, W = ∫b a [ F (r (t)) · r ′ (t) |r (t)| ] |r (t)|dt = ∫b a F (r (t)) · r′ (t)dt Essa u´ltima integral e´ frequentemente abreviada como ∫ C F · dr e ocorre tambe´m em outras a´reas da F´ısica. Portanto, definimos a integral de linha de qualquer campo vetorial cont´ınuo como: Seja F um campo vetorial cont´ınuo definido sobre uma curva suave C dada pela func¸a˜o vetorial r (t), a ≤ t ≤ b . Enta˜o, a integral de linha de F ao longo de C e´∫ C F · dr = ∫b a F (r (t)) · r′ (t)dt = ∫ C F ·Tds Exemplo: Determine o trabalho feito pelo campo de forc¸a F (x, y) = x2i − xyj ao se mover uma part´ıcula do longo de um quarto de c´ırculo r (t) = cos ti+ sen tj, 0 ≤ t ≤ pi 2 . Exemplo: Calcule ∫ C F · dr, onde F (x, y, z) = xyi + yzj + zxk e C e´ a cu´bica retorcida dada por x = t, y = t2, z = t3, 0 ≤ t ≤ 1. Observac¸a˜o: Apesar de ∫ C F · dr = ∫ C F ·Tds e as integrais em relac¸a˜o ao comprimento de arco na˜o trocarem de sinal quando a orientac¸a˜o do caminho for invertida, e´ verdade que∫ −C F · dr = − ∫ C F · dr pois o vetor tangente e´ substitu´ıdo por sua negativa quando C e´ substitu´ıdo por −C. Observemos agora, a relac¸a˜o entre as integrais de linha de campos vetoriais e as integrais de linha de campos escalares: ∫ C F · dr = ∫ C Pdx+Qdy+ Rdz onde F = Pi+Qj+ Rk La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 7 Independeˆncia do caminho Se considerarmos o vetor gradiente de uma func¸a˜o f de duas ou treˆs varia´veis como uma espe´cie de derivada de f, enta˜o o teorema seguinte pode ser visto como uma versa˜o do Teorema Fundamental do Ca´lculo para as integrais de linha: Teorema: Seja C uma curva suave dada pela func¸a˜o r (t) , a ≤ t ≤ b. Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel de duas ou treˆs varia´veis cujo vetor gradiente ∇f e´ cont´ınuo em C. Enta˜o,∫ C ∇f · dr = f (r (b)) − f (r (a)) Suponha que C1 e C2 sejam curvas suaves por partes (denominadas caminhos) que teˆm o mesmo ponto inicial A e o mesmo ponto final B. Sabemos que em geral ∫ C1 F · dr 6= ∫ C2 F · dr. Mas, pelo teorema acima∫ C1 ∇f · dr = ∫ C2 ∇f · dr sempre que ∇f for cont´ınua. Em outras palavras, a integral de linha de um campo vetorial conservativo depende somente das extremidades da curva. Em geral, se F for um campo vetorial cont´ınuo com domı´nio D, dizemos que a integral de linha e´ independente do caminho se ∫ C1 F · dr = ∫ C2 F · dr para quaisquer caminhos C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Dizemos que uma curva e´ fechada se seu ponto final coincide com o ponto inicial, ou seja, se r (a) = r (b) . Enta˜o ∫ C F · dr e´ independende do caminho em D se e somente se ∫ C F · dr =0 para todo caminho fechado C em D. Uma regia˜o simplesmente conexa no plano e´ uma regia˜o conexa por caminhos D tal que toda curva fechada simples (ou seja, sem autointersecc¸o˜es) em D inclui apenas pontos que esta˜o D. O resultado a seguir nos ajuda a decidir se um campo vetorial e´ conservativo: Se F (x, y) = P (x, y) i+Q (x, y) j e´ um campo vetorial conservativo, onde P e Q teˆm derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas em um domı´nio D, enta˜o em todos os pontos de D temos ∂P ∂y = ∂Q ∂x Exemplo: Determine se o campo vetorial F (x, y) = (x− y) i+ (x− 2) j e´ ou na˜o conservativo. A rec´ıproca do resultado anterior vale para regio˜es abertas simplesmente conexas. Seja F = Pi +Qj um campo vetorial em uma regia˜o aberta simplesmente conexa D. Suponha que P e Q tenham derivadas cont´ınuas de primeira ordem e que ∂P ∂y = ∂Q ∂x em todo D. Enta˜o F e´ conservativo. Este resultado, entretanto, na˜o mostra como encontrar a func¸a˜o potencial f tal que F = ∇f. Vejamos o processo para encontrar f com um exemplo. Exemplo: (a) Se F (x, y) = (3+ 2xy) i+ ( x2 − 3y2 ) j, encontre uma func¸a˜o f tal que F = ∇f. (b) Calcule a integral de linha ∫ C F · dr, onde C e´ a curva dada por r (t) = et sen ti+ et cos tj, 0 ≤ t ≤ pi. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
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