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Pa´gina 8 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis Teorema de Green O teorema de Green fornece a relac¸a˜o entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a regia˜o do plano D delimitada por C. Convencionaremos que orientac¸a˜o positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido anti-hora´rio de C, percorrido uma so´ vez. Teorema de Green: Seja C uma curva simples, fechada, cont´ınua por partes, orientada positivamente, e seja D a regia˜o delimitada por C. Se P e Q tem derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas sobre uma regia˜o aberta que contenha D, enta˜o ∫ C Pdx+Qdy = ∫∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dA Observe que o lado esquerdo desta equac¸a˜o e´ outra forma de escrever ∫ C F · dr, onde F = Pi+Qj. A notac¸a˜o ∮ C Pdx +Qdy e´ usada para indicar que a integral de linha e´ calculada usando a orientac¸a˜o positiva da curva fechada C. Exemplo: Calcule ∫ C x4dx + xydy, onde C e´ a curva triangular constitu´ıda pelos segmentos de reta de (0, 0) a (1, 0) , de (1, 0) a (0, 1) , e de (0, 1) a (0, 0) . Exemplo: Calcule ∮ C (3y− esenx)dx+ ( 7x+ √ y4 + 1 ) dy, onde C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 9. Uma aplicac¸a˜o da direac¸a˜o inversa do Teorema de Green esta´ no ca´lculo de a´reas. Como a a´rea de uma regia˜o D e´ ∫∫ D dA, desejamos escolher P e Q tais que ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 1. Existem va´rias possibilidades. Podemos enta˜o, tomar as seguintes fo´rmulas para a a´rea de D : A = ∮ C xdy = − ∮ C ydx = 1 2 ∮ xdy− ydx Exemplo: Determine a a´rea delimitada pela elipse x2 a2 + y2 b2 = 1. Rotacional e Divergente Definiremos duas operac¸o˜es que podem ser realizadas com campos vetoriais e que sa˜o essenciais nas aplicac¸o˜es de ca´lculo vetorial em mecaˆnica dos fluidos e em eletricidade e magenetismo. Cada operac¸a˜o lembra uma derivac¸a˜o, mas produz um campo vetorial, enquanto a outra gera um campo escalar. Antes, definiremos o operador diferencial vetorial ∇ (”del”) como ∇ = i ∂ ∂x + j ∂ ∂y + k ∂ ∂z . Observe que quando ele opera sobre uma func¸a˜o escalar f, produz o gradiente de f. Se F = Pi+Qj+ Rk e´ um campo vetorial em R3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, enta˜o o rotacional de F e´ o campo vetorial em R3 definido por rot F = ∇× F = ( ∂R ∂y − ∂Q ∂z ) i+ ( ∂P ∂z − ∂R ∂x ) j+ ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) k Exemplo: Se F (x, y, z) = xzi+ xyzj− y2k, determine rot F. Se f e´ uma func¸a˜o de treˆs varia´veis que tem derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas, enta˜o rot(∇f) = 0. Assim, se F e´ um campo vetorial conservativo, ou seja, F = ∇f enta˜o rot F = 0. Teorema: Se F for um campo vetorial definido sobre todo R3 cujas func¸o˜es componentes tenham derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas e rot F = 0, F sera´ um campo vetorial conservativo. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 9 Exemplo: Mostre que F (x, y, z) = y2z3i+ 2xyz3j+ 3xy2z2k e´ um campo vetorial conservativo. Determine uma func¸a˜o f tal que F = ∇f. Se F = Pi+Qj+ Rk e´ um campo vetorial em R3 e as derivadas parciais de P, Q e R existem, enta˜o o divergente de F e´ a func¸a˜o de treˆs varia´veis definida por divF = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z = ∇ · F Exemplo: Se F (x, y, z) = xzi+ xyzj− y2k, determine divF. Um outro operador surge quando calculamos o divergente do gradiente de um campo vetorial ∇f div (∇f) = ∇ · (∇f) = ∂ 2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2 e essa expressa˜o aparece ta˜o frequentemente que abreviamos por ∇2f e o chamamos de operador de Laplace. Podemos aplicar o laplaciano ∇2 a um campo vetorial F = Pi+Qj+ Rk em termos de suas componentes ∇2F = ∇2Pi+∇2Qj+∇2Rk Utilizando esses dois operadores podemos escrever as formas vetoriais do Teorema de Green. Consideramos uma regia˜o plana D, sua curva fronteira C e func¸o˜es P e Q que satisfac¸am as hipo´teses do Teorema de Green. Em seguida, considerando o campo vetorial F = Pi+Qj. A sua integral de linha e´∮ C F · dr = ∮ C Pdx+Qdy Consideremos que F = Pi+Qj+0k. Da´ı, rot F = ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) k. Donde, (rot F) · k = ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) . Logo, ∮ C F · dr = ∫∫ D (rot F) · kdA Agora, supondo que a curva C seja dada pela equac¸a˜o vetorial r (t) = x (t) i+y (t) j temos o vetor normal unita´rio externo a C, n (t) = y′ (t) |r′ (t)| i− x′ (t) |r′ (t)| j e da´ı, ∮ C F · nds = ∫∫ D divF (x, y)dA Superf´ıcies Parametrizadas Analogamente a` func¸o˜es vetoriais de um u´nico paraˆmetro t, podemos descrever uma superf´ıcie por meio de uma func¸a˜o vetorial de dois paraˆmetros u e v. Suponhamos que r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k seja uma func¸a˜o a valores vetoriais definida sobre uma regia˜o D do plano uv. O conjunto de todos os pontos (x, y, z) e R3 tal que x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (u, v) e (u, v) varia ao longo de D, e´ chamado de superf´ıcie parametrizada de S. Assim como para func¸o˜es vetoriais, a superf´ıcie e´ trac¸ada pela ponta do vetor posic¸a˜o r (u, v) enquanto (u, v) se move ao longo da regia˜o D (figura a seguir a` esquerda). lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 10 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis Exemplo: Identifique e esboce a superf´ıcie com equac¸a˜o vetorial r (u, v) = 2 cosui+ vj+ 2 senuk Se uma superf´ıcie parametrizada S e´ dada por uma func¸a˜o vetorial r (u, v), enta˜o existem duas famı´lias de curvas u´teis contidas em S, que sa˜o obtidas fazendo u constante e v constante. Observe que, neste caso, a func¸a˜o vetorial r se torna uma func¸a˜o vetorial de um u´nico paraˆmetro. Tais curvas sa˜o chamadas curvas da grade. Exemplo: Determine a func¸a˜o vetorial que representa o plano que passa pelo ponto P0 com vetor posic¸a˜o r0 e que contenha dois vetores na˜o paralelos a e b. r (u, v) = r0 + au+ bv Exemplo: Determine uma representac¸a˜o parametrizada da esfera x2 + y2 + z2 = a2. r (φ, θ) = a senφ cos θi+ a senφ sen θj+ a cosφk com 0 ≤ φ ≤ pi e 0 ≤ θ ≤ 2pi, ou seja, nesse caso D = [0, pi]× [0, 2pi] . Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o: No caso de uma superf´ıcie S ser obtida pela rotac¸a˜o da curva y = f (x) , a ≤ x ≤ b, sobre o eixo x, com f (x) ≥ 0 enta˜o podemos tomar x = x y = f (x) cos θ z = f (x) sen θ onde θ e´ o aˆngulo de rotac¸a˜o, 0 ≤ θ ≤ 2pi. Planos Tangentes: Dada uma superf´ıcie parametrizada determinada por uma func¸a˜o vetorial r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k e um ponto P0 com vetor posic¸a˜o r (u0, v0) . Da´ı, dadas as curvas de grade r (u0, v) e r (u, v0) , podemos encontrar os vetores tangente a` essas curvas tomando-se a derivada parcial de r em relac¸a˜o a v e u, respectivamente. Denotemos La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 11 tais derivadas por ru e rv. Da´ı, caso ru × rv na˜o seja 0, enta˜o a superf´ıcie e´ dita suave (sem ”bicos”). Para uma superf´ıcie suave, o plano tangente e´ o plano que conte´m os vetores tangentes ru e rv e o vetor ru×rv e´ o vetor normal ao plano tangente. Exemplo: Determine o plano tangente a` superf´ıcie com equac¸o˜es parame´tricas x = u2, y = v2 e z = u + 2v no ponto (1, 1, 3) . A´rea da Superf´ıcie: Se uma superf´ıcie parametrizada suave S e´ dada pela equac¸a˜o r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k (u, v) ∈ D e S e´ coberta uma u´nica vez quando (u, v) abrange todo o domı´nio D dos paraˆmetros enta˜o a a´rea da superf´ıcie de S e´ A (S) = ∫∫ D |ru × rv|dA onde ru = ∂x ∂u i+ ∂y ∂u j+ ∂z ∂u k e rv = ∂x ∂v i+ ∂y ∂v j+ ∂z ∂v k. Exemplo: Determine a a´rea da esfera de raio a. A´rea de Superf´ıcie do Gra´fico de uma Func¸a˜o: Para o caso em que S e´uma superf´ıcie com equac¸a˜o z = f (x, y) , onde (x, y) esta´ em D e f tem derivadas parciais cont´ınuas, A (S) = ∫∫ D √ 1+ ( ∂z ∂x )2 + ( ∂z ∂y )2 dA Exemplo: Determine a a´rea do parabolo´ide z = x2 + y2 que esta´ abaixo do plano z = 9. Integrais de Superf´ıcie Suponha que a superf´ıcie S tenha equac¸a˜o vetorial r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k (u, v) ∈ D Se as componentes sa˜o cont´ınuas e ru e rv sa˜o na˜o nulos e na˜o paralelos no interior de D∫∫ S f (x, y, z)dS = ∫∫ D f (r (u, v)) |ru × rv|dA Exemplo: Calcule a integral de superf´ıcie ∫∫ S x2dS, onde S e´ a esfera unita´ria x2 + y2 + z2 = 1. No caso de a superf´ıcie S ser o gra´fico de uma func¸a˜o z = g (x, y) , temos ∫∫ S f (x, y, z)dS = ∫∫ D f (x, y, g (x, y)) √( ∂z ∂x )2 + ( ∂z ∂y )2 + 1dA lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 12 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis Exemplo: Calcule ∫∫ zdS, onde S e´ a superf´ıcie cujo lado S1 e´ dado pelo cilindro x 2 + y2 = 1, cujo fundo S2 e´ o c´ırculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3 e´ a parte do plano z = 1+ x que esta´ acima de S2. Superf´ıcies Orientadas: Se for poss´ıvel escolher um vetor normal n em cada ponto (x, y, z) de modo que n varie continuamente sobre S, enta˜o S e´ chamada superf´ıcie orientada e a escolha de n fornece S com uma orientac¸a˜o. Se S for uma superf´ıcie orientada suave dada na forma parametrizada pela equac¸a˜o vetorial r (u, v), enta˜o ela esta´ automaticamente associada a` orientac¸a˜o do vetor normal unita´rio n = ru × rv |ru × rv| Para uma superf´ıcie fechada, isto e´, uma superf´ıcie que seja fronteira de uma regia˜o so´lida E, a convenc¸a˜o e´ que a orientac¸a˜o positiva e´ aquela para a qual os vetores normais apontam para fora de E, e os vetores normais que apontam para dentro correspondem a` orientac¸a˜o negativa. Integrais de uma Superf´ıcie de Campos Vetoriais: Se F for um campo vetorial cont´ınuo definido sobre uma superf´ıcie orientada S com um vetor normal unita´rio n, enta˜o a superf´ıcie integral de F sobre S e´∫∫ S F · dS = ∫∫ S F · ndS Essa integral e´ tambe´m chamada de fluxo de F atrave´s de S. Caso S seja uma func¸a˜o vetorial dada por r (u, v)∫∫ S F · dS = ∫∫ S F· (ru × rv)dA Exemplo: Determine o fluxo do campo vetorial F (x, y, z) = zi+yj+xk atrave´s da esfera unita´ria x2+y2+z2 = 1. No caso de S ser dada por um gra´fico z = g (x, y) , podemos considerar x e y como paraˆmetros e da´ı∫∫ S F · dS = ∫∫ D ( −P ∂g ∂x −Q ∂g ∂y + R ) dA Exemplo: Calcule ∫∫ S F·dS, onde F (x, y, z) = yi+xj+zk e S e´ o limite da regia˜o so´lida E limitada pelo parabolo´ide z = 1− x2 − y2 e o plano z = 0. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 13 Teorema de Stokes Este teorema pode ser visto como uma versa˜o em dimensa˜o maior do Teorema de Green. Teorema de Stokes: Seja S uma superf´ıcie orientada, suave por partes, cuja fronteira e´ formada por uma curva C fechada, simples, suave por partes, com orientac¸a˜o positiva. Seja F um campo vetorial cujas componentes tem derivadas parciais cont´ınuas em uma regia˜o aberta de R3 que conte´m S. Enta˜o,∮ C F · dr = ∫∫ S rot F · dS = ∫∫ S rot F · n dS Exemplo: Calcule ∮ C F · dr, onde F (x, y, z) = −y2i+ xj+ z2k e C e´ a curva da intersec¸a˜o do plano y+ z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1 (figura a seguir a` esquerda) Exemplo: Use o Teorema de Stokes para calcular a integral ∫∫ S rot F · dS, onde F (x, y, z) = xyi + yzj + xyk e S e´ a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy (figura anterior a` direita). Observe que no exemplo anterior, calculamos uma integral de superf´ıcie conhecendo os valores de F na fronteira C. Isso significa que, se tivermos outra superf´ıcie orientada com a mesma fronteira C, obteremos o mesmo valor para integral de superf´ıcie. . Refereˆncias Bibliogra´ficas (1) Stewart, J. Ca´lculo (2 vols.). 7a. ed. Sa˜o Paulo: Cengage Learning, 2013. (2) Thomas, G. B., et al. Ca´lculo (2 vols.). 12a. ed. Sa˜o Paulo: Editora Pearson Education, 2013. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
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