Aulas finais de Topografia

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Topografia 
 Aulas Topografia: 
Convergência meridiana, escalas, medidas indiretas e diretas de 
distancias e direções, Cálculo da Caderneta de Campo e 
Cálculo da Poligonal. 
 
Prof Msc Manoel Ronaldo Aguiar Batista 
manelronaldo@gmail.com 
CONVERGÊNCIA MERIDIANA 
NORTE VERDADEIRO 
 É definido pelo eixo de 
rotação da Terra (pólo geográfico) 
 
NORTE MAGNÉTICO 
 É definido pelo pólo 
magnético, que não é coincidente 
com o pólo geográfico, sendo 
obtido através de bússolas. 
 
NORTE DE QUADRÍCULA 
 É definido pelo norte da 
carta, ou seja, pela direção norte 
do quadriculado de coordenadas 
planas do mapa. 
 
CONVERGÊNCIA MERIDIANA 
Dá-se o nome de 
convergência meridiana à 
diferença angular existente 
entre o norte verdadeiro ou 
geográfico(NV) e o norte da 
quadrícula (NQ). 
 
Sobre o meridiano central, a 
convergência meridiana é 
nula, uma vez que o norte 
verdadeiro coincide com o 
norte da quadrícula. À medida 
que nos afastamos do 
meridiano central, a 
convergência meridiana vai 
aumentando. c =  = convergência meridiana 
Cálculo da Convergência Meridiana (CM) =  
Para o cálculo da convergência meridiana (c =  )pode ser 
usada a fórmula: c = Δ λ. Senφ que fornece um valor 
aproximado, mas dentro das precisão topográfica. 
 
sendo Δλ a diferença de longitude entre o meridiano central e 
o ponto considerado e φ a latitude do ponto considerado. 
 
O valor da latitude (φ) e da longitude (λ) podem ser obtidos a 
partir de uma carta topográfica com precisão mínima de 
minuto. 
 
EXEMPLO: 
seja um alinhamento AB cujo Azimute de Quadrícula é de 114º 
34„ 20" e A = - 32º 02„ 05,6" e λA = - 51º14„ 05,41" as 
coordenadas do ponto A. Determinar o Azimute Verdadeiro do 
referido alinhamento. 
Cálculo da Convergência Meridiana (CM) =  
Da fórmula da convergência meridiana temos: 
c = Δ λ. Senφ 
 
Onde: Δλ = MC – λA, sendo: Meridiano Central (MC) = 51º 
Δλ = 51º - 51º 14„ 05,41" 
Δλ = - 0º 14„ 05,41" 
 
c = -0º14'05,41" x sen-32º02'05,6" 
c = (-0.2348361111) x (-0,5304355645) 
c = 0,1245654253º 
c = 0º07'28,4“ 
 
Azimute verdadeiro = Azimute da Quadrícula + c 
 AzVerd = 114º34'20" + 0º07'28,4" 
 AzVerd = 114º41'48,4" 
 
Cálculo da Convergência Meridiana (CM) =  
 http://www6.ufrgs.br/engcart/Teste/conv_mer.php 
Sistema de Coordenadas LTM e RTM 
Em muitos países, o mapeamento urbano não é efetuado no sistema 
UTM, em função de suas distorções lineares, principalmente nos limites 
do fuso. 
 
Para solucionar estes problemas foi criado, nos Estados Unidos, o 
sistema SPC (State Plane Coordinate) que permite o mapeamento de 
áreas urbanas, diminuindo os erros de distorções cometidos pelo 
sistema UTM. 
 
O sistema RTM (Regional Transverso de Mercator) utiliza fuso de 2º; 
E o sistema LTM (Local Transverso de Mercator) utiliza fuso de 1º. 
 
O sistema LTM atende à necessidade do mapeamento urbano em 
relação à equivalência entre as distâncias medidas em campo e sua 
respectiva projeção no mapa topográfico. A distorção linear, mesmo no 
limite do fuso, é tão pequena que pode ser desprezada em 
mapeamentos urbanos de grande escala (1:2.000 ou 1:1.000). 
Sistema de Coordenadas LTM e RTM 
Características do Sistema RTM: 
 a) Fuso de 2 graus 
 b) Meridiano Central nas 
longitudes ímpares 
 c) K0=0,999995 
 d) N=5.000.000 – N‟ (hemisfério 
sul) 
 e) N=N‟ (hemisfério norte) 
 f) E=400.000 ± E‟ (+E‟ se o ponto 
se encontrar a oeste do MC e –E‟ 
se o ponto se encontrar a leste do 
MC). 
Características do Sistema LTM: 
 a) Fuso de 1 grau 
 b) Meridiano central nas 
longitudes de meio grau 
 c) K0=0,999995 
 d) N=5.000.000 - N‟ (hemisfério 
sul) 
 e) N=N‟ (hemisfério norte) 
 f) E=200.000 ± E‟ (+E‟ se o ponto 
se encontrar a oeste do MC e –E‟ 
se o ponto se encontrar a leste do 
MC). 
ESCALAS 
Os levantamentos topográficos precisam ser 
representados no papel, para isso as informações 
devem estar em uma escala adequada. 
 
Podemos definir escala com sendo a relação entre o 
valor de uma distância medida no desenho e sua 
correspondente no terreno. 
 
A NBR 8196 (Emprego de escalas em desenho 
técnico: procedimentos) define escala como sendo a 
relação da dimensão linear de um elemento e/ou um 
objeto apresentado no desenho original para a 
dimensão real do mesmo e/ou do próprio objeto. 
ESCALAS 
São empregados três tipos de notação para a 
representação da escala: 
 
E = 1 / M 
E = d / D 
d / D = 1 / M 
 
onde: 
• M = denominador da escala; 
• d = distância no desenho; 
• D = distância no terreno. 
ESCALAS 
Por exemplo, se uma feição é representada no desenho 
com um centímetro de comprimento e sabe-se que seu 
comprimento no terreno é de 100 metros, então a escala 
de representação utilizada é de 1:10.000. 
 
 onde: d = 5 cm e D = 0,5 km 
ESCALAS 
Em topografia as escalas empregadas são: 1:250, 1:200, 
1:500 e 1:1000. 
 
Logicamente que não é algo rígido e estes valores vão 
depender do objetivo do desenho. Uma escala é grande 
quando apresenta o denominador pequeno (por exemplo: 
1:100, 1:200, 1:50, etc.). Já uma escala é pequena quando 
possui o denominador grande (por exemplo: 1:10.000, 
1:500.000, etc.). 
 
O valor da escala é adimensional, ou seja, não tem 
dimensão (unidade). Escrever 1:200 significa que uma 
unidade no desenho equivale a 200 unidades no terreno, 
ou seja, 1 cm no desenho corresponde a 200 cm no 
terreno. 
PRINCIPAIS ESCALAS E SUAS APLICAÇÕES 
EXERCÍCIOS SOBRE ESCALAS 
1) Qual das escalas é menor 1:10 ou 1:1.000? 
 
2) Determinar a largura de um rio onde a escala do 
desenho é de 1:18.000 e o rio foi representado por um 
segmento com 17,5 cm de comprimento. 
 
3) Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que 
distâncias homólogas na carta e no terreno são, 
respectivamente, 225 mm e 4,5 km. 
 
4) Com qual comprimento uma estrada de 2.500 m será 
representada na escala 1:10.000? 
Resposta EXERCÍCIOS SOBRE ESCALAS 
1) Qual das escalas é menor 1:10 ou 1:1.000? 
 a ecala 1:1.000 é a menor. 
2) Determinar a largura de um rio onde a escala do 
desenho é de 1:18.000 e o rio foi representado por um 
segmento com 17,5 cm de comprimento. 
 a largura do rio é de 3.150 metros. 
3) Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que 
distâncias homólogas na carta e no terreno são, 
respectivamente, 225 mm e 4,5 km. 
 a escala é 1:20.000 
4) Com qual comprimento uma estrada de 2.500 m será 
representada na escala 1:10.000? 
 a estrada será representada por uma linha de 25 centímetros. 
ESCALAS: ERRO DE GRAFICISMO (eg) 
Erro de GRAFICISMO (eg) é uma função da 
acuidade visual, habilidade manual e qualidade do 
equipamento de desenho. De acordo com a NBR 
13133 (Execução de Levantamentos Topográficos), o erro 
de graficismo admissível na elaboração do desenho 
topográfico para lançamento de pontos e traçados de 
linhas é de 0,2 mm e equivale a duas vezes a 
acuidade visual do ser humano. 
ESCALAS: PRECISÃO DA ESCALA (pe) 
Em função deste valor é possível definir o valor da 
precisão da escala (pe), ou seja, o menor valor 
representável em verdadeira grandeza, em uma 
escala será: pe = eg . M 
ESCALA GRÁFICA 
A escala gráfica é utilizada para facilitar a leitura de um 
mapa, consistindo-se em um segmento de reta dividido 
de modo a mostrar graficamente a relação entre as 
dimensões de um objeto no desenho e no terreno. 
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO 
Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas 
como: direções,distâncias e desníveis. 
 
Estas observações inevitavelmente estarão eivadas de erros e as principais 
fontes são: 
 
 Condições ambientais: causados pelas variações das condições 
ambientais, como vento, temperatura, etc. Exemplo: variação do 
comprimento de uma trena com a variação da temperatura; 
 
 Instrumentais: causados por problemas relativos a imperfeição na 
construção do equipamento ou no seu ajuste. A maior parte dos erros 
instrumentais pode ser reduzida 
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO 
 
 Pessoais: causados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar uma 
medição, cansaço, etc; 
 
Os erros originados por essas três fontes podem ser classificados em: 
 
Erros grosseiros; 
 
Erros sistemáticos 
 
Erros aleatórios 
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO 
ERROS GROSSEIROS 
 
Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação 
de alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do observador ou a 
uma falha no equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar 
os erros grosseiros. 
 
A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros. 
 
Exemplos de erros grosseiros: 
 
• anotar 196 ao invés de 169; 
 
• engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com 
trena 
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO 
ERROS SISTEMÁTICOS 
São erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, 
com leis matemáticas ou físicas. Podem ser evitados através de 
técnicas de observação ou eliminados com aplicação de fórmulas 
específicas. 
 
São erros que se acumulam ao longo do trabalho. 
 
Exemplo de erros sistemáticos, corrigíveis com fórmulas: 
 
• efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor 
eletrônico de distância; 
• correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura. 
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO 
ERROS ACIDENTAIS OU ALEATÓRIOS 
São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido 
eliminados. São erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora 
ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o 
número de observações é grande. 
 
PECULIARIDADE DOS ERROS ACIDENTAIS 
Erros pequenos ocorrem mais freqüentemente do que os grandes, sendo mais 
prováveis; 
Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual freqüência, 
ou são igualmente prováveis; 
A média dos resíduos é aproximadamente nula; 
Aumentando o número de observações, aumenta a probabilidade de se chegar 
próximo ao valor real. 
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO 
PRECISÃO E ACURÁCIA 
A PRECISÃO está ligada a repetição de medidas sucessivas feitas em condições 
semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios. A ACURÁCIA 
expressa o grau de aderência das observações em relação ao seu valor verdadeiro, 
estando vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos. 
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO 
PRECISÃO E ACURÁCIA 
 
Exemplo para compreender a diferença entre eles: 
 
um jogador de futebol está treinando cobranças de 
pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes 
acerta a trave do lado direito do goleiro. 
 
Este jogador foi extremamente preciso. Seus 
resultados não apresentaram nenhuma variação em 
torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em 
compensação sua acurácia foi nula. Ele não 
conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma 
vez. 
MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS 
A medida de distâncias de forma direta ocorre quando 
a mesma é determinada a partir da comparação com 
uma grandeza padrão, previamente estabelecida, 
através de trenas ou diastímetros. 
 
A trena de fibra de vidro é feita de material resistente (produto 
inorgânico obtido do próprio vidro por processos especiais). 
Estes equipamentos podem ser encontrados com ou sem 
envólucro, os quais podem ter o formato de uma cruzeta, ou 
forma circular e sempre apresentam distensores (manoplas) nas 
suas extremidades. Seu comprimento varia de 20 a 50m (com 
envólucro) e de 20 a 100m (sem envólucro). 
MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS 
Ao medir distâncias é comum o uso de acessórios como: 
piquetes, estacas testemunhas, balizas e níveis de cantoneira. 
MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS - Piquetes e estaca testemunha 
PIQUETES 
Para marcar os extremos 
do 
alinhamento a ser 
medido. 
- de madeira roliça ou de 
seção quadrada com a 
superfície no topo plana; 
- marcados na parte 
superior com prego; 
- comprimento e 15 a 
30cm; 
- diâmetro de 3 a 5cm; 
- cravado no solo, com 
5cm visível, para 
materializar o ponto. 
ESTACAS TESTEMUNHAS 
Usadas para facilitar a localização dos 
piquetes; 
-cravadas a 50cm do piquete -comprimento de 
40cm; -diâmetro de 3 a 5cm; -chanfradas na 
parte superior para permitir inscrição; -parte 
chanfrada voltada para o piquete. 
MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS - Balizas 
São utilizadas para manter o alinhamento, entre pontos, 
ao se executar vários lances. 
-construídas em madeira ou ferro, arredondado; 
-terminadas em ponta guarnecida de ferro; 
-comprimento de 2 metros e diâmetro de 16 a 20mm; 
-em cores contrastantes (branco e vermelho ou branco e 
preto) para fácil visualização, mantidas na vertical (nível 
de cantoneira) sobre o ponto marcado no piquete. 
MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS - Nível de cantoneira 
Equipamento em forma de cantoneira e dotado de 
bolha circular que permite ao auxiliar segurar a baliza 
na posição vertical sobre o piquete ou sobre o 
alinhamento a medir. 
CUIDADOS NA MEDIDA DIRETA DE DISTÂNCIAS 
A qualidade com que as distâncias são obtidas depende de: 
-acessórios; 
-- manutenção do alinhamento a medir; 
- horizontalidade da trena; 
- tensão uniforme nas extremidades. 
Precisão obtida quando se utiliza trenas em medições, sob efeitos 
da tensão, temperatura, horizontalidade e alinhamento. 
MÉTODOS DE MEDIDA COM TRENA 
LANCE ÚNICO 
Na medição da distância horizontal entre os pontos A e B, 
procura-se, na realidade, medir a projeção de AB sobre o 
plano horizontal, resultando na medição de A‟B‟ 
MÉTODOS DE MEDIDA COM TRENA 
Na imagem é possível identificar: 
 a medição de uma distância horizontal utilizando a trena; 
 a distância inclinada e 
 o desnível entre os pontos. 
MÉTODOS DE MEDIDA COM TRENA 
VÁRIOS LANCES 
Quando a distância entre dois pontos é maior que uma única 
“trenada”, dividi-se a distância a ser medida em lances. A 
distância final será a somatória das distâncias de cada lance. 
ERROS NA MEDIDA DIRETA DE DISTÂNCIAS 
Os erros cometidos na medida direta de distância são: 
 
 erro relativo ao comprimento nominal da trena; 
 erro de catenária. 
 falta de verticalidade da baliza (evitado c/ uso do nível de cantoneira). 
MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS 
Uma distância é medida de maneira indireta, quando são 
observadas grandezas que se relacionam entre si, através de 
modelos matemáticos previamente conhecidos. 
 
Ou seja, para determinar a distância é necessário realizar 
alguns cálculos sobre as medidas efetuadas, para se obter 
indiretamente o valor da distância. 
 
O principal método de medida indireta de distância é a 
TAQUEOMETRIA ou ESTADIMETRIA. As observações de 
campo são realizadas com auxílio de teodolitos. Estes 
aparelhos, além de medirem ângulos horizontais e verticais, 
também dispõem da propriedade de fornecerem, 
indiretamente, a distância através da utilização dos fios 
estadimétricos do próprio teodolito, associado a uma régua 
ou mira graduada. 
MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS 
MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS 
Os decímetros são indicadosao lado da escala centimétrica (no 
exemplo, o número 1 corresponde a 1 decímetro, ou 10 cm), localizados 
próximo ao meio do decímetro correspondente (5 cm). 
 
A escala métrica é indicada com pequenos círculos localizados acima 
da escala decimétrica, sendo que o número de círculos corresponde 
ao número de metros. Na figura, acima do número 1 aparecem três 
círculos pequenos, (significando que esta parte da mira está 
aproximadamente a três metros do chão). 
As miras estadimétricas são 
réguas graduadas 
centimetricamente, ou seja, 
cada espaço branco ou 
preto corresponde a um 
centímetro. 
MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS 
Na régua são efetuadas as leituras dos fios estadimétricos 
(superior e inferior). Na figura estas leituras são: 
LEITURA NAS MIRAS 
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
EXERCÍCIO: Indicar nas miras abaixo, as leituras: 
1,615m 1,705m 1,658m 1,600m 1,725m 
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
RESPOSTA: 1,615m 1,705m 1,658m 1,600m 1,725m 
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
1,615m 
1,705m 
1,658m 
1,600m 
1,725m 
MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIA - TAQUEOMETRIA 
Na formulação do cálculo da distância através da 
taqueometria é necessário adotar uma mira fictícia, já que a 
mira real não se encontra perpendicular à linha de visada 
Adotando-se: 
 
Ângulo Zenital: Z ; 
Ângulo Vertical: V ; 
Distância Horizontal: Dh 
Distância Inclinada: Di ; 
Número Gerador da 
Mira Real: G (G=Leitura 
Sup. - Leitura Inf.); 
Número Gerador da 
Mira Fictícia: G’. 
MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIA - TAQUEOMETRIA 
Distância Horizontal: H = 100 I 
 
Distância Vertical: V = 50 I 
2Cos
2Cos
2Sen
MEDIDA INDIRETA DE DISTÂNCIA - TAQUEOMETRIA 
Distância Horizontal: H = 100 I 
 
Distância Vertical: V = 50 I 
2Cos
2Sen
Exercícios: 
a) Calcule a distância entre A e B, sendo que a diferença de leitura dos fios 
estadimétricos foi 1,25m e o ângulo de altura (b) = 10º15’00” 
 
b) Calcule a distância tendo as seguintes informações: 
REDUÇÃO DE DISTÂNCIA ao PLANO 
MEDIDA EM CAMPO UTILIZANDO O TEODOLITO 
 
Os procedimentos para a medição utilizando 
um teodolito podem ser resumidos em: 
 
 • instalação do equipamento; 
 
 • focalização e pontaria; 
 
 • leitura da direção. 
INSTALAÇÃO DO EQUIPAMENTO 
 
Para que os equipamentos de medição 
(teodolitos, níveis e estações totais) possam ser 
utilizados, devem estar corretamente 
“ESTACIONADOS” sobre um ponto topográfico. 
 
Estacionar um equipamento significa estar 
NIVELADO e CENTRADO sobre o ponto 
topográfico. 
 
As medições somente podem ser realizadas após 
satisfeitas estas condições. 
INSTALANDO O TRIPÉ DO EQUIPAMENTO 
 
 O equipamento deve ser instalado sobre um 
ponto topográfico, materializado por piquetes, 
pregos ou chapas metálicas, entre outros. A figura 
ilustra um ponto materializado através de uma 
chapa metálica engastada num marco de 
concreto de forma tronco de pirâmide. 
Indicação do ponto topográfico 
INSTALANDO O TRIPÉ DO EQUIPAMENTO 
 
 Enquanto os equipamentos não estiverem 
sendo utilizados, EVITAR deixá-los 
apoiados em pé, pois podem cair e sofrer avarias. 
 
 O ideal é deixá-los “DEITADOS” no chão. 
INSTALANDO O TRIPÉ DO EQUIPAMENTO 
 
 O tripé possui parafusos ou travas que permitem o ajuste 
das alturas das pernas. 
 
 Deve ser aberto e posicionado sobre o ponto, numa 
altura que, após a instalação do instrumento, fique em uma 
posição confortável para manuseio e realização da leitura. É 
fundamental cravar bem as pontas das pernas do tripé para 
evitar que ele se mova durante as medições. 
INSTALANDO O TRIPÉ DO EQUIPAMENTO 
 
 É importante que a base do tripé esteja o mais horizontal 
possível e que através do orifício existente na base do tripé 
se possa enxergar o ponto topográfico. 
INSTALANDO O TRIPÉ DO EQUIPAMENTO 
 
 Instalado o tripé retira-se o equipamento do seu estojo. 
É importante mantê-lo fechado, evitando-se problemas com 
umidade e sujeira, além de minimizar a possibilidade de 
perder algum acessório. 
INSTALANDO O EQUIPAMENTO NO TRIPÉ 
 
 O equipamento deve ser fixado à base com o 
auxílio do parafuso de fixação. Enquanto o equipamento não 
estiver preso ao tripé, deverá sempre estar firmemente 
seguro por uma das mãos, evitando-se uma eventual queda. 
INSTALANDO O EQUIPAMENTO NO TRIPÉ 
 
 Instalado o equipamento 
sobre o tripé, realiza-se sua 
CENTRAGEM e 
NIVELAMENTO. 
 
 Centrar o equipamento sobre 
o ponto significa dizer que o 
prolongamento do seu eixo 
vertical (também chamado 
principal) passa exatamente 
sobre o ponto. 
 
 O eixo principal é 
materializado pelo fiode prumo, 
prumo ótico ou prumo laser. 
NIVELANDO O EQUIPAMENTO 
 
 NIVELAR o equipamento é procedimento fundamental antes 
de qualquer medição. Consiste numa fase inicial ou grosseira, 
com uso do nível esférico e outra fase de precisão ou 
“nivelamento fino", utilizando-se níveis tubulares, ou níveis 
digitais 
NIVELANDO O EQUIPAMENTO 
 
 Realiza-se o nivelamento grosseiro utilizando o movimento de 
extensão das pernas do tripé. Este nivelamento é realizado com 
base no nível esférico. 
Calagem da bolha do 
nível esférico 
NIVELANDO O EQUIPAMENTO 
 
 O nivelamento "fino" ou de precisão é feito com auxílio dos 
PARAFUSOS CALANTES e dos níveis tubulares ou digitais. 
 
 Alinha-se o nível tubular a dois dos parafusos calantes. 
NIVELANDO O EQUIPAMENTO 
 
 Atuando nestes dois parafusos, alinhados ao nível tubular, 
faz-se com que a bolha se desloque até a posição central do 
nível. Os parafusos devem girar em sentidos opostos, a fim de 
calar a bolha do nível. 
NIVELANDO O EQUIPAMENTO 
 Após a bolha estar calada, gira-
se o equipamento de 90º, de forma 
que o nível tubular fique ortogonal à 
linha definida anteriormente. 
NIVELANDO O EQUIPAMENTO 
 Para equipamentos com níveis digitais não é necessário 
rotacionar o equipamento, basta atuar diretamente no parafuso 
que está ortogonal a linha definida pelos outros dois. 
 
 Repete-se o procedimento até que, ao girar o equipamento, 
ele esteja sempre calado (nivelado) em qualquer posição. 
 
 Ao concluir o nivelamento, verificar se o prumo coincide 
com o ponto topográfico. caso contrário, solta-se o parafuso de 
fixação do equipamento deslocando-o, com cuidado, até que 
prumo coincida com o ponto topográfico. 
NIVELANDO O EQUIPAMENTO 
 Verificar se o instrumento permanece nivelado, 
caso contrário, realiza-se novamente o 
nivelamento fino, até que o equipamento esteja 
perfeitamente nivelado e centrado. 
 
 Após esse procedimento, inicia-se as 
medições. 
 
 As etapas para instalação do equipamento 
podem ser resumidas em: 
NIVELANDO O EQUIPAMENTO - RESUMO 
• Posicionar o tripé sobre o ponto, deixando o prato na posição 
mais horizontal possível e visualizar o ponto topográfico pelo orifício 
da base; 
 
• Fixar o equipamento sobre o tripé; 
 
• Através dos parafusos calantes, colocar o prumo sobre o ponto; 
 
• Nivelar a bolha esférica atuando na extensão das pernas do tripé; 
 
• Realizar o nivelamento fino utilizando o nível tubular ou digital; 
 
• Verificar se o prumo deslocou-se do ponto. Caso positivo, soltar o 
equipamento, deslocando-o até que o prumo coincida com o ponto; 
 
• Repetir os dois últimos procedimentos até que o equipamento 
esteja perfeitamente nivelado e centrado. 
FOCALIZAÇÃOO procedimento inicia-se pela focalização 
dos retículos e depois do objeto. Sempre, 
observar se a luneta está bem focalizada, 
para evitar o problema de PARALAXE de 
OBSERVAÇÃO, que poderá acarretar 
visadas incorretas. 
 
Focalizando os retículos: os retículos 
devem estar focalizados, vistos com 
nitidez e bem definidos. Para facilitar este 
procedimento, recomenda-se observar 
uma superfície clara, como uma parede 
branca ou mesmo o céu. 
Retículos focalizados 
Focalizar tem por objetivo coincidir o plano do retículo ao plano da 
imagem do objeto visado. 
 
FOCALIZAÇÃO 
Focalização do objeto: após focalizar os retículos, faz-se a 
pontaria ao objeto desejado, focalizando-o através da ação sobre 
o parafuso que movimenta a lente objetiva. 
 
 Em seguida verificar se ocorre o problema de paralaxe 
(deslocamento aparente de um objeto em relação a um referencial causado 
pelo deslocamento do observador), caso positivo, repetir a focalização 
do objeto. 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
As operações básicas da topografia consistem na medição 
de ângulos horizontais e verticais. Para a realização destas 
medições emprega-se o teodolito ou a estação total. 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
ângulo horizontal: é o ângulo formado por dois planos verticais 
que contém as direções formadas pelo ponto ocupado e os 
pontos visados. É medido sempre na horizontal, razão pela qual o 
teodolito deve estar rigorosamente nivelado. 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
O retículo vertical deve coincidir exatamente sobre o ponto. 
 
Sempre que possível a pontaria deve ser realizada o mais 
próximo possível do ponto, para evitar erros na leitura, 
principalmente quando se utiliza baliza vertical. 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
ângulo vertical (V): é o ângulo formado entre a linha do 
horizonte (plano horizontal) e a linha de visada, medido no 
plano vertical que contém os pontos. Variando de 0º até +90º 
(acima do horizonte) e de 0º até -90º (abaixo do horizonte). 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
ângulo zenital (Z): ângulo formado entre a vertical do lugar 
(zenite) e a linha de visada. Varia de 0º a 180º, sendo a 
origem de contagem o zênite. 
A relação entre o ângulo 
zenital e vertical é dada pela 
equação: 
 
 Z + V = 90º 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
Em Topografia e Geodésia os parâmetros essenciais são os 
ângulos e as distâncias e qualquer determinação geométrica é 
obtida a partir destas duas informações. 
 
TEODOLITOS 
Os teodolitos são equipamentos destinados à medição de 
ângulos, horizontais ou verticais, objetivando a determinação dos 
ângulos internos ou externos de uma poligonal, além da posição 
de determinados detalhes necessários ao levantamento. 
 
Quanto a finalidade são classificados em topográficos, geodésicos ou 
astronômicos e quanto à forma, em ópticos-mecânicos ou eletrônicos. 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
 
Os principais componentes de um teodolito são: 
 
•sistema de eixos; 
•círculos graduados ou limbos; 
•luneta de visada e 
•níveis. 
Classificação dos Teodolitos. 
Classe de Teodolitos Desvio-padrão ou precisão angular 
 1 precisão baixa ≤ ± 30” 
 2 precisão média ≤ ± 07” 
 3 precisão alta ≤ ± 02” 
 Fonte: ABNT 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
Sistema de eixos do teodolito 
VV : Eixo vertical, principal ou de rotação do teodolito; 
ZZ : Eixo de colimação ou linha de visada; 
KK : Eixo secundário ou de rotação da luneta. 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
ESTAÇÕES TOTAIS 
Estação total nada mais é do que um teodolito eletrônico 
(medida angular), um distanciômetro eletrônico (medida 
linear) e um processador matemático, tudo associado 
num único conjunto. 
 
Além das medidas de ângulos e distâncias, uma 
estação total também permite obter informações como: 
 
 - Distância reduzida ao horizonte (distância 
horizontal); 
 - Desnível entre os pontos (equipamento em “A” e 
refletor em “B”); 
 - Coordenadas dos pontos ocupados pelo refletor, 
a partir de uma orientação prévia. 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
ESTAÇÕES TOTAIS 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
O objetivo da planimetria é determinar o ângulo 
horizontal compreendido entre duas direções 
APARELHO ORIENTADO NA RÉ 
Zera-se o instrumento na estação ré e faz-se 
a pontaria na estação de vante. A medição 
do o ângulo externo entre os pontos AßC é 
realizado no sentido horário. 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES HORIZONTAIS 
PARES CONJUGADOS (PD E PI) 
As leituras são feitas na posição direta da luneta e na posição 
inversa. 
LPD - Leitura em PD 
LPI - Leitura em PI 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES HORIZONTAIS 
PARES CONJUGADOS (PD E PI) - Exemplo: 
Foram medidas duas direções A e B para a determinação do 
ângulo α. Estas medidas foram feitas em PD e PI. 
'000
2
180'00180'00
2
180
'
O
A
OO
A
PIPD
A
L
L
LL
L





'471
2
180'48181'461
2
180
o
B
oo
B
PIPD
B
L
L
LL
L





MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
MEDIDAS COM REITERAÇÕES 
• Existem alguns teodolitos chamados reiteradores, 
que possuem um parafuso reiterador que permite 
reiterar o limbo, ou seja, deslocar o limbo 
independentemente da alidade; 
 
• Fixado o número de reiterações n, efetuam-se n 
pares de leituras conjugadas, tendo o cuidado de 
deslocar a origem da graduação de forma a cobrir 
todo o círculo horizontal. 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
 
limbo em uma posição inicial 
realizam-se as leituras das direções Reiterando 45º 
 0º 
 
 LA = 30º00’ 
 LB = 50º00’ 
 α = 20º00’ 
0º LA = 75º00’ 
 LB = 95º00’ 
 α = 20º00’ 
 
Reiterando mais 45º 
 
 LA = 120º00’ 
0º LB = 140º00’ 
 α = 20º00’ 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES 
 A (ré) B(vante 
PD 0º31'45,5" 9º40'15,5" 
PI 180º31'44,1" 189º40'15,7" 
L1 0º31'44,8" 9º40'15,5" α1 = 9º08'30,8" 
PD 45º33'11,9" 54º41'42,8" 
PI 225º33'15,9" 234º41'42,4" 
L2 45º33'13,9" 54º41'42,6" α2 = 9º08'28,7" 
PD 90º25'44,2" 99º34'13,3" 
PI 270º25'44,5" 279º34'14,6" 
L3 90º25'44,3" 99º34'13,9" α3 = 9º08'29,6" 
PD 135º26'51,3" 144º35'18,9" 
PI 315º26'47,8" 324º35'15,9" 
L4 135º26'49,5" 144º35'17,4" α4 = 9º08'27,9" 
α=9o08029,25o 
TÉCNICAS de LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
Estaciona-se o equipamento na estação onde serão 
efetuadas as medições, faz-se a pontaria na estação ré, 
depois faz-se a pontaria na estação vante. O ângulo 
horizontal externo será: 
 
 ângulo alfa = leitura de vante – leitura de ré 
ESCRITURAÇÃO DE CADERNETA DE CAMPO – HORIZONTAL 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Leitura Ré: Canto Vante: 2 A 
PD 0º00’00” 202º25’24” 
PI 179º59’56” 22º25’32” 
Resíduo -0,0002 -0,0004 
PD corg 0,0002 202,2528 
alfa 202,2526 
ESCRITURAÇÃO DE CADERNETA DE CAMPO – HORIZONTAL 
ÂNGULOS HORIZONTAIS ou 
Leitura Ré: Canto Vante: 2 A 
PD 0º00’00” 202º25’24” 
PI 179º59’56” 22º25’32” 
Resíduo -0º00’02” -0º00’04” 
PD corg 0º00’02” 202º25’28” 
alfa 202º25’26” 
ESCRITURAÇÃO DE CADERNETA DE CAMPO – HORIZONTAL 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Leitura Ré: Canto Vante: 2 A 
PD 120º00’00” 26º49’23” 
PI 300º00’11” 206º49’27” 
Resíduo 0,0005 0,0002 
PD corg 119,5955 26,4921 
alfa 266,4926ESCRITURAÇÃO DE CADERNETA DE CAMPO – HORIZONTAL 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Leitura Ré: Canto Vante: 2 A 
PD 120º00’00” 26º49’23” 
PI 300º00’11” 206º49’27” 
Resíduo 0º00’05” 0º00’02” 
PD corg 119º59’55” 26º49’21” 
alfa 266º49’26” 
ÂNGULOS HORIZONTAIS alfa = Vante – Ré 
Exercício: 
Leitura Ré: 2 A Vt: 4 A 
PD 240º00’00” 95º49’21” 
PI 60º00’04” 275º50’06” 
Resíduo -0,0002 0,0023 
PD corg 240,0002 95,4859 
alfa 215,4856 
ÂNGULOS HORIZONTAIS alfa = Vante – Ré 
ESCRITURAÇÃO DE CADERNETA DE CAMPO – HORIZONTAL 
Leitura Ré: 2 A Vt: 4 A 
PD 240º00’00” 95º49’21” 
PI 60º00’04” 275º50’06” 
Resíduo -0º00’02” 0º00’23” 
PD corg 240º00’02” 95º48’58” 
alfa 215º48’56” 
Na leitura da direção zenital a soma 
dos valores das leituras obtidas em 
PD e em PI, deve ser igual a 360º. 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES VERTICAIS 
PDPI ZZ 360
Média = (Soma – 360)/2 
soma = PD + PI 
Z = PI ou PD(o menor) - Média 
 PDouPIZ
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES VERTICAIS 
;
 
2
360 Z piPdZ 

Média = (Soma – 360)/2 
soma = PD + PI 
 
 
Z = PD ou PI (o menor)- Média 
MEDIÇÃO DE DIREÇÕES VERTICAIS 
(Z) VERTICAL - 
VANTE Fios 
Leitura 
Mira 
PD 269º51’46” fi 240 
PI 90º08’00” fm 300 
SOMA 359º59’46” fs 360 
MEDIA -0º00’07” Med 300 
Z 90º08’07” Dist 120 
Méd = ( fs + fi )/2 e Méd = fm 
Dist = (fs-fi)cos2(90-Z) 
MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS c/ MIRA 
(Z) VERTICAL - 
VANTE Fios 
Leitura 
Mira 
PD 269º51’46” fi 240 
PI 90º08’00” fm 300 
SOMA 359º59’46” fs 360 
MEDIA -0º00’07” Med 300 
Z 90º08’07” Dist 120 
Ou soma = PD + PI ; Média = (Soma – 360)/2 
 e Z = PD ou PI (o menor)- Média 
(Z) VERTICAL - VANTE Fios Leitura Mira 
PD 271038’50” fi 165 
PI 82º21’16” fm 200 
SOMA fs 235 
MEDIA Med 
Z Dist 
ESCRITURAÇÃO DE CADERNETA DE CAMPO 
Méd = ( fs + fi )/2 Méd = fm Dist = (fs-fi)cos2(90-Z) 
(Z) VERTICAL - VANTE Fios Leitura Mira 
PD 271038’50” fi 165 
PI 82º21’16” fm 200 
SOMA 354º00’06” fs 235 
MEDIA -2º59’57” Med 200 
Z 85º21’13” Dist 69,54 
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
Num levantamento planimétrico são determinados pontos de 
apoio e a partir desses, são levantados os demais pontos que 
permitem representar o contorno da área a ser levantada. 
 
 
A primeira etapa é ser chamada de levantamento do apoio 
topográfico, que é a determinação da POLIGONAL e a segunda de, 
irradiamento para o levantamento de detalhes. 
 
 
Materialização dos pontos de apoio 
São materializados por estacas, piquetes, marcos de concreto, pinos 
de metal ou tinta, dependendo da sua importância e permanência. 
CÁLCULO de COORDENADAS na PLANIMETRIA 
As projeções planas são obtidas em função da distância entre 
os vértices de um alinhamento e o seu azimute. Pode-se dizer 
que a projeção em “X” é a representação da distância entre os 
dois vértices do alinhamento sobre o eixo das abscissas e a 
projeção em “Y” a representação da mesma distância sobre o 
eixo das ordenadas. 
CÁLCULO de COORDENADAS na PLANIMETRIA 
Utilizando os conceitos de trigonometria 
plana é possível calcular as projeções em 
“X” e “Y” da seguinte forma: 
 
 ΔX = D . sen AZ 
 ΔY = D . cos AZ 
CÁLCULO de COORDENADAS na PLANIMETRIA 
)(* ABAB AzsenDEE  )cos(* ABAB AzDNN 
43495,18
ABAZ 30993,146BCAZ
BE
BN
BE
BN
CÁLCULO de COORDENADAS na PLANIMETRIA 
)(* ABAB AzsenDEE  )cos(* ABAB AzDNN 
43495,18
ABAZ 30993,146BCAZ
BE
= 520 + 31,62 * Sen(18,43495) 
BN
= 1020 + 31,62 * Cos(18,43495) 
BE
= 530 
BN
= 1050 
CÁLCULO de COORDENADAS na PLANIMETRIA 
)(* BCBC AzsenDEE 
)cos(* BCBC AzDNN 
43495,18
ABAZ 30993,146BCAZ
CE
= 530 + 36,06 * Sen(146,30993) 
CN
= 1050 + 36,06 * Cos(146,3099) 
= 550 
= 1020 
CE
CN
TÉCNICAS de LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
A POLIGONAÇÃO é um dos métodos mais empregados 
para a determinação de coordenadas de pontos em 
topografia, principalmente na definição de pontos de apoio 
planimétricos. 
 
Uma poligonal consiste de uma série de linhas consecutivas 
onde são medidos os comprimentos e as direções. 
A poligonal é levantada através do caminhamento, percorrendo-se um 
itinerário, medindo ângulos e lados, a partir de uma orientação inicial. 
TÉCNICAS de LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
Utilizando-se uma poligonal é possível definir uma série 
de pontos de apoio ao levantamento topográfico, a partir 
dos quais serão determinadas coordenadas de outros 
pontos, através do método de irradiação. 
Poligonal fechada 
Poligonal aberta 
Poligonal 
enquadrada 
TÉCNICAS de LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
O sentido de caminhamento do levantamento da poligonal é 
o sentido horário. No sentido de caminhamento da poligonal, 
a estação anterior à estação ocupada é denominada de 
estação RÉ e a estação seguinte de VANTE. 
Ângulos de deflexão de uma 
poligonal fechada (sentido horário) Estação Ré e Vante 
EXERCÍCIO 
 
SOLUÇÃO 
EXERCÍCIO 
 
SOLUÇÃO 
 
EXERCÍCIO 
Estação P 2 B p/ P 4 B 
P 3 B 
alfa1 232,4058 
alfa 2 232,4148 
alfa 3 232,41,48 
Média 232,4131 
Planilha PREPARA 
MODELO 
CADERNETA 
CÁLCULO DA POLIGONAL 
Inicia-se o cálculo a partir do ponto de partida: 
A partir da coordenada do ponto P1 será possível calcular a 
coordenada do próximo ponto e assim por diante. 
CÁLCULO DO AZIMUTE 
A orientação é dada apenas para uma direção da poligonal. É 
preciso calcular os azimutes para todas as demais direções da 
poligonal, Através dos ângulos horizontais medidos em campo. 
 
Do azimute inicial da direção OPP-P1 e do ângulo horizontal 
externo OPP-P1-P2 (aqui denominado de α, medido no sentido 
horário) chega-se ao azimute da direção P1-P2. 
P2 
CÁLCULO DO AZIMUTE 
 
Se o valor do azimute for maior que 360º deve-se subtrair 
360º. Se for negativo deverá ser somado 360º ao resultado. 
 
Para ângulos medidos no sentido anti-horário, deve-se 
somar 180º e subtrair o valor de α do azimute. 
ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR 
 
Para uma poligonal fechada, antes de calcular o 
azimute das direções, é necessário fazer a verificação 
dos ângulos medidos. Sendo a poligonal uma figura 
fechada, é possível verificar se houve algum erro na 
medição dos ângulos. 
 
Num polígono qualquer, o somatório dos ângulos 
externos deverá ser igual a: 
 
Soma dos ângulos medidos = (n + 2) . 180º 
 
onde n é o número de estações da poligonal. 
ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR 
 
O erro angular ( ) será dado por: 
 
 = (n + 2).180º - 
 
Para ângulos internos o somatório deverá ser igual 
ao número de estações menos dois, multiplicado por 
180º. 
ae

a
e
ae

ae
= (n – 1).180º - 
O erro será distribuído aos lados c/ menor distância, 
sendo o sinal da correção contrário ao sinal do erro. 

externos
TOLERÂNCIA DO ERRO DE FECHAMENTO 
ANGULAR 
 
A tolerância do erro angular TOL(ε) é igual a 
tolerância angular do equipamento vezes a raiz 
quadrada do número de estações: 
 
O , em módulo, deve ser menor que 
 
ae
nerro
aTOL
*
a
Para o DET-2 o erro angular (εα) é de 1,5‟ 
ERRO DE FECHAMENTO LINEAR 
A partir do ponto de partida (0PP), calculam-se as 
coordenadas dos demais pontos até 
retornar ao ponto de partida. 
 
 
A diferença entre as coordenadas calculadas e as 
fornecidas para este ponto resultará no ERRO LINEAR 
ou erro planimétrico cometido. 
)(* ABAB AzsenDEE 
)cos(* ABAB AzDNN 
TOLERÂNCIA DO ERRO FECHAMENTO LINEARComo os ângulos foram previamente ajustados, 
este erro decorre de imprecisões na medição das 
distâncias. 
Os valores de e podem ser calculados por: 
O erro planimétrico é 
decomposto em 
componentes na 
direção E (eixo X) e na 
direção N (eixo Y). 
Ex ee 
Ny ee 
)()( fornecido
E
calculado
E
E oppoppe 
)()( fornecido
N
calculado
N
N oppoppe 
  2122 NEp eee 
O Erro Linear 
 
 
 será dado por 
pe
TOLERÂNCIA DO ERRO FECHAMENTO LINEAR 
PRECISÃO DA POLIGONAL 
Se Z > Denominador Tolerância Linear 
Aceita-se o fechamento da poligonal 
A precisão da poligonal 
será definida por “Z”, sendo 
Z = ΣD / ep ou 
Somatótio das distâncias 
dividido pelo erro linear. 
CORREÇÃO DO ERRO LINEAR 
As correções às coordenadas serão proporcionais 
às distâncias medidas. Quanto maior for a 
distância, maior será a correção. 
RESUMO DO CÁLCULO DA POLIGONAL 
• Determinação das coordenadas do ponto de 
partida; 
• Determinação da orientação da poligonal; 
• Cálculo do erro de fechamento angular pelo 
somatório dos ângulos internos ou 
externos (sentido horário ou anti-horário); 
• Distribuição do erro de fechamento angular; 
• Cálculo dos Azimutes; 
• Cálculo das coordenadas parciais (X, Y); 
• Cálculo do erro de fechamento linear; 
• Cálculo das coordenadas definitivas (XC, YC).. 
CÁLCULO de uma POLIGONAL 
 
Calcular as coordenadas dos pontos da poligonal (fechada) 
cujas informações de campo aparecem descritas abaixo: 
Azimute da Direção P 1 p/ S A T = 15º 28' 29” 
Coordenadas P 1 => ( E ; N ) = (600,0 ; 750,0) 
Tolerância angular = 2' m1/2 ; (sendo m = número de ângulos (α) medidos na poligonal) 
Tolerância linear = 1 : 1.000 
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL 
Somaα= 106º59‟30” + 143º20‟20” + 28º20‟09” + 153º54‟48” + 287º28‟02” 
Erro Ang = -0,046994
o 
60,64 
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL 
CÁLCULO DA POLIGONAL 
 
2. CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS 
 
Após o cálculo dos azimutes é possível determinar as 
coordenadas dos pontos intermediários. 
 
1. CÁLCULO DOS AZIMUTES 
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL 
E N 
 
600,00 750,00 Coord Original P1 
600,08 750,07 Coord Calculada P1 
-0,08 -0,07 Erro em E e N 
eE eN 
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL 
Cálculo do erro linear eixo E => eE= 600,00 – 600,08 => eE= – 0,08 m 
Cálculo do erro linear eixo N => eN = 750,00 – 750,07 => eN= – 0,07 m 
 
Cálculo do erro linear EP = [(eE)
2 + (eN)
2]1/2 => EP = 0,11 m 
 
Z = Soma lados / EP => 224,95 / 0,11 => Z = 2.026 > 1.000 ok 
 
Distribuir o erro linear entre as coordenadas, diretamente proporcinal às 
distâncias, zerando o erro 
 
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL 
E N 
600,00 750,00 Coord Original P1 
600,08 750,07 Coord Calculada P1 
-0,08 -0,07 Erro em E e N 
eE eN 
CE2 = (-0,08)*(60,64/224,95) 
 
CE2 = -0,02157 m ou -0,02 m 
DESENHO da POLIGONAL