Idenficação de gráficos em coordenadas polares e sistema cartesiano tridimensional - Aula 3

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CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA 
CONEXÕES COM 
A MATEMÁTICA 
ANOTAÇÕES EM AULA 
Capítulo 29 – Polinômios e equações polinomiais 
Identificando gráficos em 
coordenadas polares e 
Sistema de coordenadas 
cartesianas no espaço 
tridimensional 
Prof.: Eric Novais 
CONEXÕES COM 
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Procedimentos que auxiliam no 
traçado do gráfico em coordenadas 
polares 
i. Calcular os pontos máximos e/ou mínimos; 
ii. Encontrar os valores de 𝜃 para os quais a curva 
passa pelo pólo; 
iii. Verificar simetrias. Se: 
a) A equação não se altera quando substituímos 𝜌 por −𝜌, 
existe simetria em relação à origem; 
b) A equação não se altera quando substituímos 𝜃 por −𝜃, 
existe simetria em relação ao eixo polar (ou eixo dos x). 
c) A equação não se altera quando substituímos 𝜃 por 𝜋 −
𝜃, existe simetria em relação ao eixo 𝜃 =
𝜋
2
 (ou eixo dos y) 
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Identificando gráficos em 
coordenadas polares 
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Retas 
• 𝜃 = 𝜃0 ou 𝜃 = 𝜃0 + 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ é uma reta que 
passa pelo pólo e faz um ângulo de 𝜃0 ou 
𝜃0 + 𝑛𝜋 radianos com o eixo polar. 
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Retas 
• 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑎, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ são retas paralelas ao 
eixo polar. 
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Retas 
• 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ são retas paralelas ao 
eixo 
𝜋
2
. 
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Circunferências 
• 𝑟 = 𝑐, c ∈ ℝ é uma circunferência centrada 
no pólo e raio 𝑐 . 
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Circunferências 
• 𝑟 = 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 , a ∈ ℝ é uma circunferência 
centrada no eixo polar e tangente ao eixo 
𝜃 =
𝜋
2
. 
– se 𝑎 > 0, o gráfico está à direita do pólo; 
– se 𝑎 < 0, o gráfico está à esquerda do pólo; 
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Circunferências 
• 𝑟 = 2𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃 , b ∈ ℝ é uma circunferência 
centrada no eixo 𝜃 =
𝜋
2
 e tangente ao eixo 
polar. 
– se 𝑏 > 0, o gráfico está à acima do pólo; 
– se 𝑏 < 0, o gráfico está à abaixo do pólo; 
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Limaçons 
• 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, são limaçons. 
– se 𝑏 > 𝑎, então o gráfico tem um laço. 
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Limaçons 
• 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, são limaçons. 
– se 𝑏 > 𝑎, então o gráfico tem um laço. 
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A MATEMÁTICA 
Limaçons 
• 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, são limaçons. 
– se 𝑏 = 𝑎 , então o gráfico tem formato de 
coração, e é chamado de cadióide. 
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Limaçons 
• 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, são limaçons. 
– se 𝑏 = 𝑎 , então o gráfico tem formato de 
coração, e é chamado de cadióide. 
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A MATEMÁTICA 
Limaçons 
• 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, são limaçons. 
– se 𝑏 < 𝑎, então o gráfico não tem laço. 
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Limaçons 
• 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, são limaçons. 
– se 𝑏 < 𝑎, então o gráfico não tem laço. 
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Rosáceas 
• 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 e 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃), 𝑎 ∈ ℝ e 𝑛 ∈ ℕ 
são limaçons. 
– se 𝑛 é par, temos uma rosácea com 2𝑛 pétalas. 
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Rosáceas 
• 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 e 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃), 𝑎 ∈ ℝ e 𝑛 ∈ ℕ 
são limaçons. 
– se 𝑛 é par, temos uma rosácea com 𝑛 pétalas. 
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Lemniscatas 
• 𝑟2 = ±𝑎𝑐𝑜𝑠 2𝜃 e 𝑟2 = ±𝑎𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑎 ∈ ℝ 
são lemniscatas. 
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Espirais 
• Espiral hiperbólica: 𝑟𝜃 = 𝑎, 𝑎 > 0 
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Espirais 
• Espiral de Arquimedes: 𝑟 = 𝑎𝜃, 𝑎 > 0 
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Espirais 
• Espiral logarítima: 𝑟 = 𝑒𝑎𝜃 
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Espirais 
• Espiral parabólica: 𝑟2 = 𝜃 
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Sistema cartesiano 
tridimensional 
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Distância entre dois pontos 
em um sistema cartesiano 
tridimensional 
• Ex1: Encontre as coordenadas do centro da 
circunferência que circunscreve triângulo 
com vértices nos pontos 𝐴 = (2,1,2) , 
𝐵 = (1,2, −1) e 𝐶 = (−1,0, −1) e o seu 
baricentro. 
• Ex2: Achar as coordenadas do ponto P que 
divide o segmento 𝐴𝐵 na razão 2. Dados 
𝐴 = (2,5, −1) e 𝐵 = (3,0, −2)