A8 Distribuição Continua Normal

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MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
{
 
 
 
 
𝑩𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊
𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍
𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏
𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍
𝑮𝒆𝒐𝒎É𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝑯𝒊𝒑𝒆𝒓𝒈𝒆𝒐𝒎É𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 𝑵𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂
 
OBS: A Distribuição Binomial é afetada pelo tamanho amostral n e pela probabilidade p, enquanto a 
distribuição de Poisson é afetada pela média µ. 
Em uma distribuição binomial, os valores possíveis da variável aleatória x são 0, 1, 2, ..., n, enquanto em 
uma distribuição de Poisson os valores possíveis de x são 0, 1,..., sem limite superior. 
 
MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE
{
 
 
 
 
𝑼𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 𝒐𝒖 𝑹𝒆𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓
𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍
𝑳𝒐𝒈𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍
𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍
𝑸𝒖𝒊 − 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐
𝑻 𝒅𝒆 𝑺𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕
𝑫𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒊ÇÃ𝒐 𝑭
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
 
Variável aleatória contínua tem infinitos valores, sem saltos ou interrupções. 
Exemplo de variáveis aleatórias contínuas: 
 Altura acima do solo em que um dardo atinge um painel; 
 O intervalo de tempo de vida de uma lâmpada; 
 A duração de vida de uma pessoa. 
Para entendermos melhor as variáveis aleatórias contínuas, imagine o exemplo: Um círculo é dividido em 
dois setores de mesmo tamanho (180º cada um), aos quais são atribuídos os números 1 e 2. Um ponteiro 
é preso ao centro do círculo e girando, conforme mostra a figura 01. Seja a variável aleatória discreta X = 
número do setor apontado quando o ponteiro para de girar. A distribuição de probabilidades de X, 
considerando que todos os pontos sejam equiprováveis, pode ser especificada pela função de 
probabilidade da figura 02. 
 
 
 
 Figura 01 Figura 02 
Imagine que agora vamos dividir o círculo em quatro setores. A representação ficará sendo: 
 
Agora imagine que para o exemplo anterior, vamos dividindo o círculo em mais e mais setores até 
chegarmos a 360 divisões (360º). 
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Não vamos conseguir representar esta informação em um gráfico de barras, teremos que utilizar o 
conceito de: Função Densidade de Probabilidade. 
Assim teremos: 
 
Intuitivamente, as variáveis aleatórias discretas são mais fáceis de entender. Entretanto, matematicamente, 
as variáveis aleatórias contínuas são de mais fácil manejo. Se uma distribuição discreta tem muitos 
valores possíveis próximos uns dos outros, pode, em geral, ser aproximada por uma distribuição contínua. 
 
Figura: Em vermelho uma distribuição discreta. Em azul, curva contínua. 
 
Se ligarmos os pontos médios das bases superiores dos retângulos e ligarmos os mesmos por uma curva, 
teremos, se considerarmos X uma variável aleatória contínua, uma função contínua f(x), representada no 
gráfico acima como a curva contínua. 
Podemos então definir matematicamente Variável aleatória contínua: uma variável aleatória é contínua 
em ¶R se existir uma função f(x), tal que: 
 
 f(x) ≥ 0; 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
+∞
−∞
. 
 
A função f(x) é chama função densidade de probabilidade (f.d.p). Observamos que: 
 
corresponde à área limitada pela função f(x), eixo X e pelas retas X= a e X= b. Veja figura abaixo. 
 
A curva mais importante na estatística é a curva em forma de Sino, ou a Curva Normal que retrata a 
distribuição de grandezas tais como as alturas de uma população. 
( ) ( )
b
a
P a X b f x dx   
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Podemos estender todas as definições de variáveis aleatórias discretas para variáveis aleatórias contínuas. 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
A Normal é considerada a distribuição de probabilidade mais importante, pois permite modelar uma 
infinidade de fenômenos naturais e, além disso, possibilita realizar aproximações para calcular 
probabilidades de muitas variáveis aleatórias que têm outras distribuições. É muito importante também na 
inferência estatística. 
A distribuição normal é caracterizada por uma FUNÇÃO DE PROBABILIDADE, cujo gráfico descreve 
uma curva em forma de sino. Essa forma de distribuição evidencia que há maior probabilidade de a 
variável aleatória assumir valores próximos do centro. 
Função Densidade de Probabilidade da Distribuição NORMAL 
 
Uma variável aleatória terá Distribuição Normal se sua função de densidade de probabilidade for da 
forma abaixo, onde: 
μ = média da distribuição 
 = desvio padrão da distribuição 
π e e são constantes (3,1416... e 2,718...) 
 
 
 
Notação: X  N(,2). Lê-se: “X tem distribuição Normal com média  e variância 2 ” 
 
Exemplo1: Analisando o salário dos funcionários de uma empresa, chegou-se à conclusão de que eles são 
normalmente distribuídos, com média R$ 1.000,00 e desvio padrão de R$ 150,00. Qual a probabilidade 
de, encontrarmos indivíduos entre R$ 1.000,00 e R$ 1.500,00? 
 
Solução: Temos µ = 1.000; σ = 150 e queremos P(1.000 ≤ X ≥ 1.500), conforme ilustra a figura acima. 
Logo uma maneira de resolvermos seria aplicando o processo de integração da função densidade. 
 
 
 
 
 
A resolução desta integral, não é muito fácil. Um método mais simples é através da Padronização da 
distribuição, ou seja, toda e qualquer distribuição normal de parâmetros µ e σ, quaisquer, será 
transformada em uma normal especial, com média zero e desvio padrão unitário, denominada Normal 
Padrão. 
 
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Média ou Valor Esperado μx = E{X} = μ e Variância 
2
x = V{X} = 
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
σ
μx
2
1
e
2πσ
1
f(x)





 


dx





 


500.1
000.1
2
150
1.000x
2
1
e
2π150
1
P(x)
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PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 A variável aleatória pode assumir todo e qualquer valor real. 
 A representação gráfica da Distribuição Normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da 
Média µ que possui uma variabilidade em torno dessa média µ para mais ou para menos denominado de 
desvio-padrão e representado pela letra grega σ recebe o nome de curva normal. 
 
 A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se 
indefinidamente do eixo das abscissas em, contudo, alcançá-lo. 
 Como a curva normal é simétrica em torno da média µ, a probabilidade de ocorrer valor maior do 
que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as 
probabilidades são iguais a 0,5 e escrevemos: 
P(X > µ) = P( X < µ) = 0,5 
 
Exemplo2: Suponha que os pesos das pessoas adultas que pertencem a determinada população seguem 
uma curva Normal com média µ = 70Kg e desvio padrão σ = 10kg. Portanto, µ -2 σ = 70 – 2*10 = 50 e 
µ + 2 σ = 70 + 2*10 = 90. Então podemos afirmar que: 
 Cerca de 95% dessas pessoas pesam entre 50 kg e 90 kg. 
 Cerca de 2,5% dessas pessoas pesam menos de 50 kg. 
 Cerca de 2,5% dessas pessoas pesam mais de 90 kg. 
 
Pode-se identificar uma distribuição normal especificando-se dois números: a média e a variância (ou o 
desvio padrão). Conforme já foi visto no caso das distribuições discretas, a média está localizada no pico 
da distribuição. A variância define a forma da distribuição – se ela é muito dispersa ou se a maior parte da 
área se concentra na proximidade do pico. 
O desvio padrão σ é a raiz quadrada da variância e é a distância, a partir da média, a qualquer do dois 
pontos de inflexão – os pontos fronteira onde a curva muda de concavidade (ver figura abaixo). 
 
 
A figura abaixo mostra trêsdistribuições normais com a mesma variância, mas com médias diferentes. 
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Já a próxima figura exibe três distribuições normais com a mesma média, mas com variâncias distintas. A 
área sobre cada uma das curvas (tanto as curvas acima quanto as curvas abaixo) é 1, como deve ser o caso 
para uma variável aleatória contínua. As extremidades da curva são chamadas caudas da distribuição. As 
caudas jamais tocam o eixo. Teoricamente, pois, a variável aleatória normal pode tomar qualquer valor, 
inclusive valores muito distantes da média. Todavia, pode-se ver que não há muita área sob a curva nas 
caudas, de modo que a chance de aparecer um valor muito distante da média é remota. 
 
PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS: 
1. Teoricamente, a curva prolonga-se de –∞ a +∞, sendo que lim f(x) =0 para x tendendo a ∞. 
 
2. A área total sob a curva é igual a 1, ou seja: 
 
3. A curva é simétrica em torno de μ, o que faz com que média = mediana = moda. Adicionalmente, 
temos também que P(X < μ - a) = P(X > μ + a). 
 
 
 
 
 
 
4. A curva tem dois pontos de inflexão, respectivamente em μ- e μ+ . Cerca de 68% dos valores 
recaem no intervalo de um desvio padrão de cada lado da média, 95% recaem no intervalo média  2 
desvios e 99,7% recaem no intervalo média  3 desvios. 
 
 
 
 
 
 
1f(x)dx 


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Considerando a enorme dificuldade de calcularmos probabilidades pela integração da Função de 
Densidade de Probabilidade (fdp) para as infinitas combinações de valores de μ e ·, utiliza-se a 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO ou REDUZIDA. 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA 
Entre os modelos de distribuição continua, a distribuição normal é uma das mais importantes. É também 
conhecida como Distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss. 
Uma preocupação é a redução de quantidade de desperdício, que tecnicamente é denominada de 
“defeitos”. O defeito é qualquer desvio de uma característica que gere insatisfação. Para calcularmos uma 
probabilidade qualquer a partir da distribuição normal, devemos trabalhar com intervalos, pois a 
distribuição é contínua. 
Elaborou-se uma tabela para a utilização da Distribuição Normal, com média μ = 0 e variância 2 = 1. 
Essa Normal é chamada de Normal Padrão e a variável aleatória é em geral, representada pela letra Z. 
Notação: Z  N(0,1). Lê-se: “Z tem distribuição Normal Padrão ”. 
 
COMO TRANSFORMAR UMA CURVA NORMAL EM UMA NORMAL PADRÃO 
 
Relembrando; para transformar uma curva normal em uma normal reduzida, devemos calcular o Z 
equivalente aos limites desejados utilizando a fórmula: 
 
𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎
 onde: 
 
x = ponto que se deseja converter em Z; 
μ = média da normal original; 
 = desvio padrão da normal original. 
 
Abaixo segue um exemplo da tabela utilizada para valores da Z. 
 
Tabela de Distribuição Normal Padrão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Z 0,00 0,01 0,02 ... 0,06 ... 0,09 
0,0 
0,1 
0,2 0,5832 
⋮ 
0,8 0,8051 
⋮ 
1,3 0,9066 
⋮ 
Tabela: Ilustração do uso da tabela da distribuição Normal Padrão para encontrar P(Z > 0,21) = 0,5832 e 
P( Z > 1,32) = 0,9066. 
 
PROPRIEDADES DA CURVA NORMAL 
 A curva Normal tem a forma de um sino e é simétrica em relação à média; 
 O achatamento da curva esta ligado ao valor do desvio-padrão; 
- maior achatamento da curva = maior o desvio-padrão. 
- menor achatamento da curva = menor o desvio-padrão. 
 A área total compreendida entre a curva e o eixo das abscissas é igual à unidade. 
 
Exercícios 
1- Seja X: N(100, 25). Calcular: 
a) P(100 ≤ X ≤ 106); (resp. 0,384930) b) P(89 ≤ X ≤ 107); (resp. 0,9053) 
c) P(X ≥ 108). (resp. 0,0548) 
 
2- Calcule a probabilidade de vendar mais de 230 hambúrgueres numa lanchonete da cidade. Onde X1 = 
número de hambúrgueres, μ = 200, σ2= 1600. (resp. 0,2266) 
 
3- Dada uma distribuição normal padrão, apresentada nas figuras abaixo, determine o valor de k de modo 
que: a) P(Z > K) = 0,3015; (resp.k = 0,52) b) P(K< Z<-0,18) = 0,4197; (resp.k = -2,37) 
 
4- Dada uma distribuição normal padrão, determine a área abaixo da curva que está: 
a) à direita de Z = 1,84; (resp.0,0329) b) entre Z = -1,97 e Z= 0,86. (resp.0,7807) 
 
5- Determine a área sob a curva de uma normal padronizada para z entre -0,20 e 1,93. (resp. 0,5525) 
 
6-Um fabricante de baterias sabe, por experiência passada, que as baterias de sua fabricação têm vida 
média de 600 dias e desvio-padrão de 100 dias, sendo que a duração tem aproximadamente a distribuição 
normal. Oferece uma garantia de 312 dias, isto é, troca as baterias que apresentarem falhas nesse período. 
É produzida 10.000 baterias mensalmente. Quantas deverão trocar pelo uso da garantia, mensalmente? 
(resp. 0,0020 ou 20%) 
 
7-Suponha que as medidas da corrente elétrica em pedaço de fio sigam a distribuição Normal, com uma 
média de 10 miliampères e uma variância de 4 miliampères. 
a) Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliampères? (resp. 0,0668) 
b) Qual a probabilidade de a medida da corrente estar entre 9 e 11 miliampères? (resp. 0,3830) 
c) Determine o valor (X) para o qual a probabilidade de uma medida da corrente estar abaixo desse valor 
seja 0,9798. (resp. 14,1 miliampères) 
 
Z k 0 
0,301
5
a
)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
b
)
0 -k 
0,419
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8- Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento 
telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos. 
a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos? (resp. 0,0668) 
b) E mais do que 9,5 minutos? (resp. 0,2266) 
c) E entre 7 e 10 minutos? (resp. 0,5328) 
d) 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento? (resp. 6,66 minutos) 
9- As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídos com media 1,60m e desvio 
padrão 0,30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir: 
a) Entre 1,50 e 1,80m; (37,79%) b) Mais de 1,75 m. (30,85%) 
 
10- O nível de colesterol no sangue é importante porque níveis elevados de colesterol podem aumentar o 
risco de um ataque cardíaco. A distribuição dos níveis de colesterol no sangue numa população de 
pessoas da mesma idade e do mesmo sexo é aproximadamente Normal. Para rapazes de 14 anos de idade, 
a média é de 170 mg por decilitro de sangue, e o desvio padrão é de 30 mg/dl. Os níveis acima de 240 
mg/dl podem exigir cuidados médicos. Que percentagem de rapazes de 14 anos de idade tem: 
a) Mais de 240mg/dl de colesterol?( 0,99%) 
b) Menos de 150mg/dl ? ( 25,14%) Use a simetria (P(Z > 0,67) assim sai igual ao item a) 
c) Entre 160 e 180mg/dl? ( 25,86%) 
 
11-Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média igual a 65 kg e desvio padrão 5 
kg. Qual é o número de alunos que se pode esperar encontrar entre 60 e 70 kg? (68,26% e 
aproximadamente 409 estudantes) 
12-Considere uma variável aleatória X com distribuição N( ,).Determine  e  sabendo que: 
P(X< 3) = 0,69146 e P(X< 4)= 0,84134 (monte um sistema e vai achar  =2 e  = 2) 
 
13-Uma determinada experiência segue a lei Normal de parâmetros N(5, ), indique qual das 
probabilidades abaixo é mais elevada: (alternativa d) 
a) P(X > 6) b) P(X > 5) c) P(X < 7) d) P(X < 8)APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL PELA NORMAL 
Se Y admite distribuição binomial de probabilidades, mas o número de repetições do experimento é grande 
(n  30), com a probabilidade p de sucesso não muito distante de 0,5, podemos, com pequena margem de erro, 
calcular as probabilidades da distribuição binomial Y através das probabilidades obtidas de uma distribuição 
normal X com as condições a seguir impostas. Alguns autores indicam uma boa aproximação se np > 5 e 
nq > 5. 
1. média de X = média de Y = nxp. 
2. variância de X = variância de Y = nxpxq. 
3. correção de continuidade: P( Y = y ) da binomial equivale a P( y-0,5 < X < y+0,5 ) da normal, 
P( Y < y ) da binomial equivale a P( X < y-0,5 ) da normal 
P( Y > y ) da binomial equivale a P( X > y+0,5 ) da normal 
EXEMPLOS: 
1- Uma moeda honesta é lançada 10 vezes. Determinar a probabilidade de se obter de 3 a 6 caras 
inclusive. 
 
2- Uma empresa privada tem em seu histórico o fato de cometer erros em 10% de suas faturas. Foi 
tomada uma amostra de cem faturas, e queremos calcular a probabilidade de 12 faturas conterem erros. 
Ou seja, queremos encontrar a probabilidade binomial de 12 sucessos em cem ensaios. (0,1052) 
 
3- Um dado não viciado é lançado 180 vezes. Encontre a probabilidade que o número 5 apareça: 
a) entre 28 e 32 vezes inclusive; (0,3830) b) 31 vezes; (0,0781) 
c) mais do que 35 vezes.(0,1357)