6. Torção

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TORÇÃO
PROF. ESP. DIEGO ROSA
E-MAIL: PROFDIEGOROSA@GMAIL.COM
DEFINIÇÃO DE TORQUE
• É um momento que tende a torcer um
elemento em torno de seu eixo longitudinal.
DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO
DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO
𝛾 =
𝜋
2
− lim
𝐶→𝐴 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝐴
𝐵→𝐴 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝐴
𝜃′
∆𝑥 → 𝑑𝑥 𝑒 ∆ϕ → 𝑑𝜙
𝐵𝐷 = 𝜌𝑑𝜙 = 𝑑𝑥 𝛾 ∴ 𝛾 = 𝜌
𝑑𝜙
𝑑𝑥
𝑑𝜙
𝑑𝑥
=
𝛾
𝜌
=
𝛾𝑚á𝑥
𝑐
∴ 𝜸 =
𝝆
𝒄
𝜸𝒎á𝒙
EQUAÇÃO DA TORÇÃO
• Se o material for linear elástico, então a lei de
Hooke se aplica:
𝝉 = 𝑮𝜸
G = módulo de rigidez ao cisalhamento;
γ= deformação por cisalhamento.
• Logo:
𝛾 =
𝜌
𝑐
𝛾𝑚á𝑥 ∴ 𝝉 =
𝝆
𝒄
𝝉𝒎á𝒙
EQUAÇÃO DA TORÇÃO
𝑑𝐹 = 𝜏𝑑𝐴
𝑑𝑇 = 𝜌 𝜏𝑑𝐴
𝑇 = 
𝐴
𝜌 𝜏𝑑𝐴 = 
𝐴
𝜌
𝜌
𝑐
𝜏𝑚á𝑥 𝑑𝐴
𝑇 =
𝜏𝑚á𝑥
𝑐
 
𝐴
𝜌2 𝑑𝐴 ∴ 𝝉𝒎á𝒙 =
𝑻𝒄
𝑱
EQUAÇÃO DA TORÇÃO
• Onde:
τmáx = tensão de cisalhamento máxima no eixo, que
ocorre na superfície externa;
T = torque interno resultante que age na seção
transversal;
J = momento polar de inércia da área da seção
transversal;
c = raio externo do eixo.
EQUAÇÃO DA TORÇÃO
• Para uma distância intermediária ρ, temos:
𝝉 =
𝑻𝝆
𝑱
EIXO MACIÇO
𝑱 =
𝝅
𝟐
𝒄𝟒
EIXO TUBULAR
𝑱 =
𝝅
𝟐
𝒄𝒐
𝟒 − 𝒄𝒊
𝟒
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES
• Quando um eixo com seção transversal circular é
submetido a um torque, a seção transversal
permanece plana, enquanto as linhas radiais giram.
Isso provoca uma deformação por cisalhamento no
interior do material, a qual varia linearmente, ao
longo de qualquer linha radial, de zero na linha
central do eixo a um máximo em seu contorno
externo.
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES
• Pela lei de Hooke, para um material homogêneo
com comportamento linear elástico, a tensão de
cisalhamento ao longo de qualquer linha radial do
eixo também varia linearmente, de zero na linha
central do eixo até um valor máximo em seu
contorno externo. Essa tensão de cisalhamento
máxima não deve ultrapassar o limite de
proporcionalidade do material.
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES
• Em razão da propriedade complementar do
cisalhamento, a distribuição da tensão de
cisalhamento linear no interior do plano da
seção transversal também é distribuída ao
longo de um plano axial adjacente do eixo.
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES
• A fórmula da torção é baseada no requisito de
que o torque resultante na seção transversal
seja igual ao torque produzido pela
distribuição linear da tensão de cisalhamento
em torno da linha central longitudinal do eixo.
É necessário que o eixo ou tubo tenha seção
transversal circular e que seja feito de material
homogêneo de comportamento linear elástico.
ÂNGULO DE TORÇÃO NO 
REGIME ELÁSTICO
• Lembrando que o ângulo de torção e a deformação de
cisalhamento máxima estão relacionados por:
𝛾𝑚á𝑥 =
𝑐ϕ
𝐿
• E na faixa elástica, a deformação e a tensão de cisalhamento
estão relacionadas pela lei de hooke:
𝛾𝑚á𝑥 =
𝜏𝑚á𝑥
𝐺
=
𝑇𝑐
𝐽𝐺
• Igualando as duas equações para deformação de
cisalhamento e resolvendo para o ângulo de torção, temos:
𝝓 =
𝑻𝑳
𝑱𝑮
ÂNGULO DE TORÇÃO NO 
REGIME ELÁSTICO
• Se o carregamento torsional ou
a seção transversal do eixo
mudam ao longo do
comprimento, o ângulo de
torção total é dado pela soma
dos ângulos dos segmentos:
𝝓 = 
𝑻𝑳
𝑱𝑮
ÂNGULO DE TORÇÃO NO 
REGIME ELÁSTICO
LEMBRETE
• Visto que a lei de Hooke é usada no
desenvolvimento da fórmula para o ângulo de
torção, é importante que os torques aplicados
não provoquem escoamento do material e que
o material seja homogêneo e se comporte de
maneira linear elástica.