Aula 7 - Tensões e Deformações na Flexão

Prévia do material em texto

Tensões e Deformações na Flexão
Prof. Lucinaldo
Aula 07
Hipóteses
Os modelos de flexão utilizados no estudo de resistência dos materiais baseiam-se nas seguintes hipóteses:
SOBRE O CORPO SÓLIDO
i. O material é considerado homogêneo e isotrópico;
ii. A viga admite um plano de simetria;
iii. O corpo é formado por um conjunto de fibras unidas entre si e paralelas ao plano longitudinal.
Plano de simetria
SOBRE AS FORÇAS
iv. As forças atuam no plano de simetria;
v. As forças atuantes são perpendiculares ao eixo, portanto trata-se de um problema de flexão simples;
SOBRE DEFORMAÇÕES
vi. Hipótese de Bernoulli: Os sólidos sob flexão são elásticos longitudinalmente e rígidos transversalmente.
vii. Hipótese de Navier:
Sob ação de cargas de flexão, algumas fibras longitudinais que compõem o corpo sólido são submetidas à tração e outras a compressão, existindo uma superfície intermediária onde a deformação (εx) e a tensão (σx) para as fibras nela contidas tornam-se nulas, isto é, não se encurtam e nem se alongam. Esta superfície é chamada de superfície neutra. A superfície neutra intercepta uma dada secção transversal da barra segundo uma reta chamada linha neutra.
Os esforços de tração e compressão aumentam à medida que se afastam da superfície neutra, atingindo sua intensidade máxima nas fibras mais distantes a ela.
- O material obedece a Lei de Hooke, ou seja, as tensões e deformações produzidas no sólido estão abaixo do limite de proporcionalidade do material (regime elástico).
CONCLUSÕES:
1. Supondo uma viga submetida a esforços de flexão, constituída por uma série de fibras planas longitudinais, as fibras próximas à superfície convexa estão sob tração e portanto sofrem um aumento em seu comprimento. Da mesma forma, as fibras próximas à superfície côncava estão sob compressão e sofrem uma diminuição no seu comprimento. Como na superfície neutra o esforço é nulo, a deformação resultante também será nula, sendo assim existe um plano de transição entre as deformações de tração e compressão.
2. De acordo com a Lei de Hooke, a tensão varia linearmente com a deformação. Desta forma temos que a tensão de flexão varia linearmente numa dada seção transversal de uma viga, passando por zero (tensão nula) na linha neutra.
3. Em uma viga com seção transversal constante, a linha neutra (interseção entre a superfície neutra e a seção transversal) passa pelo centro de gravidade desta seção.
Tensão de Flexão
A equação conhecida como fórmula da flexão em regime elástico, é a tensão normal σF, provocada quando a barra se flexiona, é chamada de tensão de flexão.
Em vigas com seção simétrica (em relação a linha neutra), as tensões de tração e compressão produzidas durante a flexão terão o mesmo valor. Nas vigas com seções assimétricas, a tensão máxima ocorrerá na superfície mais distante da linha neutra.
As tensões variam linearmente com a distância y do eixo neutro.
Combinando as equações:
Nesta equação, M é positivo quando produz compressão na viga e y é positivo quando o sentido é para baixo.
As tensões máximas de tração e de compressão ocorrerão nos pontos mais afastados do eixo neutro. Designando os afastamentos das fibras extremas por yinf e ysup, respectivamente, tem-se:
Diferentes distribuições de tensão para um mesmo perfil tipo “U” utilizado no modelo de viga, conforme sua posição em relação ao momento fletor aplicado.
Dimensionamento
Para a equação de distribuição de tensões apresentada no item anterior, podemos observar que as dimensões da viga estão associadas ao momento de inércia (I) e a distância da linha neutra à fibra mais distante (y). A relação entre estas grandezas pode ser expressa pelo módulo de flexão:
Como
logo
Para que uma viga trabalhe em segurança, é necessário que a tensão admissível estipulada para o projeto seja igual ou maior que a tensão máxima de flexão:
Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões normais em um elemento de viga de comprimento dx
A tensão de cisalhamento fica definida por:
A tensão de cisalhamento varia em função de yo. No caso das seções retangulares, tem-se:
Como regra geral, a máxima tensão de cisalhamento τ ocorre no centro de gravidade da seção transversal.
Sabendo-se que o braço de alavanca dos esforços internos (z) pode ser expresso por ( z = I /Ms ) tem-se, para yo = 0, a expressão da tensão máxima de cisalhamento:
As tensões de cisalhamento são sempre tangentes ao contorno da seção transversal.
Direção e sentido das tensões de cisalhamento (FUSCO, 1981)
Tensão de cisalhamento para peças de seção retangular
Tensão de cisalhamento para peças de seção retangular
Tensão de cisalhamento para peças de seção circular
Tensão de cisalhamento para peças de seção circular
DEFORMAÇÕES NAS VIGAS
As cargas transversais que atuam nas vigas causam deformações, curvando seu eixo longitudinal. Quando se projeta uma viga é frequentemente necessário calcular as deformações que ocorrerão em vários pontos ao longo do eixo.
Denomina-se flecha, ou deslocamento vertical da viga (v), o deslocamento perpendicular a seu eixo, provocado pela aplicação de uma carga. A curva na qual se transforma o eixo da viga, inicialmente reto, recebe o nome de linha elástica.
A equação da linha elástica permite obter a linha elástica das vigas retas para qualquer tipo de
carregamento.
A equação foi deduzida a partir das seguintes hipóteses:
barra prismática (barra de eixo reto e de seção transversal constante);
2. validade da Lei da Hooke σ=Eε - material elástico linear;
3. as seções permanecem planas após a deformação;
4. deslocamentos pequenos, ou seja: tgθ ≅θ .
As convenções de sinais a serem consideradas na equação acima são: os eixos x e y são positivos nos sentidos indicados, o deslocamento v é positivo quando estiver no sentido do eixo y; o momento fletor M é positivo quando produz compressão na parte superior e tração na parte inferior da viga.
Tabela com as equações de deslocamento máximo.
image1.emf
image2.emf
image3.emf
image4.emf
image5.emf
image6.png
image7.png
image8.png
image9.png
image10.png
image11.png
image12.png
image13.png
image14.png
image15.png
image16.png
image17.emf
image18.png
image19.png
image20.png
image21.png
image22.png
image23.png
image24.png
image25.png
image26.png
image27.png
image28.png
image29.png
image30.png
image31.png
image32.png
image33.png
image34.png
image35.png
image36.png
image37.png
image38.png
image39.png
image40.png
image41.png
image42.png