Introdução ao Método dos Elementos Finitos (MEF)

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INTRODUÇÃO AO
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
(MEF)
Aula_01
Curso: Engenharia Civil
Disciplina : Métodos Numéricos; Prof: Marcos Vinicios 01 
Curso: Engenharia Civil
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Introdução: Definição do Método dos Elementos Finitos (MEF)
É um método numérico que fornece uma solução aproximada de modelos matemáticos
que descrevem o comportamento físico em meios contínuos, comuns na engenharia.
Meio contínuo  estruturas reais objeto da análise.
Ex: viga, laje, solo, parafuso, placa, um fluido (gás ou líquido no interior de dutos), etc;
Comportamento físico  prever o comportamento do meio contínuo (estruturas) sob o efeito
de solicitações externas por meio de um modelo físico.
Ex: - deformação e tensões de uma estrutura sujeita a um carregamento;
- Perfil de temperaturas no motor de um automóvel;
- Escoamento de líquidos em dutos;
- Campo elétrico de um capacitor;
- Campo eletromagnético em um motor elétrico;
Modelo Matemático  equações diferenciais ou equações integrais com suas respectivas
condições de contorno, que descrevem o comportamento do modelo físico.
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Introdução: Definição do Método dos Elementos Finitos (MEF)
Meio contínuo: Viga bi-apoiada  prever a deflexão desta sob o efeito de uma carga;
Comportamento Físico: Este comportamento é estabelecido a partir da representação
física do Meio contínuo, ou seja, elaboração do Modelo Físico de problema analisado;
Modelo Matemático: A resistência dos Materiais fornece a teoria simples de viga,
sendo a deflexão de uma viga bi-apoiada definida por:
Sistema Real
Modelo real
Modelo Físico
Modelo discretizado
Modelo simplificado:
- seção constante;
- material homogêneo;
- apoios ideais;
Modelo Matemático
E I d4 v = w(x)  v = deflexão da linha elástica;
dx4
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Introdução: Definição do Método dos Elementos Finitos (MEF)
Em geral, os problemas de engenharia são descritos por modelos matemáticos
complexos (equações algébricas, diferenciais, integrais e suas combinações, etc),
semelhantes ao exemplo anterior da viga bi-apoiada.
Raramente essas equações podem ser resolvidas de uma forma fechada, ou seja,
fornecer uma solução exata;
Para contornar esta dificuldade são utilizados métodos numéricos a fim de se obter
soluções aproximadas para estes problemas;
Entre os inúmeros métodos numéricos pode ser destacado o Método dos Elementos
Finitos (MEF);
Assim um software(programa) de elementos Finitos pode ser definido como:
Uma ferramenta numérico-computacional capaz de fornecer uma solução
aproximada para inúmeros problemas de engenharia;
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Introdução: Idéia básica do Método dos Elementos Finitos (MEF)
Consiste em estabelecer uma solução aproximada para o problema (meio-contínuo),
ou seja, uma solução que satisfaça o Modelo Real;
Modelo Real ou Meio Contínuo:
- Este modelo é formado por infinitos pontos;
- Cada ponto do modelo possui um número infinito
de possíveis deslocamentos, também chamados
de graus de liberdade de deslocamento (GLD),
(DOF - Degrees Of Freedom, em inglês);
- Da mesma forma, cada ponto possui um
número infinito de parâmetros (variáveis),
a serem determinadas. Ex: deslocamentos nodais;
- Por estes aspectos a solução analítica “exata”
de uma estrutura real (meio-contínuo) em muitos
casos torna-se impossível ;
Modelo real: Estrutura ou meio contínuo
(sólido, líquido ou gasoso)
P
Domínio: todos 
os pontos no seu 
interior, menos o 
seu contorno
Meio contínuo
Infinitos pontos
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Introdução: Idéia básica do Método dos Elementos Finitos (MEF)
A solução aproximada de um Modelo Real é obtida por meio de um método Numérico
(MEF) aplicado ao Modelo discretizado do meio-contínuo;
Entre os métodos aproximados mais utilizados na engenharia destaca-se o MEF, o
qual busca a solução aproximada do Modelo discretizado, a partir dos pontos de seu
domínio;
Modelo Discretizado ou Simplicado:
- Este modelo é formado por finitos pontos;
- Cada ponto do modelo possui um Número finito de
possíveis deslocamentos (número finito de GLD);
- Da mesma forma, cada ponto possui um
Número finito de parâmetros (variáveis),
a serem determinadas .Ex: deslocamentos nodais;
- Por estes aspectos a resolução aproximada
de uma estrutura real (meio-contínuo) pode ser
determinada; Modelo Discretizado: meio contínuo 
discretizado (sólido, líquido ou gasoso)
P
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Introdução: Idéia básica do Método dos Elementos Finitos (MEF)
Neste Modelo discretizado ou simplificado:
- Os elementos finitos são conectados entre si através das interfaces e dos Nós ou pontos
nodais;
- Ao conjunto de elementos finitos e pontos nodais, dá-se,
usualmente o nome de malha de elementos finitos.
(grid- em inglês);
- Diversos tipos de elementos finitos já foram desenvolvidos.
estes apresentam formas geométricas diversas
(por exemplo, triangular, quadrilateral, cúbico, etc)
em função do tipo e da dimensão do problema fruto
da análise: Problema unidimensional
bidimensional
ou tridimensional.
Modelo Discretizado: meio contínuo 
discretizado (sólido, líquido ou gasoso)
P
interface
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Introdução: Idéia básica do Método dos Elementos Finitos (MEF)
Uma vez, elaborado o Modelo discretizado ou simplificado:
- Escreve-se um Sistema de equações que descreve o comportamento de cada elemento e
sua interação com o vizinho. Este sistema de equações no nível local (elemento), pode ser
escrito de forma compacta, ou seja, em notação matricial:
{ f } = [ k ] e . {u}
onde:
f vetor de forças nodais local (elemento);
u vetor deslocamento nodais local (elemento);
ke  matriz de rigidez do elemento;
- O sistema de equações no nível local (elemento) de todos os elementos são combinados
e organizados, de modo a obter um sistema de equações no nível global (estrutura), onde
este sistema é capaz de descrever o comportamento sobre todo o domínio(estrutura). Este
Sistema escrito na forma compacta é definido por:
{ F } = [ K ] . {U}
onde:
F  vetor de forças nodais global (modelo=estrutura);
U  vetor de deslocamento nodais global (modelo=estrutura);
K  matriz de rigidez do modelo (estrutura);
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Introdução: Tipos de Elementos Finitos
1- elementos unidimensionais:elementos de molas, elementos de treliça e de viga
planos e elementos de treliça e de viga espaciais;
OBS: Apesar dos elementos de treliça e de viga apresentarem a mesma representação
gráfica, os mesmos fornecem diferentes análises:
Elemento de treliça  analisa apenas deslocamentos lineares;
Elementos de viga analisa deslocamentos lineares e rotações;
Linear: 2 Nós
Quadrático: 3 Nós
Cúbico: 4 Nós
Elemento de treliça e de viga planos
Linear: 2 Nós
Quadrático: 3 Nós
Cúbico: 4 Nós
X
Y Y
X
Z
Elemento de mola Elemento de treliça e de viga espaciais
realizar a análise dos
deslocamentos planose das rotações no plano
realizar a análise dos
deslocamentos no espaço
e das rotações no espaço
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Introdução: Tipos de Elementos Finitos
1- elementos unidimensionais: elemento de treliça, exemplos de aplicação.
O elemento unidimensional se conecta ao elemento adjacente apenas pelo nó
que posuem em comum.
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Introdução: Tipos de Elementos Finitos
2- elementos bidimensionais: elementos triangulares e quadrilaterais que podem ser
utilizados em problemas de estado plano de tensão (Membrana ou chapa  2D), como
também em problemas tridimensionais (Placa e cascas  3D).
OBS: Apesar dos elementos de Membrana e Placa apresentarem a mesma representação
gráfica, os mesmos fornecem diferentes análises:
Elemento de Membrana ou chapa  analisa apenas deslocamentos lineares;
Elementos de Placa e casca analisa deslocamentos lineares e rotações;
Linear 
Quadrático 
Cúbico
Membrana ou chapa  2D
X
Y
Linear 
Quadrático 
Cúbico
Placa, casca  3D
X
Y
Z
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Introdução: Tipos de Elementos Finitos
2- elementos bidimensionais: elementos triangulares e quadrilaterais, exemplos de
aplicação, apenas em 2D.
O elemento bidimensional se conecta ao elemento adjacente não apenas pelos
nós que posuem em comum, mas também pelas interfaces comuns entre eles.
Distribuição de temperatura 
Elementos quadrilaterais
Malha mais grosseira (34 elementos)
e mais refinada (502 elementos)
Distribuição de temperatura 
Elementos triangulares
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Introdução: Tipos de Elementos Finitos
3- elementos tridimensionais ou sólidos: elementos tetraédricos e hexaédricos
Linear Quadrático Cúbico
OBS: Apesar dos elementos de tridimensionais ofereceram ótimos resultados para análise
de estruturas tridimensionais, os mesmo exigem um suporte computacional maior para
realizar as análises;
Elementos tridimensionais ou Sólidos
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Introdução: Tipos de Elementos Finitos
3- elementos tridimensionais ou sólidos: elementos tetraédricos e hexaédricos.
Exemplos de aplicação.
O elemento tridimensional se conecta ao elemento adjacente não apenas pelos nós
que posuem em comum, mas também pelas interfaces comuns entre eles.
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Introdução: Etapas da análise via MEF
A análise de um problema de engenharia por meio do Método dos elementos finitos
utilizando um software comercial é composta basicamente por três etapas:
I - Fase de pré-processamento:
- Criação da malha (um grid de nós e elementos) que representa o modelo;
- Definir as condições de contorno:
. pontos com cargas (concentradas e ou distribuída
. pontos com apoios (impedem os deslocamentos destes ponto)
- Definir as propriedades do elementos;
- Montagem (Assemble) da matriz de rigidez dos elementos.
O modelo pode ser gerado por meio
do pacote gráfico do software ou
ou pode ser importado de
um programa de CAD.
O resultado final deste passo é um
arquivo de dados, onde indica-se ao
programa o que fazer e com que
ferramentas trabalhar
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Introdução: Etapas da análise via MEF
A análise de um problema de engenharia por meio do Método dos elementos finitos
utilizando um software comercial é composta basicamente por três etapas:
II - Fase de resolução (análise propriamente dita):
- Resolução de um conjunto de equações lineares ou não lineares simultaneamente
para obter os resultados nodais, desejados, tais como: deslocamentos ou de
temperatura em diferentes nós em um problema de transferência de calor.
O processo da análise esta
contido numa espécie de
“caixa preta” onde o usuário
comum, em geral, não tem
aceso.
A análise realizada nesta “caixa preta” será o foco da disciplina, ou seja, apresentar a
formulação bem como processo de resolução do problema contidos nesta “caixa
preta” dos softwares;
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Introdução: Etapas da análise via MEF
A análise de um problema de engenharia por meio do Método dos elementos utilizando
um software comercial é composta basicamente por três etapas:
III -Fase de pós-processamento (interpretação dos resultados):
- Analisar os dados gerados na simulação. Nesta fase, você pode estar interessado
nos valores de DESLOCAMENTOS, DEFORMAÇÕES, TENSÕES, FLUXO DE
CALOR, etc.
O pós-processador pega as informações do
arquivo de resultados e às apresenta em
forma gráfica ou tabulada.
Os gráficos feito pelo programa são coloridos
com a finalidade de localizar os valores de
Máximos e mínimos bem como 
a distribuição (campos):
-Esforços;
- Tensões;
-Deformações
- Temperatura, ect.
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Introdução: Análise estrutural via MEF
A análise estrutural é a principal aplicação prática do MEF dentro das engenharias;
O MEF determina a configuração deformada do modelo discretizado por meio dos
deslocamento dos nós presente no modelo (estrutura analisada);
Assim, neste método (MEF), os Parâmetros=Váriáveis=incógnitas que descrevem o
comportamento do modelo são os deslocamentos nodais;
Os deslocamentos nodais são chamados também de Variáveis de Estado, pois
governam e descrevem o estado de equilíbrio do modelo (estrutura analisada);
Os deslocamentos nodais calculados via MEF permitem gerar vários resultados
desejados ( deslocamentos, deformações, tensões, etc) em uma análise estrutura:
1- MEF calcula  Deslocamentos (DL);
2 - Com os deslocamentos MEF calcula  Deformações (e = DL/L);
3 - Com as deformações MEF calcula  Tensões (s = E . e);
4 - Com as tensões MEF calcula  Forças (s = F/A  F = s . A);
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Introdução: Precisão do MEF
A precisão do método depende:
- Quantidade de nós e elementos, e do tamanho;
(grau de refinamento da malha)
- Do tipo de elementos presentes na malha;
- Da correta definição do modelo discretizado,
de modo a representar a geometria bem como
as condições de contorno da estrutura analizada;
condições apoios  restrições de deslocamento;
de
Contorno cargas  concentradas, distribuídas;
P1 P2 P3
R
E
F
IN
A
M
E
N
T
O
 D
A
 M
A
L
H
A
 
P1 P2 P3
Modelo Real
A correta definição das condições de 
contorno bem como o refinamento da 
malha aumentam a precisão do 
modelo, 
Modelo discretizado 1
Modelo discretizado 2
Modelo discretizado 3
O refinamento da malhae permite descreve 
melhor a geometria da estrutura analisada
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Introdução: Precisão do MEF
A precisão do método depende:
- O tipo de elemento presente na malha;
(Este é um ponto crucial)
A escolha do tipo de elemento afeta diretamente
a análise deuma estrutura via MEF, visto que
existes vários tipos de elementos. A escolha deve
ter como base dois aspectos fundamentais:
1- Quais as informações desejadas na
análise da estrutura em questão:
Ex: um laje onde deseja-se conhecer
os deslocamentos lineares e as rotações;
2 - Qual elemento finito oferecido pelo
software é capaz de fornecer como
resultado de uma análises estes
dados desejados;
Modelo Real (Estrutura – laje)
Modelo discretizado:
-Elemento de chapa, 
Fornece apenas os 
deslocamentosLineares;
- O software realizou
uma análise correta 
O erro foi criado pelo
Projetista que não
discretizou a estrutura
Corretamente;
Modelo discretizado:
-Elemento de Placa, 
Fornece as rotações e 
deslocamentos Lineares;
- O software realizou
uma análise correta 
O Projetista discretizou 
a estrutura de forma
Corretamente;
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Introdução: Modelos Discretizados utilizados na análise via MEF:
As estruturas reais (meio contínuo) em Análise Estrutural podem ser agrupadas em
dois grandes grupos de modelos, os quais são analisadas por meio do MEF.
- Modelos discretizados reticulados:
Nestes modelos a estrutura é discretizada por elementos unidimensionais onde a
interação ocorre somente nas juntas ou nós, ou seja, os deslocamentos os esforços são
transmitidos somente pelos nós.
- Modelos discretizados contínuos:
Nestes modelos a estrutura é discretizadas por elementos bi e tridimensionais onde a
interação não ocorre apenas sobre o nós, mas também nas interfaces comuns. Esta
condição exige a utilização de uma formulação mais complexas.
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Introdução: Modelos Discretizados utilizados na análise via MEF:
- Modelos discretizados reticulados:
- Modelos discretizados contínuos:
Modelo de uma
peça automotiva
Modelo de uma
Barragem de concreto
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Referências Bibliográficas:
Livro texto: ELEMENTOS FINITOS - A Base da Tecnologia CAE
Avelino Alves Filho, prof. Dr.
Editora: Érica, 5ª edição, 2007
Bibliografias complementares:
Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos
Nam-Ho Kim ; Bhavani V. Sankar
Editora: LTC, 2011
Um Primeiro Curso em Elementos Finitos
Jacob Fish ; Ted Belytschko
Editora: LTC, 2009