Lista 07 cálculo III Série de potência Polinômio de Taylor Polinômio de Maclaurin

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Lista 07– Série de Potências_Polinômio de Taylor-Polinômio de Maclaurin 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se é uma variável, então uma série infinita da forma 
É chamada de série de potências. Mais geralmente, uma série infinita da forma 
É chamada de série de potências centrada em , onde é uma constante. 
 
Para uma série de potências centrada em , exatamente uma das seguintes alternativas é 
satisfeita: 
i. A série converge apenas em 
ii. Existe um número tal que a série converge absolutamente para 
e diverge para 
iii. A série converge absolutamente para todo 
O número é o raio de convergência da série de potências. Se a série convergir apenas em , o raio de 
convergência é e se a série convergir para todo , o raio de convergência é . O conjunto dos 
valores de nos quais a série de potências converge é o intervalo de convergência da série de 
potências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a função dada por 
 
Tem raio de convergência , então, no intervalo , é diferenciável 
(e portanto contínua). Além disso, a derivada e primitiva de são: 
 
i. 
 
 
ii. 
 
 
 
 
O raio de convergência destas séries obtidas derivando ou integrando a série de potências é o 
mesmo que aquele da série de potências original. O intervalo de convergência, entretanto, pode 
ser diferente em virtude do comportamento nas extremidades. 
Definição de Série de Potências 
Convergência de uma série de Potências 
 
Derivação e integração de Série de Potências 
 
 
 
 
1- Diga onde a série de potências está centrada. 
(a) 
(b) 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
(d) 
(e) 
 
 
 
 
2- Encontre o raio de convergência da série de potências. 
(a) 
(b) 
 
 
 
 
(c) 
(d) 
 
 
 
 
(e) 
 
 
 
 
(f) 
 
 
 
 
 
3- Considere a função dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre os intervalos de convergência para cada uma das funções a 
seguir. 
(a) 
(b) 
(c) 
 
 
 
 
 
4- Encontre o enésimo polinômio de Maclaurin de . 
 
5- Encontre os polinômios de Taylor e de 
centrados em 
 
 
Se tem derivadas em , então o polinômio 
 
 
 
 
 
 
 
 é chamado de polinômio de 
Taylor de grau de em 
(ou n-ésimo polinômio de Taylor de em ). Se , então 
 
 
 
 
 
 
 
 é também chamado de polinômio de Maclaurin 
de grau de . 
Definições do Enésimo Polinômio de Taylor e do Enésimo Polinômio de Maclaurin 
 
 
 
6- Encontre os polinômios de Maclaurin e de . Use 
 (x) para aproximar o valor de . 
 
 
7- Encontre o polinômio de Taylor de grau 3 de , centrado em 
 
 
 
. 
 
8- Use um polinômio de Maclaurin de grau 4 para aproximar o valor de 
 .