Eletricidade Aplicada

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ELETRICIDADE APLICADA – aula 7
Dispositivos Básicos e Fasores
Mauricio Q. Antolin
Introduo
• Vamos analisar a resposta de dispositivos 
básicos à aplicao de tensões senoidais
– Resistor
– Capacitor
– Indutor
• Introduziremos a notao fasorial, para 
fornecer um mtodo de análise que possibilite 
uma correspondência direta com os teoremas 
introduzidos nesta aula
Introduo
• Ao analisarmos o gráfico de uma senóide 
podemos tirar algumas informaões básicas
Introduo
• Como a derivada de uma senóide  uma
cossenóide, e elas possuem o mesmo período
e mesma frequência que a funo original
Introduo
Introduo
• No caso de uma tenso senoidal
• A derivada  dada por
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Resistor:
• Em termos práticos, para as frequências com
algumas centenas de quilo Hertz, o valor da
resistência no  influenciado por tensões ou
correntes senoidais aplicadas.
• Portanto R  considerado constante e a
podemos escrever a lei de Ohm, como:
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Resistor:
Onde 
Alm disso, para uma dada 
corrente i
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
No caso de um dispositivo puramente resistivo,
a tenso e a corrente no dispositivo esto em
fase, sendo a relao dos seus valores de pico
dada pela lei de Ohm
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Indutor:
• Para a configurao em srie mostrada na 
figura, a tenso no interior da caixa 
se opõem ao da fonte e, assim reduz à 
corrente i.
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Indutor:
• No caso de um dispositivo resistivo, 
observamos que a oposio se deve a 
resistência e que e i esto 
relacionados por:
• Como a tenso em um indutor  diretamente
proporcional a taxa de variao da corrente que
o atravessa, quanto maior a frequência, maior a
taxa de variao da corrente no indutor.
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Indutor:
• Alm disso, quanto maior a indutância, maior a 
taxa de variao do fluxo magntico no indutor 
e maior a tenso no indutor.
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Indutor:
• Portanto, para o indutor mostrado abaixo, 
temos:
Como 
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Indutor:
• Como , podemos 
escrever a expresso para a corrente como:
Onde 
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Indutor:
• Observe que o valor de pico  proporcional a 
e a L.
• Para um indutor, está adiantada 90⁰ em 
relao a ou está atrasada 90⁰ em relao 
a .
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Indutor:
• Se o ângulo de fase for incluído na expresso 
senoidal para 
• Podemos calcular a oposio causada por um 
indutor em um circuito de corrente alternada 
por:
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Indutor:
• A grandeza  chamada de reatância 
(derivada de reao) indutiva ( ) e  medida 
em Ohms:
Pela lei de Ohm, podemos escrever:
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Indutor:
• A reatância indutiva  uma oposio à corrente 
que resulta em uma troca contínua de energia 
entre a fonte e o campo magntico do indutor.
• A reatância, ao contrário da resistência, no
dissipa energia eltrica (ignorando os efeitos da 
resistência interna do indutor)
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Capacitor:
• No caso de circuitos capacitivos, a tenso no 
capacitor  limitada pela taxa com que a carga  
depositada nas placas do capacitor ou ainda 
retirada delas.
• Uma variao instantânea da tenso no 
capacitor sofre uma oposio devido ao fato de 
que  necessário um tempo para carregar (ou 
descarregar) as placas de um capacitor e 
.
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Capacitor:
• Para uma determinada variao da tenso em
um capacitor, quanto maior o valor da
capacitância, maior será a corrente capacitiva
resultante.
• Alm disso: Para uma determinada
capacitância, quanto maior a taxa de variao
da tenso entre os terminais da um capacitor,
maior a corrente capacitiva.
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Capacitor:
Para o capacitor mostrada na figura, temos:
Como
Onde
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Capacitor:
• Note que o valor de pico  diretamente
proporcional a .
• Portanto:
– Para um capacitor, está adiantada 90⁰ em relao
a , ou está atrasada 90⁰ em relao a .
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Capacitor:
• Agora, calculando a oposio para um capacitor
submetido a uma tenso senoidal, temos:
• Este resultado  chamado de reatância
capacitiva ( ) e  medida em Ohms
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Capacitor:
• Usando a lei de Ohm, podemos escrever:
• A reatância capacitiva  uma oposio à
corrente que resulta em uma troca contínua de
energia entre a fonte e o campo eltrico no
capacitor. Assim como um indutor, um
capacitor no dissipa energia (se ignorarmos os
efeitos da resistência de fuga)
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
• Se a corrente estiver adiantada em
relao à tenso aplicada, o circuito
será predominantemente capacitivo,
se a tenso aplicada estiver adiantada
em relao à corrente, ele será
predominantemente indutivo.
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Exemplo: Considerando a tenso no resistor
como indicada nos itens abaixo, calcule as
expressões para a corrente, sendo o resistor de
. Esboce os gráficos de v e i.
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Exemplo: sol.
Lembrando que
Ento , portanto i e v esto em
fase
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Exemplo: sol.
Lembrando que
Ento , portanto i e v
esto em fase
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Exemplo: A corrente em um indutor de 0,1H 
dada nos itens a e b a seguir. Determine em cada
caso a expresso para a tenso no indutor. Esboce
as curvas de v e i.
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Exemplo: Sol.
Respostas dos dispositivos básicos R, L 
e C a uma tenso senoidal
Exemplo: Sol.
b)
Números complexos
Forma retangular:
• A representao de um número complexo na 
sua forma retangular 
Número 
imaginário
Números complexos
Forma polar:
• A representao de um número complexo na 
sua forma polar 
C Z �� �
Números complexos
Forma polar:
• O sinal negativo em um número complexo na 
forma polar :
180oC Z Z� �� �� �� � �
Números complexos: Converso entres 
as duas formas
• Retangular para polar:
Números complexos: Converso entres 
as duas formas
• Polar para retangular:
Números complexos: Operaões
• Por definio , portanto 
• Complexo Conjugado:  obtido trocando o 
sinal da parte imaginária do número
O seu conjugado :
Números complexos: Operaões
• Por definio , portanto 
• Complexo Conjugado:  obtido trocando o 
sinal da parte imaginária do número
Para a notao polar:
Números complexos: Operaões
• Inverso ou reciproco: basta calcular 1 sobre o 
número complexo:
O recíproco :Números complexos: Operaões
• Adio e subtrao: basta somar ou subtrair a 
parte real e a parte imaginária separadamente
e 
• A adio e a subtrao no podem ser
realizadas na forma polar, a menos que os
números complexos tenham o mesmo ângulo
ou que sua diferena seja um múltiplo de
180⁰.
Números complexos: Operaões
• Multiplicao: Utilize a propriedade distributiva, 
por exemplo
e 
Números complexos: Operaões
• Multiplicao: na notao polar, basta fazer
Números complexos: Operaões
• Diviso: basta multiplicar a frao pelo 
conjugado do denominador
e 
Números complexos: Operaões
• Diviso: Na forma polar, faa
• Uma maneira de somarmos duas ondas
senoidais  utilizar um vetor radial girante. Este
vetor tem módulo constante e com uma
extremidade fixa na origem  denominado
fasor.
Fasores
Fasores
Origem do 
fasor
Fasores
Origem do 
fasor
Fasores
Fasores
Para somar i1 com i2, fazemos:
Portanto:
Fasores
Finalmente, para escrever em notao fasorial,
basta achar o módulo e o ângulo do número
complexo:
E
Fasores
• Por razões práticas e de uniformidade, o fasor
será definido tendo módulo igual ao valor
rms da funo senoidal que representa. O
ângulo, continuará sendo o ângulo de fase.
• Em geral, em todas as análises a seguir, a
forma fasorial de uma tenso ou corrente
senoidal será:
e 
Fasores
• Onde V e I so valores rms e  o ângulo de
fase.
• A álgebra dos fasores só pode ser aplicada a
formas de onda senoidais de mesma
fequência.
Fasores
Exemplos: Converta as expressões a seguir do
domínio tempo para o domínio dos fasores
Fasores
Exemplos: Converta as expressões a seguir do
domínio tempo para o domínio dos fasores
Fasores
Exemplos: Calcule a tenso de entrada no
circuito abaixo, se:
Fasores
Exemplos: sol:
Aplicando a lei de kircchoff para a tenso, temos:
Convertendo do domínio do tempo para o domínio
dos fasores:
Fasores
Exemplos: sol:
Passando a forma polar para a forma retangular
Finalmente:
Fasores
Exemplos: sol:
Passando a forma polar para a forma retangular
Finalmente:
Fasores
Exemplos: sol:
Somando e , temos:
Convertendo para a forma polar
Fasores
Exemplos: sol:
Somando e , temos:
Convertendo para a forma polar
Valor rms
Fasores