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Argumentação em Matemática - UAB

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2) Verifique se o seguinte argumento e´ va´lido:
“Se eu estudar ou se eu for esperto, enta˜o vou passar por me´dia
em Ca´lculo I. Se eu passar por me´dia em Ca´lculo I, vou ter umas boas
fe´rias. Portanto, se eu na˜o tiver umas boas fe´rias, na˜o sou esperto.”
Soluc¸a˜o: Consideremos as seguintes proposic¸o˜es:
p: “eu estudo”
q: “eu sou esperto”
r: “vou passar por me´dia em Ca´lculo I”
s: “vou ter umas boas fe´rias”
Devemos investigar a validade do seguinte argumento
[((p ∨ q)→ r) ∧ (r → s)]→ (¬s→ ¬q)
que e´ equivalente a
[((p ∨ q)→ r) ∧ (r → s) ∧ ¬s]→ ¬q
1) (p ∨ q)→ r (premissa)
2) r → s (premissa)
3) ¬s (premissa)
4) (p ∨ q)→ s (1, 2 e a Lei do Silogismo)
5) ¬s→ ¬(p ∨ q) (contrapositiva de 4)
6) ¬s→ (¬p ∧ ¬q) (5, negac¸a˜o de uma disjunc¸a˜o)
7) ¬p ∧ ¬q (3, 6 e Modus Ponens)
8) ¬q (7, Simplificac¸a˜o Conjuntiva)
Dessa forma, fica mostrado que o argumento e´ va´lido.
3) Usando demonstrac¸a˜o direta, mostre que a soma de dois nu´meros ı´mpares
fornece como resultado um nu´mero par.
Soluc¸a˜o: Devemos mostrar que
m e n sa˜o ı´mpares ⇒ m+ n e´ par.
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• Como m e´ ı´mpar, m = 2k + 1 para algum inteiro k;
• Pelo mesmo motivo, n = 2j + 1 para algum inteiro j;
• Somando-se m e n, obtemos:
m+ n = (2k + 1) + (2j + 1) = 2k + 2j + 2 = 2× (k + j + 1);
• Como k+ j+1 e´ um inteiro, temos que m+n e´ um mu´ltiplo de 2, ou seja,
e´ par, c.q.d.
4) Usando a te´cnica da demonstrac¸a˜o por contradic¸a˜o, mostre que se n for um
inteiro tal que n2 na˜o e´ mu´ltiplo de 3, enta˜o n tambe´m na˜o e´ mu´ltiplo de 3.
Soluc¸a˜o: Devemos mostrar que
n inteiro tal que n2 na˜o e´ mu´ltiplo de 3︸ ︷︷ ︸
hipo´tese
⇒ n na˜o e´ mu´ltiplo de 3︸ ︷︷ ︸
conclusa˜o (tese)
• Negando-se a conclusa˜o, obtemos: n e´ mu´ltiplo de 3.
• Da´ı, temos que n = 3k para algum inteiro k.
• Elevando-se ao quadrado: n2 = (3k)2 = 9k2 = 3× (3k2) de onde obtemos
que n2 e´ um mu´ltiplo de 3.
• Mas isso entra em contradic¸a˜o com a hipo´tese que afirma que n2 na˜o e´
mu´ltiplo de 3.
• Dessa forma, fica demonstrada a proposic¸a˜o dada, c.q.d.
5) Considere a proposic¸a˜o:
“Se m e n sa˜o inteiros quadrados perfeitos, enta˜o m + n tambe´m
e´ um quadrado perfeito”.
Decida se essa proposic¸a˜o e´ um teorema. Se for, fac¸a sua demonstrac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Para mostrar que uma proposic¸a˜o na˜o e´ um teorema, basta apre-
sentar um contra-exemplo. Tentando, por exemplo, os quadrados perfeitos
m = 4 = 22 e n = 9 = 32, temos m + n = 4 + 9 = 13 que na˜o e´ um quadrado
perfeito. Obtivemos um contra-exemplo e, por causa disso, conclu´ımos que a
proposic¸a˜o na˜o e´ um teorema.
6) Usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o, mostre que para todo n inteiro positivo
temos que
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2
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Soluc¸a˜o:
• Para n = 1 a proposic¸a˜o se reduz a 1 = 12 e e´ verdadeira;
• Suponhamos a proposic¸a˜o verdadeira para n = k, ou seja, suponhamos que
1 + 3 + · · ·+ (2k − 1) = k2;
• Vamos investigar o que acontece quando n = k + 1:
1 + 3 + · · ·+ (2k − 1)︸ ︷︷ ︸
k2
+(2k+1) = (k+1)2 que e´ equivalente a k2+2k+1 =
(k + 1)2, isto e´, (k + 1)2 = (k + 1)2 que e´ verdadeira.
• Logo, pelo Princ´ıpio de Induc¸a˜o, a proposic¸a˜o e´ verdadeira para todo n
inteiro positivo.
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Apeˆndice C
Avaliac¸o˜es
1) Qual e´ o valor lo´gico das seguintes proposic¸o˜es? Justifique sua resposta.
a) Se 3 + 3 = 4, enta˜o 10 e´ um nu´mero par.
b) Se 10 e´ um nu´mero par, enta˜o 3 + 3 = 4.
2) Sendo p, q e r proposic¸o˜es tais que ((p ∧ q) ∧ ¬r) e´ verdadeira, determine o valor lo´gico de
((¬p ∨ q) ∧ r). Justifique sua resposta.
3) Escreva a negac¸a˜o de cada uma das seguintes sentenc¸as:
a) pi e´ irracional e
√
3 na˜o e´ um nu´mero inteiro.
b) 4 ≥ 9 ou −3 = 6.
4) Escreva a rec´ıproca e a contrapositiva da sentenc¸a:
“Se esta´ chovendo, enta˜o na˜o saio de casa”.
5) Construa a tabela-verdade de (¬p ∧ q)↔ (p ∨ ¬q), onde p e q sa˜o proposic¸o˜es.
p q ¬p ¬q ¬p ∧ q p ∨ ¬q (¬p ∧ q)↔ (p ∨ ¬q)
V V
V F
F V
F F
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1) Deˆ o nome da regra de infereˆncia utilizada em cada um dos seguintes argumentos:
a) “Se eu penso, enta˜o eu existo. Eu penso. Portanto, eu existo.”
Regra de infereˆncia:
b) “Se fizer muito calor, eu na˜o vou dormir bem. Eu na˜o dormi bem. Logo, fez muito calor”.
Regra de infereˆncia:
c) “Eu gosto de Matema´tica e gosto de Computac¸a˜o. Portanto, eu gosto de Computac¸a˜o”.
Regra de infereˆncia:
d) “Se eu for para Patos, enta˜o tambe´m vou para Pombal. Se eu for para Pombal, tambe´m
vou a Catole´ do Rocha. Logo, se eu for para Patos, tambe´m vou a Catole´ do Rocha”.
Regra de infereˆncia:
2) Verifique se o seguinte argumento e´ va´lido, justificando cada passagem citando a regra de
infereˆncia utilizada:
“Se eu ganhar muito dinheiro, enta˜o vou viajar. Se eu vou viajar, enta˜o vou
ter umas boas fe´rias. Eu na˜o vou ter umas boas fe´rias. Portanto, na˜o vou ganhar
muito dinheiro.”
3) Usando demonstrac¸a˜o direta, mostre que se m e´ par e n e´ ı´mpar, enta˜o 3m+5n−4 e´ ı´mpar.
4) Duas mangas foram compradas na feira e verificou-se que as duas juntam pesavam mais
de quatrocentos gramas. Usando a te´cnica da demonstrac¸a˜o por contradic¸a˜o, mostre que pelo
menos uma das mangas deveria pesar mais de duzentos gramas.
5) Usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, mostre que
2 + 4 + 6 + · · ·+ (2n) = n(n+ 1)
para todo inteiro positivo n.
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1) Deˆ o nome da regra de infereˆncia utilizada em cada um dos seguintes argumentos:
a) “Se eu passar em Ca´lculo I, enta˜o tambe´m vou passar em Ca´lculo Vetorial. Se eu passar
em Ca´lculo Vetorial, tambe´m vou passar em MEB 4. Logo, se eu passar em Ca´lculo I,
tambe´m vou passar em MEB 4”.
Regra de infereˆncia:
b) “Se chover, enta˜o eu vou ficar em casa. Eu na˜o fiquei em casa. Portanto, na˜o choveu.”
Regra de infereˆncia:
c) “Se eu for para Cabaceiras, enta˜o tambe´m vou para Taperoa´. Eu fui para Cabaceiras.
Logo, tambe´m fui para Taperoa´.”
Regra de infereˆncia:
d) “Eu gosto de cinema e gosto de acordar tarde. Portanto, eu gosto de cinema”.
Regra de infereˆncia:
2) Verifique se o seguinte argumento e´ va´lido, justificando cada passagem citando a regra de
infereˆncia utilizada:
“Se eu na˜o ganhar muito dinheiro, enta˜o na˜o vou comprar um carro. Se eu na˜o
comprar um carro, enta˜o na˜o vou viajar. Eu vou viajar. Portanto, eu vou ganhar
muito dinheiro.”
3) Usando demonstrac¸a˜o direta, mostre que se m e´ ı´mpar e n e´ par, enta˜o 3m+4n−2 e´ ı´mpar.
4) A soma das idades de duas amigas e´ igual a 30 anos. Usando a te´cnica da demonstrac¸a˜o
por contradic¸a˜o, mostre que uma das amigas deve ter no mı´nimo 15 anos.
5) Usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, mostre que
3 + 6 + 9 + · · ·+ (3n) = 3n(n+ 1)
2
para todo inteiro positivo n.
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Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] Antoˆnio Sales da Silva, Licenciatura em Matema´tica a Distaˆncia – Livro 2
– Argumentac¸a˜o em Matema´tica, Editora Universita´ria da UFPB, 2008.
[2] Ralph P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics – An Applied
Introduction, 5th. edition, Pearson–Addison Wesley, 2004.
[3] Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 6th. edition,
China Machine Press, WCB–McGraw-Hill, 2007.
[4] Edgard de Alencar Filho, Iniciac¸a˜o a` Lo´gica Matema´tica, Editora Nobel,
1975.
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