Aula3 FuncaoExponencial FuncaoLogaritmica (1)

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Introdução ao Cálculo Diferencial 
 
Função Exponencial 
Universidade Estácio de Sá 
Profª. Silviane G. Rodrigues 
silviane.estacio@gmail.com 
1 
Função Exponencial 
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O estudo da função exponencial requer alguns conceitos 
sobre potenciação. 
 
an = a.a.a. ... .a an expoente 
 
 
n, n  1 
 
Expoente inteiro não-negativo 
Por extensão da definição, fazemos: 
n=0  a0 = 1 
n = 1  a1 = a 
 
Exemplos 
1) 3° = 1 6) 00 = indeterminado 
2) (-2)° = 1 7) 09 = 0 
3) 51 = 5 
4) 
 
5) (-3)1 = -3 
 
n fatores 
base 
Função Exponencial 
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Expoente inteiro negativo 
Sendo a base a um número real não-nulo, a  IR* e o 
expoente n um número natural, temos: 
 
 a-n = , a  IR* e n  IN. 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) 5-2 = 4) -2-3 = 
 
2) (-3)-3 = 5) 0-1 = = não existe 
 
3) Zero elevado a expoente negativo não existe 
Função Exponencial 
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Propriedades das potências, cujo expoente é um 
número inteiro 
 
Sejam a, b  IR e m, n  IN, então valem as seguintes propriedades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) 43.4-2 = 43+(-2) = 41 = 4 4) 56 : 53 = 56-3 = 53 
2) (3. 5)2 = 32 . 52 5) 
3) (23)-2 = 23.(-2) = 2-6 
 6) 
 
Função Exponencial 
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Expoente racional 
Considerando , temos que: 
•Não existe raiz em IR quando a  e n é par 
•A raiz é um número negativo quando a  e n é ímpar. 
 
A expressão é uma potência cuja base a é um número real positivo, 
(a  ) e o expoente é um número racional, sendo m e n números 
inteiros e positivos. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
6 
Função Exponencial 
Propriedades das potências, cujo expoente é um 
número racional 
 
 
As mesmas propriedades estudadas em potências com expoente 
inteiro são válidas para potência com expoente racional. 
 
Exemplo: 
 
1) 
 
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Função Exponencial 
 
Equações exponenciais 
 
Algumas equações apresentam a incógnita como expoente, nesse 
caso, são denominadas equações exponenciais. 
 
Exemplo: 
 
1) 5x = 125 
2) 11(x-2) = 1 
3) 3x(x+2) = 27 
4) 52x – 4.5x + 3 = 0 
 
A resolução das equações exponenciais requer o conhecimento das 
propriedades das potências e a utilização de alguns artifícios. 
 
Vamos levar em conta 3 tipos de resolução: 
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Função Exponencial 
 
Equações exponenciais 
 
1º tipo: 
Resolver as equações exponenciais transformando-as em igualdades 
de mesma base. 
 
Ex: 
1) 5x = 125 
 5x = 53  x = 3 
 S = {3} 
 
2) 3x =  3x =  3x = 3-4  x = -4 
 
 S = {-4} 
 
3) 121(x-2) = 1  (112)x-2 = 1 
 substituímos 1 por 110 
 112(x-2) = 110 
 2(x – 2) = 0  2x – 4 = 0  x = 2 
 S= {2} 
Equações exponenciais 
 
4) 49x =  (72)x = 
 Transformando o radical em potencia de expoente fracionário 
 
  2x =  x = 
 
 
 S = { } 
 
 
9 
Função Exponencial 
 
Definição: 
Chamamos de função exponencial a toda função do tipo f(x) = ax, 
definida para todo x real com a > 0 e a ≠ 1. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
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Função Exponencial 
 
Gráfico da Função Exponencial 
Faremos o estudo gráfico da função exponencial em dois casos: 
 
1º caso: A base é um número real maior que 1: a>1 
 
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = 2x ou y = 2x (base 2) 
 
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Função Exponencial 
 
Gráfico da Função Exponencial 
 
2º caso: A base é um número real maior que 0 e menor que 1: 0<a< 1 
 
Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = ou y = (base ) 
 
 
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Função Exponencial 
 
Características da Função Exponencial 
Dos exemplos estudados, podemos tirar as seguintes conclusões: 
 
• A curva da função f(x) = ax passa pelo ponto (0, 1); 
• O seu domínio é o conjunto dos reais D =IR; 
• O seu conjunto imagem é Im = ; 
• A função é crescente para a base a maior que 1 (a > 1); 
• A função é decrescente para a base a maior que 0 e menor que 1 
(0<a<1); 
• O gráfico toma um dos aspectos da figura abaixo. 
 
 
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Função Exponencial 
Introdução ao Cálculo Diferencial 
 
Função Logarítmica 
Universidade Estácio de Sá 
Profª. Silviane G. Rodrigues 
silviane.estacio@gmail.com 
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Definição e Existência 
Consideremos dois números reais, a e b, positivos, com a ≠ 1, e a 
existência de um único número real c. 
Chamaremos logaritmo do número b na base a, o expoente c, de 
forma que ac = b. 
 
Em símbolos: 
 
 logab = c  a
c = b, b > 0 e 0 < a ≠ 1 
 
Nomenclatura 
 b é o logarítmando 
 a é a base 
 c é o logarítmo 
Função Logarítmica 
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Exemplos: 
 a) log216 = 4, pois se log216=x, então: 
 2x = 16  2x = 24  x = 4, portanto log216=4 
 
 b) log171 = 0, pois se log171=x, então: 
 17x = 1  17x = 170  x = 0, portanto log171= 0 
 
 c) log71/49 = -2, pois se log71/49=x, então: 
 7x = 1/49  7x = 7-2  x = -2, portanto log71/49=-2 
 
 d) log101000 = 3, pois se log101000=x, então: 
 10X = 1000  10x = 103  x = 10, portanto log101000=3 
 
 
Função Logarítmica 
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Condições de Existência 
Exemplos: 
 a) não existe log-327, pois não existe x real para que se tenha (-3)x = 27. 
 
 b) não existe log07, pois não existe x real para que se tenha 0
x = 7. 
 
 c) Não existe log13, pois não existe x real para que se tenha 1
x = 3. 
 
 d) não existe log2(-8), pois não existe x real para que se tenha 2
x = -8. 
 
 e) não existe log50, pois não existe x real para que se tenha 5
x = 0. 
Função Logarítmica 
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Função Logarítmica 
 Seja a > 0 e a ≠ 1, a função logarítmica é indicada por: 
 
 f(x) = logax 
 
Características: 
 Conjunto domínio: 
 D(f) = IR+ -{0} 
 Conjunto imagem: 
 Im(f) = IR 
Função Logarítmica 
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Características: 
 Gráfico 
 Quanto ao gráfico da função logarítmica y = logax temos dois casos a 
considerar: 
 
Caso 1: quando a>1, f será crescente Caso 2: quando 0<a<1 f será decrescente 
 
 
Função Logarítmica 
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Exemplos: 
1) Construir o gráfico cartesiano da função f(x) = log2 x (x > 0). Construímos a 
tabela dando valores inicialmente a y e depois calculamos o x. 
Função Logarítmica 
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Exemplos: 
2) Construir o gráfico cartesiano da função f(x) = log x (x > 0). Construímos a 
tabela dando valores inicialmente a y e depois calculamos o x. 
Função Logarítmica 
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Comparando as inversas 
As funções exponenciais e logarítmicas são funções inversas: 
 
Função Exponencial Função Logarítmica 
y = ax y = loga x 
Domínio = IR Domínio = IR+ - {0} 
Imagem = IR+ - {0} Imagem = IR 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que os gráficos de ax e loga x são simétricos em relação à bissetriz do 
 1º e 3º quadrantes. 
Função Logarítmica 
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