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<p>FUNÇÕES</p><p>1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Funções</p><p>A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la utilizando</p><p>uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). Chamamos x de domínio</p><p>e f(x) ou y de imagem da função.</p><p>A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com</p><p>elementos de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que:</p><p>f: x → y</p><p>Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do conjunto y. Essa</p><p>ocorrência é determinada por uma lei de formação.</p><p>A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável</p><p>dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o</p><p>valor de x.</p><p>Tipos de funções</p><p>As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber:</p><p>• Função injetora ou injetiva</p><p>Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x).</p><p>Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece,</p><p>dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um exemplo:</p><p>• Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8}</p><p>• Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {A, C, D}</p><p>• Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, C, D}</p><p>• Função Sobrejetora ou sobrejetiva</p><p>FUNÇÕES</p><p>2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Na função sobrejetiva, todos os elementos do domínio possue um elemento na imagem. Pode</p><p>acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Nesse caso, imagem e</p><p>contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos.</p><p>• Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-10, 2, 8, 25}</p><p>• Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C}</p><p>• Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C}</p><p>• Função bijetora ou bijetiva</p><p>Essa função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de x relaciona-se a um</p><p>único elemento de f(x). Nessa função, não acontece de dois números distintos possuírem a mesma</p><p>imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.</p><p>• Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-12, 0, 1, 5}</p><p>2</p><p>• Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C, D}</p><p>• Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C, D}</p><p>As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos duas</p><p>coordenadas, que são x e y. O plano desenhado é bidimensional. A coordenada x é chamada de</p><p>abscissa e a y, de ordenada. Juntas em funções, elas formam leis de formação. Veja a imagem do</p><p>gráfico do eixo x e y:</p><p>FUNÇÕES</p><p>3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Do último ano do Fundamental e ao longo do Ensino Médio, geralmente estudamos doze funções,</p><p>que são:</p><p>1 – Função constante;</p><p>2 – Função par;</p><p>3 – Função ímpar;</p><p>4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau;</p><p>5 – Função Linear;</p><p>6 – Função crescente;</p><p>7 – Função decrescente;</p><p>8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau;</p><p>9 – Função modular;</p><p>10 – Função exponencial;</p><p>11 – Função logarítmica;</p><p>12 – Funções trigonométricas;</p><p>13 – Função raiz.</p><p>Mostraremos agora o gráfico e a fórmula geral de cada uma das funções listadas acima:</p><p>1 - Função constante</p><p>Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y).</p><p>Fórmula geral da função constante:</p><p>f(x) = c</p><p>x = Domínio</p><p>f(x) = Imagem</p><p>c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais.</p><p>Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2</p><p>2 – Função Par</p><p>A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como</p><p>sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se</p><p>perfeitamente.</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-reais.htm</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-par-funcao-impar.htm</p><p>FUNÇÕES</p><p>4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Fórmula geral da função par:</p><p>f(x) = f(- x)</p><p>x = domínio</p><p>f(x) = imagem</p><p>- x = simétrico do domínio</p><p>Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x2</p><p>3 – Função ímpar</p><p>A função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes</p><p>coincidem-se perfeitamente) em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x.</p><p>Fórmula geral da função ímpar</p><p>f(– x) = – f(x)</p><p>– x = domínio</p><p>f(– x) = imagem</p><p>- f(x) = simétrico da imagem</p><p>Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x</p><p>4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau</p><p>Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável</p><p>x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. Além</p><p>disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b.</p><p>Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-par-funcao-impar.htm</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-de-primeiro-grau.htm</p><p>FUNÇÕES</p><p>5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>f(x) = ax + b</p><p>x = domínio</p><p>f(x) = imagem</p><p>a = coeficiente</p><p>b = coeficiente</p><p>Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x + 1</p><p>5 – Função Linear</p><p>A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). Trata-se de um caso</p><p>particular, pois b sempre será igual a zero.</p><p>Fórmula geral da função linear</p><p>f(x) = ax</p><p>x = domínio</p><p>f(x) = imagem</p><p>a = coeficiente</p><p>Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = -x/3</p><p>6 – Função crescente</p><p>A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e</p><p>maior que um (a > 1).</p><p>Fórmula geral da função crescente</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-linear.htm</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-crescente-funcao-decrescente.htm</p><p>FUNÇÕES</p><p>6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>f(x) = + ax + b</p><p>x = domínio</p><p>f(x) = imagem</p><p>a = coeficiente sempre positivo</p><p>b = coeficiente</p><p>Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x</p><p>7 – Função decrescente</p><p>Na função decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau (f(x) = ax + b) é sempre negativo.</p><p>Fórmula geral da função decrescente</p><p>f(x) = - ax + b</p><p>x= domínio/ incógnita</p><p>f(x) = imagem</p><p>- a = coeficiente sempre negativo</p><p>b = coeficiente</p><p>Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = - 5x</p><p>8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau</p><p>Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a</p><p>variável x (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será</p><p>uma parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente a. Sendo assim, se a é</p><p>positivo, a concavidade é para cima e, se for negativo, é para baixo.</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-segundo-grau.htm</p><p>http://www.brasilescola.com/matematica/concavidade-uma-parabola.htm</p><p>FUNÇÕES</p><p>7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau</p><p>f(x) = ax2 + bx + c</p><p>x = domínio</p><p>f(x) = imagem</p><p>a = coeficiente que determina a concavidade da parábola.</p><p>b = coeficiente.</p><p>c = coeficiente.</p><p>Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = x2 – 6x + 5</p><p>9 – Função modular</p><p>A função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é</p><p>caracterizado por (| |). Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo</p><p>quanto positivo. Exemplo: |x| = + x ou |x| = - x.</p><p>Fórmula geral da função modular</p><p>f(x) = x, se x≥ 0</p><p>ou</p><p>f(x) = – x, se x</p><p>exponencial quando a variável x estiver no expoente em relação à</p><p>base de um termo numérico ou algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função</p><p>exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, o gráfico da função exponencial</p><p>é decrescente.</p><p>Fórmula geral da função exponencial</p><p>f(x) = ax</p><p>a > 1 ou 0</p><p>é f -1 (x) = Ö x</p><p>b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - Ö x</p><p>c) não é inversível</p><p>d) é injetora</p><p>e) é bijetora</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora,</p><p>a função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos</p><p>distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo,</p><p>f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em consequência, não é</p><p>inversível.</p><p>Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é</p><p>o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que</p><p>é</p><p>igual a R. A alternativa correta é a letra C.</p><p>2 - FUNÇÃO COMPOSTA</p><p>Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável</p><p>independente x , por uma função.</p><p>Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .</p><p>Veja o esquema a seguir:</p><p>Obs: atente para o fato de que fog ¹ gof , ou seja, a operação " composição de funções " não é</p><p>comutativa .</p><p>Exemplo:</p><p>Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).</p><p>Teremos:</p><p>gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15</p><p>https://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/funcoes_10.gif</p><p>https://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/funcoes_11.gif</p><p>FUNÇÕES</p><p>16 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3</p><p>Observe que fog ¹ gof .</p><p>Exercícios resolvidos:</p><p>1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade</p><p>gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:</p><p>a) b(1 - c) = d(1 - a)</p><p>b) a(1 - b) = d(1 - c)</p><p>c) ab = cd</p><p>d) ad = bc</p><p>e) a = bc</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Teremos:</p><p>fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b \ fog(x) = acx + ad + b</p><p>gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d \ gof(x) = cax + cb + d</p><p>Como o problema exige que gof = fog, fica:</p><p>acx + ad + b = cax + cb + d</p><p>Simplificando, vem:</p><p>ad + b = cb + d</p><p>ad - d = cb - b \ d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1),</p><p>o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A.</p><p>2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:</p><p>a) 2 - 2x</p><p>b) 3 - 3x</p><p>c) 2x - 5</p><p>d) 5 - 2x</p><p>e) uma função par.</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1</p><p>Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1</p><p>Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x</p><p>= 2 - u.</p><p>Substituindo, fica:</p><p>f(u) = 2(2 - u) + 1 \ f(u) = 5 - 2u</p><p>Portanto, f(x) = 5 - 2x ,</p><p>o que nos leva à alternativa D.</p><p>Função Exponencial E Logarítmica</p><p>Definição</p><p>O logaritmo de "a" na base "b" é o expoente "c" que devemos dar a "b" para que este fique igual ao</p><p>número "a". Nestas condições dizemos:</p><p>logba = c bc = a</p><p>b > 0</p><p>b 1</p><p>a > 0</p><p>FUNÇÕES</p><p>17 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Exemplo</p><p>pois 26 = 64</p><p>Obs.</p><p>I - Em as condições de existência devem ser:</p><p>9 - x > 0 x 0 x > 3</p><p>x - 3 1 x 4</p><p>II - Quando não se menciona a base, esta é o número 10.</p><p>Exemplo</p><p>Característica e Mantissa</p><p>Em logx = c + m, onde c Z e, é denominado característica, e m mantissa vem do latim,</p><p>significando excesso.</p><p>Exemplos</p><p>log2 = 0,301 onde c = 0 e m = 0,301</p><p>log20 = 1,301 onde c = 1 e m = 0,301.</p><p>log 200 = 2,301 onde c = 2 e m = 0,301.</p><p>Assim, se x 1, a característica é a quantidade de algarismos da parte inteira de x, menos 1.</p><p>log0,2 = -1 + 0,301 = onde c = -1 e m = 0,301.</p><p>log0,02 = -2 + 0,301 = onde c = - 2 e m = 0,301.</p><p>Assim, se 0 1, a função será estritamente crescente, e portanto, uma desigualdade entre os dois</p><p>elementos do domínio, conservará o seu sentido entre os elementos correspondentes do conjunto</p><p>imagem. Caso contrário, ou seja, se 0 10x = 127</p><p>http://www.blogviche.com.br/2006/06/25/caracteristica-mantissa-e-tabela-logaritmica/</p><p>FUNÇÕES</p><p>20 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Claramente se observa que não existe nenhum x inteiro que satisfaça essa igualdade. No entanto,</p><p>podemos inferir facilmente que:</p><p>102 2 10x = 0,0127</p><p>Ou seja:</p><p>0,01 10-2 -2</p><p>podemos definir a</p><p>característica como o maior número inteiro que não supera o logaritmo decimal.</p><p>Dos exemplos, podemos, então, estabelecer as duas seguintes regras para determinar a</p><p>característica de log b:</p><p>Regra 1:</p><p>Se b > 1, a característica de log b é o número de algarismos que antecedem a vírgula subtraído de</p><p>uma unidade.</p><p>Exemplos:</p><p>1. log 127 => c = 3 – 1 = 2</p><p>2. log 12,756 => c = 2 – 1 = 1</p><p>3. log 3756,12 => c = 4 – 1 = 3</p><p>Regra 2:</p><p>Se 0 c = -2</p><p>2. log 0,00056 => c = -4</p><p>3. log 0,83 => c = -1</p><p>Fica claro dos fatos anteriores que o logaritmo decimal de um número b > 0 pode ser escrito como:</p><p>log b = c + m</p><p>onde c é um número inteiro (a característica) e m (a mantissa) um número decimal maior ou igual a</p><p>zero e menor do que 1 (0 = 1, como a função é crescente</p><p>logaA > logaB então A > B</p><p>as desigualdades possuem o mesmo sentido</p><p>Exemplo</p><p>Sendo 0 logaB então A am:</p><p>1.º caso – Se a > 1, então n > m (se as bases de duas potências são iguais e maiores que 1, é maior</p><p>a potência de maior expoente, ou seja, a desigualdade é conservada)</p><p>1.° caso: a > 1</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p>