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Introdução ao Cálculo Diferencial Função Exponencial Universidade Estácio de Sá Profª. Silviane G. Rodrigues silviane.estacio@gmail.com 1 Função Exponencial 2 O estudo da função exponencial requer alguns conceitos sobre potenciação. an = a.a.a. ... .a an expoente n, n 1 Expoente inteiro não-negativo Por extensão da definição, fazemos: n=0 a0 = 1 n = 1 a1 = a Exemplos 1) 3° = 1 6) 00 = indeterminado 2) (-2)° = 1 7) 09 = 0 3) 51 = 5 4) 5) (-3)1 = -3 n fatores base Função Exponencial 3 Expoente inteiro negativo Sendo a base a um número real não-nulo, a IR* e o expoente n um número natural, temos: a-n = , a IR* e n IN. Exemplos: 1) 5-2 = 4) -2-3 = 2) (-3)-3 = 5) 0-1 = = não existe 3) Zero elevado a expoente negativo não existe Função Exponencial 4 Propriedades das potências, cujo expoente é um número inteiro Sejam a, b IR e m, n IN, então valem as seguintes propriedades: Exemplos: 1) 43.4-2 = 43+(-2) = 41 = 4 4) 56 : 53 = 56-3 = 53 2) (3. 5)2 = 32 . 52 5) 3) (23)-2 = 23.(-2) = 2-6 6) Função Exponencial 5 Expoente racional Considerando , temos que: •Não existe raiz em IR quando a e n é par •A raiz é um número negativo quando a e n é ímpar. A expressão é uma potência cuja base a é um número real positivo, (a ) e o expoente é um número racional, sendo m e n números inteiros e positivos. Exemplos: 6 Função Exponencial Propriedades das potências, cujo expoente é um número racional As mesmas propriedades estudadas em potências com expoente inteiro são válidas para potência com expoente racional. Exemplo: 1) 7 Função Exponencial Equações exponenciais Algumas equações apresentam a incógnita como expoente, nesse caso, são denominadas equações exponenciais. Exemplo: 1) 5x = 125 2) 11(x-2) = 1 3) 3x(x+2) = 27 4) 52x – 4.5x + 3 = 0 A resolução das equações exponenciais requer o conhecimento das propriedades das potências e a utilização de alguns artifícios. Vamos levar em conta 3 tipos de resolução: 8 Função Exponencial Equações exponenciais 1º tipo: Resolver as equações exponenciais transformando-as em igualdades de mesma base. Ex: 1) 5x = 125 5x = 53 x = 3 S = {3} 2) 3x = 3x = 3x = 3-4 x = -4 S = {-4} 3) 121(x-2) = 1 (112)x-2 = 1 substituímos 1 por 110 112(x-2) = 110 2(x – 2) = 0 2x – 4 = 0 x = 2 S= {2} Equações exponenciais 4) 49x = (72)x = Transformando o radical em potencia de expoente fracionário 2x = x = S = { } 9 Função Exponencial Definição: Chamamos de função exponencial a toda função do tipo f(x) = ax, definida para todo x real com a > 0 e a ≠ 1. Exemplos: 10 Função Exponencial Gráfico da Função Exponencial Faremos o estudo gráfico da função exponencial em dois casos: 1º caso: A base é um número real maior que 1: a>1 Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = 2x ou y = 2x (base 2) 11 Função Exponencial Gráfico da Função Exponencial 2º caso: A base é um número real maior que 0 e menor que 1: 0<a< 1 Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = ou y = (base ) 12 Função Exponencial Características da Função Exponencial Dos exemplos estudados, podemos tirar as seguintes conclusões: • A curva da função f(x) = ax passa pelo ponto (0, 1); • O seu domínio é o conjunto dos reais D =IR; • O seu conjunto imagem é Im = ; • A função é crescente para a base a maior que 1 (a > 1); • A função é decrescente para a base a maior que 0 e menor que 1 (0<a<1); • O gráfico toma um dos aspectos da figura abaixo. 13 Função Exponencial Introdução ao Cálculo Diferencial Função Logarítmica Universidade Estácio de Sá Profª. Silviane G. Rodrigues silviane.estacio@gmail.com 14 Definição e Existência Consideremos dois números reais, a e b, positivos, com a ≠ 1, e a existência de um único número real c. Chamaremos logaritmo do número b na base a, o expoente c, de forma que ac = b. Em símbolos: logab = c a c = b, b > 0 e 0 < a ≠ 1 Nomenclatura b é o logarítmando a é a base c é o logarítmo Função Logarítmica 15 Exemplos: a) log216 = 4, pois se log216=x, então: 2x = 16 2x = 24 x = 4, portanto log216=4 b) log171 = 0, pois se log171=x, então: 17x = 1 17x = 170 x = 0, portanto log171= 0 c) log71/49 = -2, pois se log71/49=x, então: 7x = 1/49 7x = 7-2 x = -2, portanto log71/49=-2 d) log101000 = 3, pois se log101000=x, então: 10X = 1000 10x = 103 x = 10, portanto log101000=3 Função Logarítmica 16 Condições de Existência Exemplos: a) não existe log-327, pois não existe x real para que se tenha (-3)x = 27. b) não existe log07, pois não existe x real para que se tenha 0 x = 7. c) Não existe log13, pois não existe x real para que se tenha 1 x = 3. d) não existe log2(-8), pois não existe x real para que se tenha 2 x = -8. e) não existe log50, pois não existe x real para que se tenha 5 x = 0. Função Logarítmica 17 Função Logarítmica Seja a > 0 e a ≠ 1, a função logarítmica é indicada por: f(x) = logax Características: Conjunto domínio: D(f) = IR+ -{0} Conjunto imagem: Im(f) = IR Função Logarítmica 18 Características: Gráfico Quanto ao gráfico da função logarítmica y = logax temos dois casos a considerar: Caso 1: quando a>1, f será crescente Caso 2: quando 0<a<1 f será decrescente Função Logarítmica 19 Exemplos: 1) Construir o gráfico cartesiano da função f(x) = log2 x (x > 0). Construímos a tabela dando valores inicialmente a y e depois calculamos o x. Função Logarítmica 20 Exemplos: 2) Construir o gráfico cartesiano da função f(x) = log x (x > 0). Construímos a tabela dando valores inicialmente a y e depois calculamos o x. Função Logarítmica 21 Comparando as inversas As funções exponenciais e logarítmicas são funções inversas: Função Exponencial Função Logarítmica y = ax y = loga x Domínio = IR Domínio = IR+ - {0} Imagem = IR+ - {0} Imagem = IR Observe que os gráficos de ax e loga x são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Função Logarítmica 22
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