2aListaMtmBasFisGer-2014-1

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FSC 5911 - To´picos de Matema´tica Ba´sica para F´ısica Geral - 2a Lista de Exerc´ıcios
Trigonometria e Vetores - Marc¸o/2014 - Prof. Marcelo H. R. Tragtenberg
1) Dado um triaˆngulo retaˆngulo de lados 30, 40 e 50, com ve´rtices opostos B, C e A, respectiva-
mente, calcule:
a) sen Bˆ
b) cos Bˆ
c) tg Bˆ
d) cotg Bˆ
e) sen Cˆ
f) cos Cˆ
g) tg Cˆ
h) cotg Cˆ
2) Calcule as razo˜es trigonome´tricas seno, cosseno, tangente e cotangente dos aˆngulos agudos do
triaˆngulo retaˆngulo em que um dos catetos mede 3 e a hipotenusa 2
√
3.
3) Calcule cosseno, tangente e cotangente do aˆngulo Bˆ de um triaˆngulo retaˆngulo, quando:
a) sen Bˆ = 3/5
b) sen Bˆ = 2/3
c) sen Bˆ = 0,57
d) sen Bˆ = 0,95
4) Sabendo que Bˆ e Cˆ sa˜o complementares, calcule sen Cˆ, tg Cˆ e cotg Cˆ, quando:
a) sen Bˆ = 0,34
b) sen Bˆ = 4/5
5) Exprima em radianos:
a) 300o
b) 315o
c) 270o
d) 140o
e) −45o
6) Exprima em graus:
a) pi/4
b) pi/3
c) −pi/6
d) 2pi/3
e) 5pi/6
7) Um arco de circunfereˆncia mede 35 cm e o raio dessa circunfereˆncia mede 10 cm. Calcule a
medida do arco em radianos.
8) Sobre uma circunfereˆncia de raio 10 cm, marca-se um arco
_
AB tal que a corda AB mede 10
√
2
cm. Calcule a medida do arco em radianos.
9) Utilizando a simetria e sabendo que cos pi6 =
√
3
2 , calcule o valor do cosseno de
5pi
6 ,
7pi
6 e
11pi
6 .
10) Determine o sinal de y = sen225o + cos 225o.
11) Sabendo que tg pi4 = 1 e tg
3pi
4 = −1, deˆ o valor de tg 7pi4 e tg 5pi4 .
12) Localize os arcos no c´ırculo trigonome´trico e coloque me ordem crescente os nu´meros tg60o,
tg120o, tg210o e tg330o.
13) Calcule as expresso˜es:
a) cotg pi3 + cotg
pi
4 + cotg
pi
6
b) 35cotg
5pi
3 − 67cotg7pi6− 23sen3pi2 + 45 cos 5pi4
14) Quais sa˜o os valores da secante de 2pi/3, 4pi/3 e 5pi/3, sabendo que secpi3 = 2?
15) Localize os arcos no c´ırculo trigonome´trico e coloque em ordem crescente os nu´meros
cossec60o, cossec150o, cossec240o e cossec300o.
16) Sabendo que cossecx = −2524 e pi < x < 3pi2 , calcule sen x, cos x, tg x e cotg x.
17) Sabendo que sen x= 1/3 e 0 < x < pi/2, calcule o valor de
y =
1
cossecx+ cotgx
+
1
cossecx− cotgx
18) Calcule sen x e cos x, sabendo que 5secx− 3tg2x = 1.
19) Calcule o valor da expressa˜o sen105o − cos75o.
20) Sendo senα = 2/3, com 0 < α < pi/2, calcule:
a) sen(pi/2 + 2α)
b) cos(pi/4 + α)
21) Se cos x = 3/5, e 3pi/2 < x < 2pi, calcule sen 3x.
22) Sabendo que sen a = 3/5 e cos a = 4/5, calcule sen 2a + cos 2a. 210
23) Sejam os vetores ~A, ~B, de mo´dulos 6 e 3. O vetor ~A aponta no sentido sudeste e o ~B aponta
no sentido sudoeste. Calcule pelo me´todo gra´fico:
a) o vetor ~C = ~A+ 2 ~B;
b) o vetor ~D = 2 ~A− 3 ~B.
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24) Um jogador de golfe da´ treˆs tacadas para colocar a bola num buraco. A primeira tacada desloca
a bola 6,0 m para o Norte, a segunda desloca a bola 2,0 m para o Leste e a terceira desloca
a bola 2,0 m para o Nordeste. Determine o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do deslocamento
equivalente que poderia ser obtido com uma u´nica tacada.
25) Uma pessoa sai de um ponto a 3m a` direita da origem. Ela anda 15 m no sentido crescente
do eixo x, depois 25 m no sentido descrescente do eixo x. Qual a posic¸a˜o final da pessoa?
26) Uma part´ıcula sofre treˆs deslocamentos sucessivos sobre um plano: 2,0 m de Norte para Sul,
4,0 m de Oeste para Leste e 12,0 m numa direc¸a˜o Nordeste que forma um aˆngulo de 60,0
com o Leste e de 30,0 com o Norte. Escolha o eixo Ox apontando no sentido Oeste-Leste e
o eixo Oy no sentido Sul-Norte. Fac¸a a origem O coincidir com a origem dos deslocamentos.
Determine: (a) os componentes escalares de cada deslocamento, (b) os componentes escalares
do deslocamento ~R resultante, (c) o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do deslocamento resultante.
27) Uma pessoa se desloca 2km a partir da origem, numa direc¸a˜o entre o Norte e o Oeste, que
forma 30o com a direc¸a˜o Norte e 60o com a direc¸a˜o Oeste. Calcule as componentes cartesianas
desse deslocamento, explicitando os eixos x e y.
28) Dois vetores sa˜o dados por ~a = 3ˆi − 2jˆ − kˆ e ~b = 3~i − ~j − 2~k. Determine o vetor 3~a − 2~b,
atrave´s de suas componentes cartesianas.
29) Treˆs forc¸as agem sobre um objeto, Os mo´dulos das forc¸as sa˜o 6 N, 4 N e 3 N, respectivamente.
A primeira forc¸a forma 60o com a direc¸a˜o Norte e 30o com a direc¸a˜o Leste, a segunda forc¸a
forma 30o com a direc¸a˜o Leste e 60o com a direc¸a˜o Sul e a terceira forc¸a aponta na direc¸a˜o
do Leste para o Oeste. Calcule a forc¸a resultante sobre o objeto.
30) Mostre que, para qualquer vetor ~a, ~a.~a = a2.
31) Sejam os vetores ~a = 5ˆi+ 4jˆ − 6kˆ, ~b = −2ˆi+ 2jˆ + 3kˆ e ~c = 4ˆi+ 3jˆ + 2kˆ e seja ~r = ~a−~b+ ~c.
Determine
a) as componentes cartesianas e o mo´dulo de ~r;
b) o aˆngulo de ~r com o eixo z.
32) O vetor ~a esta´ no plano yz a 63, 0o do eixo +Oy, com uma componente z positiva e tem
mo´dulo 3,20 unidades. O vetor ~b est no plano xz a 48, 0o do eixo +Ox, com uma componente
z positiva e tem mo´dulo de 1,40 unidades. Ache
a) ~a.~b;
b) o aˆngulo entre ~a e ~b.
RESPOSTAS
1. (a) 3/5 (b) 4/5 (c) 3/4 (d) 4/3 (e) 4/5 (f) 3/5 (g) 4/3 (h) 3/4
2. Os catetos teˆm medidas 3 e
√
3 e sa˜o opostos aos ve´rtices Bˆ e Cˆ, respectivamente.
Enta˜o, senBˆ =
√
3/2, cosBˆ = 1/2, tgBˆ =
√
3, cotgBˆ = 1/
√
3;
senCˆ = 1/2, cosCˆ =
√
3/2, tgCˆ = 1/
√
3, cotgCˆ =
√
3
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3. (a) 4/5, 3/4, 4/3 (b)
√
5/3, 2/
√
5,
√
5/2 (c) 0,82; 0,69; 1,43 (d) 0,31; 3,06; 0,32
4. (a) 0,94;2,76;0,36 (b) 3/5;3/4;4/3
5. (a) 5pi/3 (b) 7pi/4 (c) 3pi/2 (d) 7pi/9 (e) −pi/4
6. (a) 45o (b) 60o (c) −30o (d) 120o (e) 150o
7. 3,5 rad
8. pi/2 rad
9. −√3/2, −√3/2, √3/2
10. negativo
11. -1; 1
12. tg120 < tg330 < tg210 < tg60
13. (a)
3 + 4
√
3
3
(b)
42
√
2− 111√3 + 70
105
14. sec
2pi
3
= sec
4pi
3
= −2; sec5pi
3
= 2
15. cossec225 < cossec300 < cossec60 < cossec150
16. senx = −24
25
; cosx = − 7
25
; tgx =
24
7
; cotgx =
7
24
17. y=6
18. cosx = 1/2 ; senx = ±
√
3
2
19.
√
2/2
20. (a) 1/9; (b)
√
10− 2√2
6
21. -44/125
22. 31/25
24. mo´dulo: 8,2m; direc¸a˜o: forma aˆngulo de 65o com o Leste e 25o com o Norte.
25. posic¸a˜o -7m.
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26. (a) ax = 0; ay = −2, 0m; bx = 4, 0m; by = 0; cx = 6, 0m; cy = 10, 4m
(b) Rx = 10m; Ry = 8, 4m
(c) R=13,1m; direc¸a˜o: 40o com o eixo +Ox, no sentido anti-hora´rio.
27. eixo x: Oeste-Leste; eixo y: Sul-Norte; dx = −1km;dy =
√
3km.
28. 3ˆi− 4jˆ + kˆ
29. ~R = [(5
√
3− 3)ˆi+ jˆ] N.
30. ~a.~a = |~a|.|~a|cos0 = a.a.1 = a2
31. (a) ~r = 11~i+ 5~j − 7~k; r = 14
(b) 120o
32. (a) 2,97 unidades2
(b) 48, 5o
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