AULA UNIDADE II unip

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Unidade II
MATEMÁTICA APLICADA
Profa. Ana Carolina Bueno
Receita total
 Quantia total que a firma recebe pela 
venda de uma quantidade de produtos.
 Suponha que x unidades de um produto 
sejam vendidas. A receita de vendas 
depende de x.
 Função receita (R): relaciona receita com 
quantidade.
 O preço unitário (p) varia com a 
quantidade demandada, sendo p = f(x):
 R(x) = p x R(x) = p  x 
Exemplo de receita total
 R = 3 · q, 0  q  6. q R
0 0
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
Função receita (quando p não é 
fixo)
 Quando o preço de um produto não é 
fixo, a receita total pode variar, pois se o 
preço muda, a procura pelo produto 
(demanda = quantidade “q”) também se 
altera.
 Função receita total associada à venda 
do produto.
 RT = P · D
 Subir preços não garante aumento da 
receita total.receita total.
Exemplo – função receita de sorvete
 RT = P · D
 Suponha que a demanda de mercado de 
um determinado sabor de sorvete seja 
dada por:
 D = 40 – 5P em que 0 < P < 8 e 0 < D < 40.D 40 5P em que 0 P 8 e 0 D 40.
 Vamos estabelecer a expressão da 
receita total RT = P · D somente em 
função da variável D: qual deverá ser o 
valor de D (quantidade de procura) que 
torna a receita total (RT) máxima???torna a receita total (RT) máxima???
Exemplo – função receita de sorvete
 D = 40 – 5P em que 0 < P < 8 e 0 < D < 40
 Subir preços não garante aumento da 
receita total.
P D RT = P · D
0 40 – 5 · 0 = 40 unidades 0 · 40 = R$ 0,00
2 40 – 5 · 2 = 30 unidades 2 · 30 = R$ 60,00
4 40 – 5 · 4 = 20 unidades 4 · 20 = R$ 80,00
6 40 – 5 · 6 = 10 unidades 6 · 10 = R$ 60,00$ ,
8 40 – 5 · 8 = 0 unidade 8 · 0 = R$ 0,00
Outro exemplo de função receita –
meia infantil 
 Dada a demanda de mercado de meia 
infantil, a variação de preço (primeira 
coluna) altera a receita total.
P D RT = P.D
1 20 2 1 18 id d 1 18 R$ 18 001 20 – 2 · 1 = 18 unidades 1 · 18 = R$ 18,00
3 20 – 2 · 3 = 14 unidades 3 · 14 = R$ 42,00
5 20 – 2 · 5 = 10 unidades 5 · 10 = R$ 50,00
7 20 – 2 · 7 = 6 unidades 7 · 6 = R$ 42,00
9 20 – 2 · 9 = 2 unidades 9 · 2 = R$ 18,00
Maximizar a receita total – caderno 
Considerando a f nção demanda de Considerando a função demanda de 
caderno D = 48 – 2P, 
 estabelecer a expressão da receita total 
RT = P · D somente em função da 
variável D:
1. “Isolando” P em função de D:
 D = 48 – 2P
 D + 2P = 48
 2P = 48 – D
 P = (48 – D) / 2 = 48/2 – D/2
 P = 24 – 0,5D
Maximizar a receita total – caderno 
2. “Substituindo” em RT = P · D:
 RT = (24 – 0,5D) · D
 RT = 24D – 0,5D²
 Qual deverá ser o valor de D (quantidade 
de procura) que tornará a receita totalde procura) que tornará a receita total 
(RT) máxima?
 RT = 24D – 0,5D²
1. Considerar RT = 0.
2. Receita total (RT) máxima em função da ( ) ç
procura (D) por determinado produto.
3. Preço correspondente à demanda de 24 
unidades do produto.
Maximizar a receita total – caderno 
1. Considerar RT = 0:
 24D – 0,5D² = 0 (equação do 2º grau)
 – 0,5D² + 24D = 0 (a = – 0,5 b = 24, c = 0)
  = b² – 4 · a · c
  = (24)² – 4 · (- 0,5) · (0) = 576 + 0 = 576
1
2424
)50(2
57624
2



D
a
bD
 D’ = 0 D” = 48
1)5,0(2 
Maximizar a receita total – caderno 
2. Receita total (RT) máxima em função da 
procura (D) por determinado produto:
 D = –b/2a = – 24/(2 · –0,5) = 24 unidades
 RT = 24D – 0,5D² = 24 · 24 – 0,5 · 24² = 576 
– 0,5 · 576 = 2880,5 576 288
3. Preço correspondente à demanda de 24 
unidades do produto:
 P = 24 – 0,5D
 P = 24 – 0,5 · (24)
 P = 24 – 12 = R$ 12,00
Maximizar a receita total – caderno 
 Existirá, ao preço (P) de R$ 12,00, uma 
demanda (D) de 24 unidades do produto para 
que a receita total (RT) de R$ 288,00, nesse 
caso, seja a maior possível.
Interatividade
Considerando D = 24 – 2P, determine a 
expressão da receita total RT = P · D 
(somente em função da variável D), além do 
valor de D (Demanda) que torna a receita 
total (RT) máxima.
a) RT = 24D – D² e D = 24 unidades.
b) RT = 12D + 5D² e D = 17 unidades.
c) RT = 0,5D + 24D² e D = 5 unidades.
d) RT = 5D – 12D² e D = 20 unidades.
e) RT = 12D – 0,5D² e D = 12 unidades.
Custo total
 A função custo está relacionada aos 
gastos efetuados para produção ou 
aquisição de alguma mercadoria ou 
produto, tais como: aluguel, transporte, 
salário, matéria-prima, impostos etc. 
 Quantia que a empresa gasta pagando
pelos insumos de produção.
 CT = CF + CV, 
 em que CT é o custo total, CF é o custo 
fixo e CV é o custo variável.fixo e CV é o custo variável.
Custos
 Custo fixo – não varia com a quantidade 
produzida.
 Custo variável – custos que variam com a 
quantidade produzida (custo unitário x 
quantidade)
Custo
Total 
(R$)
Custo
Fixo
(R$)
Custos
Variáveis
(R$)
30 30 0
40 30 10
50 30 20
60 30 30
70 30 40
80 30 50
Custo variável
 Custos (ou despesas) variáveis: valor total 
aumenta ou diminui, direta e 
proporcionalmente, com as flutuações 
ocorridas na produção e vendas. 
Ex: consumo de matérias-primas e de outros 
materiais de produção, energia industrial, 
materiais de embalagem, fretes, comissões 
sobre vendas, impostos e contribuições 
calculados sobre o faturamento etc. 
Custo fixo
 Custos (ou despesas) fixos.
 São os que permanecem constantes 
dentro de certo intervalo de tempo, 
independentemente das variações 
ocorridas no volume de produção e 
vendas durante esse períodovendas durante esse período. 
 Ex: salários e encargos sociais dos 
supervisores e de outros funcionários da 
área industrial, despesas com 
depreciação calculadas linearmente, 
despesas financeiras, leasing, aluguéis, 
i t di l il i ã timposto predial, iluminação etc.
Curva de custo total
Custo
Total
$80
70
60
Curva de
Custo Total
60
50
40
30
20
10
Quantidade Produzida0 20 40 1401201008060
Custo médio
 O custo médio "CM(x)" é o quociente entre 
o custo total "C(x)" e a quantidade "x" 
produzida, e representa o custo de cada 
unidade produzida.
 Chama-se custo médio de produção ou 
custo unitário (e indica-se por Cm) é o 
custo total dividido pela quantidade, isto é:
x
xCxC tm
)()( 
Exemplo de custo – chinelos 
O custo variável médio (custo unitário) de 
produção de chinelos é de R$ 12,00, e o 
custo fixo associado à produção é de R$ 
60,00 para quantidades variáveis na faixa 
de 0 a 100 unidades. Se o preço de venda, 
na mesma faixa é de R$ 20 00/unidadena mesma faixa, é de R$ 20,00/unidade, 
identifique:
a) A função custo total (CT).
b) A representação gráfica.
c) A função receita total (RT).c) A função receita total (RT).
d) O custo total (CT) associado a uma 
produção de 75 unidades desse bem.
Exemplo – chinelos 
O custo variável médio (custo unitário) de 
produção de chinelos é de R$ 12,00, e o 
custo fixo associado à produção é de R$ 
60,00 para quantidades variáveis na faixa 
de 0 a 100 unidades. Se o preço de venda, 
na mesma faixa é de R$ 20 00/unidadena mesma faixa, é de R$ 20,00/unidade, 
identifique:
a) A função custo total (CT):
 CT = CF + CV
 CT = 60 + 12 · qCT 60 12 q
Exemplo – chinelos 
b) A representação gráfica:
q CT = 60 + 12 · q
0 60 + 12 · 0 = 60
25 60 + 12 · 25 = 360
50 60 + 12 · 50 = 660
75 60 + 12 · 75 = 960
100 60 + 12 · 100 = 1.260
Exemplo – chinelos 
c) A função receita total (RT):
 RT = p · q
 RT = 20 · q
d) O custo total (CT) associado a uma 
produção de 75 unidades desse bem:produção de 75 unidades desse bem:
 CT = 60 + 12 · q
 CT = 60 + 12 · (75) = 60 + 900 = R$ 960,00
Interatividade
O custo total de um fabricante de camisa 
consiste em uma quantia fixa de R$ 200,00somada ao custo de produção, que é de R$ 
50,00 por unidade. Expresse o custo total 
como função do número de unidades 
produzidas e se há produção determine oproduzidas e, se há produção, determine o 
custo total mínimo.
a) CT = 200 – 50q e CT min = R$ 250,00.
b) CT = 50 + 200q e CT min = R$ 50,00.
c) CT = 200 + 50q e CT min = R$ 250,00.c) CT 200 50q e CT min R$ 250,00.
d) CT = – 50 + 250q e CT min = R$ 0,00.
e) CT = 250 + 200q e CT min = R$ 50,00.
Ponto de nivelamento 
Ponto de nivelamento
 Quando há equilíbrio entre custo e 
receita, a quantidade produzida é 
considerada ponto de nivelamento. 
 Ponto de nivelamento (ou equilíbrio) é a 
quantidade (produzida e vendida) de 
determinada mercadoria, que 
corresponde, ao mesmo tempo, à receita 
total e ao custo total. Ou seja, lucro zero.
 RT = CT 
Exemplo – botão (cálculo) 
 São dadas as funções RT = 0,4 · q e 
CT = 3 + 0,1 · q para 0 < q < 20 unidades 
de botão.
O ponto de nivelamento é:
 RT = CTRT CT
 0,4 · q = 3 + 0,1 · q
 0,4 · q – 0,1 · q = 3
 0,3 · q = 3
 q = 3/0,3 = 10 unidadesq ,
 Como RT = CT não temos lucro nem 
prejuízo.
Exemplo – botão (tabelas)
q RT = 0,4·q
0 0
5 2
q CT = 3 + 0,1·q
0 3
5 3,5
10 4
15 6
20 8
10 4
15 4,5
20 5
Exemplo – botão (gráfico) 
Ponto de nivelamento –
considerações
 Permite compreender como o lucro pode 
ser afetado pelas variações nos 
elementos que integram as receitas de 
vendas e os custos e despesas totais. 
Corresponde a certo nível de atividades 
em que o lucro será nuloem que o lucro será nulo.
Lucro total
 Seja CT o custo total associado à 
produção de uma utilidade e RT a receita 
total referente à venda dessa utilidade.
 A função lucro total (LT) associada à 
produção e à venda da utilidade é
dada por:
 Lucro = Receita Total – Custo Total
 L = RT – CT
Analisando o gráfico – botão 
 q = 10 unidades (RT = CT).
 Prejuízo: 0  q < 10.
 Lucro: 10 < q  20.
Exemplo – botão (cálculos)
 São dadas as funções RT = 0,4 · q e 
CT = 3 + 0,1 · q para 0 < q < 20 unidades 
de botão.
 Determinar a função lucro.
 L = RT – CTL RT CT
 L = 0,4 · q – (3 + 0,1 · q)
 L = 0,4 · q – 3 – 0,1 · q
 L = 0,3 · q – 3
Exemplo – botão (tabelas)
q LT = 0,3·q – 3
0 –3
5 –1,5
10 0
15 1,5
20 3
q RT = 0,4·q
0 0
q CT = 3 + 0,1·q
0 3
5 2
10 4
15 6
20 8
5 3,5
10 4
15 4,5
20 5
Exemplo – botão (gráfico) 
Interatividade
Uma editora vende certo livro por R$ 60 a 
unidade. Seu custo fixo é R$ 10.000 e o custo 
variável por unidade é R$ 40.
I. O ponto de nivelamento é de 500 livros 
vendidos.
II. A função lucro é L = 20q – 10.000.
III. A editora deverá vender 4.000 livros para 
ter um lucro igual a R$ 8.000.
As afirmações corretas são:
a) I.a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) II e III.
Resposta
CT = CF + CV = 10.000 + 40q e RT = 60q
10.000 + 40q = 60q  60q – 40q = 10.000 
20 q = 10.000  q = 500 livros.
LT = 20q – 10.000 = 20500 – 10.000 = 0 
Análise do ponto de nivelamento
 Quantidades produzidas e vendidas e os 
respectivos preços, determinantes das 
receitas de vendas.
 Custos e despesas variáveis e fixos.
 Volume de produção e vendas.Volume de produção e vendas.
 Também conhecido por análise das 
relações custo-volume-lucro, o ponto de 
equilíbrio ignora aspectos relacionados 
com a formação de estoques, 
pressupondo que toda a produção sejapressupondo que toda a produção seja 
vendida instantaneamente.
Exemplo
 Considerar as funções CT(x) = 2x + 39 e a 
função RT(x) = –x² + 18 x relativas à 
produção e venda de x unidades de um 
mesmo produto, 0 ≤ x ≤ 18, representadas 
no gráfico.
 Determina a função LT e observando o 
gráfico responda as questões que serão 
dadas:
Exemplo – função LT
 CT(x) = 2x + 39 e RT(x) = –x² + 18 x, 
sendo 0 ≤ x ≤ 18.
 Função LT :
 LT = RT – CT
 LT = x² + 18x (2x + 39) LT = –x² + 18x – (2x + 39)
 LT = –x² + 18x – 2x – 39
 LT = –x² + 16x – 39 (eq. do 2º grau)
Exemplo – questões 
a) Quais os pontos de nivelamento.
1º ponto: 3 unidades e o valor de R$ 45,00.
2º ponto: 13 unidades e o valor de R$ 65,00
b) O que significa o fato da função custo 
total não iniciar do ponto (0 0)?total não iniciar do ponto (0,0)?
Exemplo – questões
c) Qual o intervalo em que temos lucro 
(L(x)>0). 
d) Qual o intervalo em que temos prejuízo 
(L(x)<0). 
Exemplo – determinando as 
quantidades que o lucro será zero
 LT = –x² + 16x – 39 (eq. do 2º grau)
 a = –1, b = 16, c = –39
  = b² – 4 · a · c
  = (16)² – 4 · (–1) · (–39) = 100
 x1 = 3 e x2 = 13
 Então podemos construir a tabela e o 
gráfico de LT
2
1016
)1(2
10016
2 


 x
a
bx
gráfico de LT.
Exemplo – tabela
x LT = –x² + 16x – 39 
1 –1² + 16 · 1 – 39 = –24
3 –3² + 16 · 3 – 39 = 0
5 5² + 16 · 5 39 = 165 –5² + 16 · 5 – 39 = 16
7 –7² + 16 · 7 – 39 = 24
8 –8² + 16 · 8 – 39 = 25
9 –9² + 16 · 9 – 39 = 24 
11 –11² + 16 · 11 – 39 = 16
13 –13² + 16 · 13 – 39 = 0
15 –15² + 16 · 15 – 39 = -24 
Exemplo – gráfico 
10
20
30
$)
‐20
‐10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Lu
cr
o 
(R
$
‐30
‐20
x (quantidade)
Mais um exemplo
 Um fabricante produz um DVD a um 
custo de R$ 2,00 a unidade. Os DVDs 
vêm sendo vendidos a R$ 5,00 a unidade, 
por esse preço são vendidos 4.000 DVDs 
por mês. O fabricante pretende aumentar 
o preço do DVD e calcula que para cadao preço do DVD e calcula que para cada 
R$ 1,00 de aumento no preço, menos 400 
DVDs serão vendidos por mês. 
a) Expresse o lucro mensal do fabricante 
em função do preço de venda. 
b) Para que preço o lucro é máximo?
Mais um exemplo
a) Expresse o lucro mensal do fabricante em 
função do preço de venda.
 Sendo "x" o número de cds vendidos. 
Preço Nº de DVDs vendidos
R$ 6,00 (5 + 1) 4.000 – 400 = 3.600
(aumentando R$1,00)
R$ 7,00 (5 + 2) 
(aumentando R$2,00)
4.000 – 800 = 3.200, 
(800 = 400 · 2)
R$ 8,00 (5 + 3) 
(aumentando R$3,00)
4.000 – 1.200 
(1.200 = 400 · 3)
R$ 9 00 (5 4) 4 000 1 600
 Assim, aumentando "x" reais, o preço será de 
"5 + x" e o número de fitas vendidas será 
4000 – 400 . x 
R$ 9,00 (5 + 4) 
(aumentando R$4,00)
4.000 – 1.600 
(1.600 = 400 · 4)
Mais um exemplo
b) Para que preço o lucro é máximo?
 Portanto, o custo, que é o número de peças 
vendidas pelo valor do preço de custo unitário, 
será de:
 C(x) = (4.000 – 400x) · 2 = 8.000 – 800x 
A it é ú d didA receita, que é o número de peças vendidas 
pelo preço de venda, será de: 
R(x) = (4.000 – 400x) · (5 + x) = 20.000 + 4.000x 
– 2.000x – 400x2 = 20.000 + 2.000x – 400x2
 Assim, o lucro, que é a diferença entre a receita 
e o custo, será de: ,
 L(x) = 20.000 + 2.000x – 400x2 – (8.000 – 800x) 
L(x) = 20.000 + 2.000x – 400x2 – 8.000 + 800x 
L(x) = – 400x2 + 2.800x + 12.000 
Mais um exemplo
b) A função tem ponto de máximo em seu 
vértice, então para o lucro ser máximo, 
encontra-se o xV. 
xV = – b / 2a 
xV = – 2.800 / 2 . (–400) 
x = 2 800 / 800xV = 2.800 / 800 
xV = 3,5. 
 Assim, para se ter o lucro máximo deve-
se vender a R$ 3,50. 
Interatividade
O custo para produção de uma determinada 
mercadoria tem custo fixo mensal de R$ 1.440,00, 
inclui conta de energia elétrica, água, salários e 
impostos, e um custo de R$ 50,00 por peça 
produzida. 
Considerando que o preço de venda da unidade 
$de cada produto seja de R$ 140,00, quais as 
Funções Custo, Receita e Lucro?
a) CT = 1.440 + 50x; RT = 140x e LT = 90x – 1.440 
b) CT = 50 + 1.440x; RT = 1.440x e LT = 1.440x – 90 
c) CT = 1.440 + 50x; RT = 140x + 1.440 e LT = 190x 
1 440+ 1.440 
d) CT = 140x; RT = 1.440x e LT = 190x +1.440 
e) CT = 1.440 – 50x; RT = –140x e LT = 90x + 1.440 
ATÉ A PRÓXIMA!