Matemática Essencial

Prévia do material em texto

Matemática Essencial:  Alegria  Financeira  Fundamental  Médio  Geometria  Trigonometria  Superior  Cálculos
	Geometria Plana: Vetores no plano cartesiano
	Definição de vetor
Soma de vetores e propriedades
Aplicações geométricas
Diferença de vetores
Produto por escalar e propriedades
	Módulo de vetor e propriedades
Produto escalar e propriedades
Ângulo entre dois vetores
Vetores ortogonais
Vetores paralelos
Definição de vetor
Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade).
A direção é a da reta que contém o segmento.
O sentido é dado pelo sentido do movimento.
O módulo é o comprimento do segmento.
Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem.
Observação: Existe uma definição, não necessariamente geométrica, muito mais ampla do conceito de vetor envolvendo uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.
Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele é dado por v=(6,10), pois:
v = (7,12)-(1,2) = (6,10)
Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta (representante) desta família que tem as mesmas características.
O representante escolhido, quase sempre é o vetor com a origem está em (0,0) e a extremidade em (a,b) no plano cartesiano e que será denotado por
v = (a,b)
Soma de vetores e suas propriedades
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores v e w, por:
v + w = (a+c,b+d)
Propriedades da soma de vetores
Fecho:Para quaisquer u e v de R², a soma u+v está em R².
Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²:
v + w = w + v
Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²:
u + (v + w) = (u + v) + w
Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0) em R² tal que para todo vetor u de R², se tem:
Ø + u = u
Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor -v em R² tal que:
v + (-v) = Ø
Aplicações geométricas
Ponto médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ) e v2=(x2 ,y2 ), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y) onde
x=(x1 + x2 )/2    e    y=(y1 + y2 )/2
Centro de gravidade de um triângulo: Tomemos os vértices de um triângulo como as extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ), v2=(x2 ,y2 ) e v3=(x3 ,y3 ). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y) onde
x=(x1 + x2 + x3 )/3    e    y=(y1 + y2 + y3 )/3
Diferença de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:
v-w = (a-c,b-d)
Produto por escalar e suas propriedades
Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, por:
k.v = (ka,kb)
Propriedades do produto de escalar por vetor
Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores:
1 v = v
(ab) v = a (b v) = b (a v)
Se a v = b v e v é um vetor não nulo, então a = b.
a (v + w) = a v + a w
(a + b) v = a v + b v
Exercício: Dados os vetores v=(3,4) e w=(8,12), construa no plano cartesiano os vetores: v, w, -v, -w, v+w e v-w.
Módulo de um vetor e suas propriedades
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual a 1.
Exercício: Mostrar que para todo t real, o vetor v=(cos(t),sen(t)) é unitário.
Observações
Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o espaço R², dados por:
i=(1,0)   e   j=(0,1)
Para obter um versor de v, que é um vetor unitário u com a mesma direção e sentido que o vetor v, basta dividir o vetor v pelo módulo de v, isto é:
Para obter um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar w=kv onde k é um escalar não nulo. Nesse caso, w e v serão paralelos.
Se k=0 então w será o vetor nulo.
Se 0<k<1 então |w|<|v|.
Se k>1 então |w|>|v|.
Se k<0 então w tem sentido oposto ao de v.
Todo vetor v=(a,b) do plano cartesiano possui uma projeção horizontal (sobre o eixo OX) que é o vetor a i e uma projeção vertical b j (sobre o eixo OY) e o vetor v pode ser escrito como a soma destas projeções:
v = a i + b j
Exercício: Qual é a projeção vertical do vetor v=(3,4)? Qual é o módulo deste vetor? Esboce um gráfico desta situação no plano R².
Produto escalar
Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por:
v.w = a.c + b.d
Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-7,12) é dado por:
v.w = 2.(-7) + 5.(12) = 56
O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-5,2) é:
v.w = 2.(-5) + 5.(2) = 0
Exercício: Faça um gráfico em R², com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.
Propriedades do produto escalar: Quaisquer que sejam os vetores, u, v e w e k escalar:
v.w = w.v
v.v = |v| |v| = |v|²
u.(v+w) = u.v + u.w
(kv).w = v.(kw) = k(v.w)
|kv| = |k||v|
|u.v|<|u||v|  (desigualdade de Schwarz)
|u+v|<|u|+|v|  (desigualdade triangular)
Ângulo entre dois vetores
Outra forma de escrever o produto escalar entre os vetores v e w é v.w=|v||w|cos(q) onde q é o ângulo formado entre v e w.
Com ela, podemos obter o ângulo q entre dois vetores quaisquer v e w, pois:
desde que nenhum dos vetores seja nulo. Neste caso 0<q<pi=3,1416...
Exercício: Faça uma análise quando q=0, q=pi/2 e q=pi. Determine o ângulo entre os vetores v=(1,0) e w=(1,1). Nunca se esqueça de construir gráficos com esses objetos vetoriais.
Vetores ortogonais
Dois vetores v e w são ortogonais se:
v.w = 0
Exercício: Dado o vetor v=(3,7), obtenha pelo menos dois vetores do plano que sejam ortogonais a v. Construa geometricamente estes vetores.
Vetores paralelos
Dois vetores v e w são paralelos se existe uma constante real k diferente de zero, tal que:
v = k w
Exercício: Obter pelo menos dois vetores do plano que sejam paralelos ao vetor v=(3,7). Construa geometricamente estes vetores.
	
	Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 14/out/2004.