ap1 solucoes corrigida

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Trigonometria e Nu´meros Complexos
UABMAT002-2012.3
23/02/2013 Profa. Beatriz Ribeiro
26 de fevereiro de 2013
Sugesta˜o de resoluc¸a˜o da AP1
Questa˜o 1: [8 pontos]
Encontre a determinac¸a˜o principal do aˆngulo de medida 16pi3 rd. Em seguida, calcule tg(
16pi
3 ).
Soluc¸a˜o:
Temos que
16pi
3
=
(3× 5 + 1)pi
3
= 5pi +
pi
3
= 2× (2pi) + 4pi
3
Logo, a determinac¸a˜o principal de 16pi3 e´
4pi
3 .
Segue que
tg(
16pi
3
) = tg(
4pi
3
) =
sen(4pi3 )
cos(4pi3 )
Como 4pi3 = pi +
pi
3
sen(
4pi
3
) = sen(pi +
pi
3
) = sen(pi)cos(
pi
3
) + sen(
pi
3
)cos(pi) = −
√
3
2
cos(
4pi
3
) = cos(pi +
pi
3
) = cos(pi)cos(
pi
3
)− sen(pi
3
)sen(pi) = −1
2
Logo, tg(16pi3 ) = (
−√3
2 )/(−12) =
√
3.
Questa˜o 2: [9 pontos]
No triaˆngulo retaˆngulo a seguir, sabe-se que cosβ = 23 e BC = 3cm. Determine as medidas de
AB, AC e sen θ.
Pa´g. 1 de 5
AP1
Soluc¸a˜o:
Uma soluc¸a˜o:
Sabemos que
cosβ =
cateto adjacente
hipotenusa
=
AB
AC
e, pelo enunciado, cosβ = 23 . Logo,
2
3
=
AB
AC
Ale´m disso, pelo Teorema de Pita´goras, temos que 9 +AB2 = AC2. Resolvendo o sistema
(e lembrando que AB e AC sa˜o medidas de lados, donde devem ser positivos), encontramos
AB = 6
√
5
5 e AC =
9
√
5
5
Portanto, senθ = cateto opostohipotenusa =
AB
AC =
2
3 . Note que era poss´ıvel saber isso sem ter que
calcular AB e AC, pois senθ = cosβ.
Outra soluc¸a˜o:
Sabemos que
cosβ =
cateto adjacente
hipotenusa
=
AB
AC
e, pelo enunciado, cosβ = 23 . Logo,
2
3
=
AB
AC
Ale´m disso, sabemos que sen2β+cos2β = 1, donde sen2β = 1−(2/3)2, isto e´, senβ = ±
√
5
3
Como 0 < β < pi/2, o seno deve ser positivo. Enta˜o,
senβ =
√
5
3
e sabemos que
senβ =
BC
AC
=
3
AC
donde AC = 9
√
5
5 . E, como
2
3 =
AB
AC , segue enfim que AB =
6
√
5
5 . E finalizamos como na
soluc¸a˜o anterior.
Questa˜o 3: [8 pontos]
Seja x 6= kpi, k ∈ Z, prove que
(1 + cotg2 x)(1− cos2x) = 1
Soluc¸a˜o:
Vamos sair do membro da esquerda e obter 1.
Pa´g. 2 de 5
AP1
Primeiro, escrevemos a definic¸a˜o de cotg:
(1 + cotg2 x)(1− cos2x) = (1 + cos
2 x
sen2 x
)(1− cos2x)
Em seguida, usamos o fato de que sen2x+ cos2x = 1, donde 1− cos2x = sen2x. Assim:
(1 + cotg2 x)(1− cos2x) =
= (1 +
cos2 x
sen2 x
)(1− cos2x)
= (1 +
cos2 x
sen2 x
)(sen2x)
Fazendo a multiplicac¸a˜o termo a termo, temos
(1 +
cos2 x
sen2 x
)(sen2x) = sen2x+
sen2x cos2x
sen2x
= sen2x+ cos2x
que ja´ sabemos que e´ igual a 1. Portanto, a afirmac¸a˜o e´ verdadeira.
Questa˜o 4: [15 pontos]
Fac¸a o que se pede.
a) Calcule sen 15o.
Soluc¸a˜o:
sen(15) = sen(45− 30) =
= sen(45)cos(30)− sen(30)cos(45)
=
√
2
2
√
3
2
− 1
2
√
2
2
=
√
6
4
−
√
2
4
=
√
6−√2
4
Pa´g. 3 de 5
AP1
b) No triaˆngulo a seguir, sabe-se que α = 15o, BC = 1 e AC = 2√
6−√2 . Determine β.
Soluc¸a˜o: Pela lei dos senos, sabemos que
BC
senα
=
AC
senβ
Usando o item anterior, temos que senα =
√
6−√2
4 e, pelo enunciado, BC = 1 e
AC = 2√
6−√2 , logo:
1√
6−√2
4
=
2√
6−√2
senβ
Assim,
4√
6−√2 =
2
senβ(
√
6−√2)
4 =
2
senβ
senβ =
2
4
=
1
2
Como 0 < β < 180o e senβ = 12 , segue que β = 30
o.
c) Usando o item anterior, determine γ. Em seguida, no triaˆngulo do item anterior, determine
AB em func¸a˜o de cos γ (deixe o resultado indicado).
Soluc¸a˜o: Como α+ β + γ = 180, segue que γ = 180− 30− 15, isto e´, γ = 135o.
Ale´m disso, pela lei dos cossenos
AB2 = AC2 +BC2 − 2(AC)(BC)cosγ
Usando os valores de AC e BC do item anterior, temos
Pa´g. 4 de 5
AP1
AB2 =
4
(
√
6−√2)2 + 1−
4√
6−√2cosγ
=
4 + (
√
6−√2)2 − 4(√6−√2)cosγ
(
√
6−√2)2
=
12− 4√3− 4(√6−√2)cosγ
8− 4√3
=
3−√3− (√6−√2)cosγ
2−√3
= (3−
√
3− (
√
6−
√
2)cosγ)(2 +
√
3)
= 3 +
√
3− (
√
6 +
√
2)cosγ
Logo, deixando cosγ indicado, temos
AB =
√
3 +
√
3− (
√
6 +
√
2)cosγ
Caso fosse calculado cosγ = −
√
2
2 , ter´ıamos enta˜o
AB =
√
3 +
√
3 + (
√
6 +
√
2)
√
2
2
=
√
4 + 2
√
3
OBS. Foi pedido no enunciado que fosse calculado AB em func¸a˜o de cosγ, enta˜o a
u´ltima parte da soluc¸a˜o apresentada aqui na˜o e´ necessa´ria. Ale´m disso, tambe´m sera´
pontuado totalmente quem for apenas ate´ a parte em que sa˜o substituidos os valores
corretos na lei dos cossenos.
Pa´g. 5 de 5