Questões Trigonometria EsPCEx AFA ESCOLA NAVAL

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1. (Espcex (Aman) 2015) O valor de 
 cos 165 sen 155 cos 145 sen 25 cos 35 cos 15           é 
a) 2. 
b) 1. 
c) 0. 
d) 1. 
e) 
1
.
2
 
 
2. (Ita 2013) Se 
1
cos 2x ,
2
 então um possível valor de 
cotg x 1
cossec(x ) sec( x)π π

  
 é 
a) 
3
.
2
 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 2. 
 
3. (Espcex (Aman) 2012) O valor numérico da expressão 
 
2sec 1320 53
2 cos tg 2220
2 3
π  
    
 
 é: 
a) 1 
b) 0 
c) 
1
2
 
d) 1 
e) 
3
2
 
 
4. (Espcex (Aman) 2020) Na figura abaixo está representado um trecho do gráfico de uma 
função real da forma y m sen (nx) k,   com n 0. 
 
 
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Os valores de m, n e k, são, respectivamente 
a) 3,
3
π
 e 1. 
b) 6,
6
π
 e 1. 
c) 3,
6
π
 e 1. 
d) 3,
3
π
 e 1. 
e) 3,
6
π
 e 1. 
 
5. (Espcex (Aman) 2019) Dentre as alternativas a seguir, aquela que apresenta uma função 
trigonométrica de período 2 ,π cujo gráfico está representado na figura abaixo é 
 
 
a) f(x) 1 sen ( x).π   
b) f(x) 1 cos ( x).π   
c) f(x) 2 cos ( x).π   
d) f(x) 2 sen ( x).π   
e) f(x) 1 cos ( x).π   
 
6. (Ita 2017) O maior valor de tgx, com 
1 3
x arcsen
2 5
 
  
 
 e x 0, ,
2
π 
  
 
 é 
a) 
1
.
4
 
b) 
1
.
3
 
c) 
1
.
2
 
d) 2. 
e) 3. 
 
7. (Epcar (Afa) 2016) Considere a função real sobrejetora f : A B definida por 
sen3x cos3x
f(x)
senx cosx
  
Sobre f é FALSO afirmar que 
a) O conjunto A é 
k
x | x ,k
2
π 
   
 
¡ ¢ 
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b) f é par. 
c) f é injetora. 
d) B {2} 
 
8. (Esc. Naval 2014) O valor do produto cos40 cos80 cos160     é 
a) 
1
8

 
b) 
1
4

 
c) 1 
d) 
3
2
 
e) 
2
2

 
 
9. (Esc. Naval 2013) Para que valores de m vale a igualdade 
m 1
senx , x ?
m 2

 

¡ 
a) m 2 
b) 
3
m
2
 
c) 
3
m
2
 ou m 2 
d) 
5
m
2
 e m 2 
e) 
7
m
2
 e m 2 
 
10. (Epcar (Afa) 2012) Considere A o conjunto mais amplo possível na função real f: A , ¡ 
dada por  
senx cosx
f x .
cossec x sec x
  
Sobre a função f é correto afirmar que 
a) 
k
A x | x , k .
2
π 
    
 
¡ ¢ 
b) é periódica com período igual a .π 
c) é decrescente se x x | 2k x 2k , k .
2
π
π π π
 
       
 
¡ ¢ 
d) é ímpar. 
 
11. (Ita 2008) O conjunto imagem e o período de f(x) = 2 sen
2
 (3x) + sen (6x) - 1 são, 
respectivamente, 
a) [-3, 3] e 2ð 
b) [ -2, 2] e 2ð/3 
d) [ -1, 3] e ð/3 
e) [ -1, 3] e 2ð/3 
 
12. (Epcar (Afa) 2011) O período da função real f definida por 
sen 3x sen x
f(x)
cos 3x cos x



 é igual a 
a) 2π 
b) π 
c) 
4
π
 
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d) 
2
π
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
 cos165 sen155 cos145 sen25 cos35 cos15
cos15 sen25 cos35 sen25 cos35 cos15 0
           
            
 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
cosx cosx 1
1
cotg x 1 senx senx cosx (I)
1 1 1 cosxcossec(x ) sec( x)
senx cosx senx.cosx
π π



   
  
 
 
 
2 21 1 3 3cos 2x 2cos x 1 cos x cos x (II)
2 2 2 2
         
 
Substituindo (II) em (I), temos: 
 
cotg x 1
cossec(x ) sec( x)π π

  
=
3
2
 ou 
cotg x 1
cossec(x ) sec( x)π π

  
= 
3
.
2
 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Temos que 
 
sec 1320 sec (3 360 240 )
sec 240
sec 60
2,
     
 
  
 
 
 
53 5
cos cos 8 2
3 3
5
cos
3
cos
3
1
2
π π
π
π
π
   
     
   



 
e 
 
tg 2220 tg(6 360 60 )
tg60
3.
     
 

 
 
Portanto, 
 
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2 2sec 1320 53 2 12 cos (tg 2220 ) 2 ( 3)
2 3 2 2
1 1 3
1.
π  
        
 
   

 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Do gráfico, temos f(0) 1. Logo, vem 
1 m sen(n 0) k k 1      
 
Sabendo que a função seno é crescente no primeiro quadrante, podemos concluir que m 0. 
Ademais, como 1 senx 1,   temos 
1 senx 1 1 sen(nx) 1
m msen(nx) m
m 1 msen(nx) 1 m 1.
      
   
      
 
 
Mas sabemos que 2 msen(nx) 1 4    e, portanto, vem m 3.  
Ainda do gráfico, podemos afirmar que o período da função é 6. Logo, sendo n 0, temos 
2
6 n .
| n | 3
π π
   
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
Sabemos que π é uma raiz desta função, portanto: 
[A]      f( ) 1 sen ( ) 1 0 1π π π 
[B]      f( ) 1 cos ( ) 1 1 2π π π 
[C]      f( ) 2 cos ( ) 2 1 1π π π 
[D]      f( ) 2 sen ( ) 2 0 2π π π 
[E]      f( ) 1 cos ( ) 1 1 0π π π 
 
Logo, a opção [E] é a correta. 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Calculando: 
2
2
1 3 3 3 4 3
x arcsen 2x arcsen sen 2x cos2x tg 2x
2 5 5 5 5 4
tg x 3 (não convém)
2 tg x 3
3tg x 8tg x 3 0 ou
41 tg x
1tg x
3
   
           
   
 

     


 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Desenvolvendo f(x), temos: 
sen3x cos3x sen 3x cosx sen x cos3x
f(x)
senx cosx sen x cosx
  
  

 
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Utilizando as identidades trigonométricas pode-se resumir a equação em: 
sen (3x x) sen 2x
f(x) f(x) 2
1 1sen 2x sen 2x
2 2

   
 
 
 
Conclui-se, portanto, que a função f(x) é uma função constante e igual a 2. 
 
Analisando as alternativas: 
 
[A] VERDADEIRO. Para todo domínio 
k
A x | x ,k ,
2
π 
    
 
¡ ¢ f(x) tem imagem 2. 
 
[B] VERDADEIRO. Uma função é par se f(x) f( x).  Como f(x) é constante e igual a 2, trata-
se de uma função par. 
 
[C] FALSO. Uma função injetora é aquela que, seja uma função f : A B, para todo elemento 
distinto de A associam-se elementos únicos e distintos em B. Assim, como f(x) é sempre 
igual a 2, não se trata de uma função injetora. 
 
[D] VERDADEIRO. Sim, a imagem de f(x) é igual a dois, ou seja, B {2}. 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
 
   
   
   
x cos40 cos80 cos160 cos40 cos80 cos20
2 sen20 x 2 sen20 cos20 cos40 cos80 sen40 cos40 cos80
4 sen20 x 2 sen40 cos40 cos80 sen80 cos80
8 sen20 x 2 sen80 cos80 sen160 sen20
            
                   
               
             
1
x
8
   
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Sabemos que para x real o intervalo de variação da função seno será dada por: 
m 1
1 1
m 2

  

 
 
Podemos, então, estabelecer o seguinte sistema: 
m 1 m 1 m 2 2m 3
1 0 0 ( I )
m 2 m 2 m 2
m 1 m 1 m 2 1
1 0 0 ( II )
m 2 m 2 m 2
      
         
   
       
       
 
 
Resolvendo as inequações separadamente e fazendo a interseção das soluções, obtemos: 
 
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Portanto, a resposta correta para x real é 
3
m .
2
 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
senx cosx 2 2f(x) sen x cos x 1,
1 1
senx cosx
     para x 0 k ,
2
π
   k Z. 
Portanto a única alternativa correta é a letra A 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
3x x 3x x
2.sen .cos
2 2f(x)
3x x 3x x
2.cos .cos
2 2
sen(2x)
f(x)
cos(2x)
f(x) tg(2x)
 

 


 
Logo, o período é P = 
2 2

π π
.