Lista de exercícios cálculo III

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Lista de exercícios cálculo diferencial e integral III 
 
1 – Dada a equação 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 3 ,encontre 𝑦′ 𝑒 𝑦′′ , a partir das soluções abaixo, e verifique 
qual solução satisfaz esta equação diferencial. 
a) 𝑥𝑒3𝑥 ; b) 𝑥𝑒𝑥 + 3 ; c) −2𝑥𝑒𝑥 ; d) 𝑥 + 3𝑥 
 
2 – Encontre a solução particular para a equação 𝑦2𝑦′ + 𝑥2 = 0 sendo 𝑦(1) = 2. 
a) 𝑦3 + 𝑥3 = 9 ; b) 𝑦2 + 𝑥2 = 2 ; c) √𝑦 + √𝑥 = 4 ; d) √𝑦
3 + √𝑥
3 = 3 
 
3 – A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional 
à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante, desde que esta diferença não seja 
muito grande. (A Lei também se aplica ao aquecimento). Se tomarmos T(t) como a temperatura do 
objeto no instante t e 𝑇𝑐, como a temperatura do meio circundante, então podemos formular a Lei 
de resfriamento de Newton como uma equação diferencial: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑐) 
em que k é uma constante, encontre a solução geral desta equação. 
 
Sugestão : use o método de resolução das equações lineares. 
 
a) 𝑇 = 𝑇𝑐 + 𝑐𝑒
𝑘𝑡; b) 𝑇 = 𝑘𝑇𝑐 + 𝑐𝑒
𝑡; c) 𝑇 = 𝑇𝑐𝑐𝑒
𝑘𝑡 ; d) 𝑇 = 𝑇𝑐/𝑐𝑒
𝑘𝑡, onde c é uma 
constante. 
 
4 – As substâncias radioativas decaem pela emissão espontânea de radiação. Foi determinado 
experimentalmente que, se m(t) for a massa remanescente de uma massa inicial 𝑚𝑜 da 
substância após um tempo t, então a taxa de decaimento relativa ( 
−1
𝑚
)
𝑑𝑚
𝑑𝑡
 será constante. Como 
dm/dt é negativo, então a taxa de decaimento relativa é positiva. Portanto, 
 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑘𝑚 
Onde k é uma constante negativa, ou seja, as substâncias radioativas decaem a uma taxa 
proporcional à massa restante. 
 
Encontre a solução geral desta equação, 
a) 𝑚(𝑡) = 𝑚0ln (𝑘𝑡); b) 𝑚(𝑡) = 𝑚0𝑒
𝑘𝑡 ; c) 𝑚(𝑡) = 𝑘𝑚0𝑒
𝑡 ; d) 𝑚(𝑡) = 𝑘𝑒𝑚0𝑡 
 
5 – No contexto do crescimento populacional, quando 𝑃(𝑡) for o tamanho de uma população no 
instante t, podemos escrever ( 
1
𝑃
)
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘 ou 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 
onde k é uma constante. A taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população. 
Use o método das variáveis separáveis para encontrar a solução geral desta equação diferencial. 
Considere que a população no instante t=0 é 𝑃0: 
 
a) 𝑃(𝑡) = 𝑘𝑃0𝑒
𝑡; b) 𝑃(𝑡) = 𝑘𝑒𝑃0𝑡; c) 𝑃(𝑡) = 𝑃0𝑒
𝑘; d) 𝑃(𝑡) = 𝑃0𝑒
𝑘𝑡 
 
 
 
6- Um peru assado é tirado de um forno quando a sua temperatura atinge 85 ºC e ele é colocado 
sobre uma mesa em um cômodo em que a temperatura é 22 ºC. 
I) Se a temperatura do peru for 65 ºC depois de meia hora, qual será a temperatura depois 
de 45 minutos? a) ≈ 58℃ ; b)≈ 48℃ ; c) 38℃ ; d) ≈ 28℃ 
II) Quando o peru terá esfriado para 40 ºC? a) 68 min; 𝑏) 78 𝑚𝑖𝑛; 𝑐) 88𝑚𝑖𝑛; 𝑑) 98 𝑚𝑖𝑛 
 
 Sugestão: Use o resultado da questão 3 
 
7 – A meia vida do césio-137 é 30 anos. Suponha que tenhamos uma amostra de 100 mg. 
I) Encontre a massa remanescente após t anos; a) 100 × 2−2𝑡; 𝑏) 100 × 3−3𝑡; 𝑐) 100 ×
2−𝑡/30 
II) Quanto da amostra restará depois de 100 anos? 𝑎) ≈ 8,65 𝑚𝑔; 𝑏) 9,92 𝑚𝑔 ; 𝑐) 10,67 𝑚𝑔 
III) Depois de quanto tempo restará apenas 1 mg? 
𝑎) 150,9 𝑎𝑛𝑜𝑠; 𝑏) 170,90 𝑎𝑛𝑜𝑠; 𝑐) 199,3 𝑎𝑛𝑜𝑠; d) 201,3 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
 Sugestão: Use o resultado da questão 4 
 
8 – Uma cultura de bactérias inicialmente contém 100 células e cresce a uma taxa proporcional a 
seu tamanho. Depois de uma hora a população cresceu para 420. 
 
I) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t horas; 
II) Encontre o número de bactérias após 3 horas; 
III) Encontre a taxa instantânea de crescimento no tempo de 3 horas; 
IV) Quando a população atingirá 10000 células? 
Alternativas: 
I) 𝑎) 100(4,2)𝑡; 𝑏) 100 (5,2)𝑡; 𝑐) 100 𝑡; 𝑑) 100 (7,2)𝑡 
II) 𝑎) ≈ 4056; 𝑏) ≈ 5460 ; 𝑐) ≈ 7409 ; 𝑑) ≈ 8408 
III) 𝑎) ≈ 5076
𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠
ℎ
; 𝑏) ≈ 6320 
𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠
ℎ
; 𝑐) ≈ 9670
𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠
ℎ
; 𝑑) 10632
𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠
ℎ
 
IV)𝑎) ≈ 4.3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ; 𝑏) ≈ 3,8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ; 𝑐) ≈ 3,2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ; 𝑑) ≈ 2,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
 Sugestão: Use o resultado da questão 5 
 
9 – Resolva a equação diferencial (2𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + (2𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑦 = 0. 
a) 2𝑥 − 𝑥2 +
𝑦
3
= 𝐶 ; b) 2𝑥𝑦 − 𝑦 +
3𝑦2
2
= 𝐶 ; c) 2𝑥𝑦 −
𝑥2
2
+
𝑦3
3
= 𝐶 ; d) 2𝑦 −
𝑦2
2
+
𝑥3
3
= 𝐶 
 
10 - Podemos afirmar que o fator integrante da equação (6𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑦 + 9𝑥2)𝑑𝑦 = 0, é: 
a) I= 𝑦2 ; b) I= 1/𝑦2; c) 𝐼 = 2𝑦 d) 𝐼 = 𝑦/2 
 
Sugestão: 𝑰(𝒚) = 𝒆∫ 𝝀(𝒚)𝒅𝒚 𝝀(𝒚) =
𝟏
𝑴
(
𝝏𝑵
𝝏𝒙
−
𝝏𝑴
𝝏𝒙
) 
11- Qual das equações abaixo é linear? Justifique a sua resposta. 
a) y' - 2y" = 3cosx ; b) y' - 2y" = 3cosy ; c) y' + lny = 20; d) y + y.y" = 3x + 2y ; e) y² - 2y' = 0 
12 - Marque a alternativa que indica a solução da equação y" -10y' +25y = 0. 
a) 𝑦 = 𝐶1 𝑒−𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒−5𝑡; b) 𝑦 = 𝐶1 𝑒−5𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒2𝑡 ; c) 𝑦 = 𝐶1 𝑒−5𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒−5𝑡 
𝑑) 𝑦 = 𝐶1 𝑒25𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒−10𝑡; e) 𝑦 = 𝐶1 𝑒5𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒5𝑡 
 
13 - Ao se resolver uma equação diferencial de segunda ordem, obteve-se, como resultado, a 
solução geral 𝑦 = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒2𝑥 . Calcule o Wronskiano (𝑊(𝑦1, 𝑦2)) associado a esta solução: 
a) W(𝑒2𝑥,x𝑒2𝑥)=𝑒4𝑥; b) W(𝑒2𝑥,x𝑒2𝑥)=𝑥𝑒4𝑥 ; c) W(𝑒2𝑥,x𝑒2𝑥)=𝑒2𝑥 ; d) W(𝑒2𝑥,x𝑒2𝑥)=𝑒𝑥/2 
 
14 – Encontre a solução da EDO linear homogênea y" + 5y´ + 6y = 0, para as condições de 
valores iniciais, considerando y(0) = 2 e y’(0)=3. 
 𝑎) 𝑦 = 9𝑒−2𝑡 − 7𝑒−3𝑡; b) 𝑦 = 9𝑒−𝑡 − 7𝑒−3𝑡 ; c) 𝑦 = 9𝑒−2𝑡 − 5𝑒−3𝑡; 
d) 𝑦 = 3𝑒−2𝑡 − 7𝑒−3𝑡 
 
15 – Determine a solução geral da equação diferencial 𝑒𝑦𝑑𝑥 + (𝑥𝑒𝑦 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0. 
a) 𝑥𝑒𝑦 + 𝑦2 = 𝐶; b) 𝑦𝑒𝑥 +
𝑥2
2
= 𝐶; c) 
𝑒𝑥
2
+ 𝑒2𝑦 = 𝐶 ; d) 𝑥𝑒𝑦 +
𝑦2
2
= 𝐶 ; e) 𝑥𝑒𝑦 −
𝑥2
2
= 𝐶 
 
16 – Use o método de resolução de equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem 
para encontrar a solução geral da equação diferencial, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
2𝑦
𝑥
= 𝑥3 
𝑎) 
𝑥4
2
+ 𝐶𝑥2 = 𝑦; b) 
𝑥4
3
+ 𝐶𝑥2 = 𝑦; c) 
𝑥3
2
+ 𝐶𝑥 = 𝑦; d) 
𝑥4
2
+ 𝐶 = 𝑦; e) ) 
𝑥3
3
+ 𝐶𝑥2 = 𝑦 
 
17 - Encontre a solução da EDO linear homogênea 𝑦" − 2𝑦´ + 10𝑦 = 0, para as condições de 
valores iniciais, considerando y(0) = 2 e y’(0)=1. 
a) 𝑦 =
1
3
𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 2𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡 ; b) 𝑦 =
1
3
𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠3𝑡 − 2𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡; c) 𝑦 = 2𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠3𝑡 −
1
3
𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡; 
𝑑) 𝑦 =
1
2
𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 2𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡 ; e) 𝑦 = 2𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠3𝑡 +
1
3
𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛3𝑡 
 
 XXX