Apostila Professor Richard - Cálculo II

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D
 I
 S
Aluno:______________________________________________________________________________
Instituição de Ensino:____________________ Curso:________________________________________
Módulo 1: Revisão de Derivadas
	
Tabela de Derivadas
	
 , onde c é uma constante real.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Propriedades das Derivadas
	
	
Taxa de variação
A posição de uma partícula é dada pela equação , onde t é medido em segundos e S em metros. Para determinar a posição da partícula no instante segundos, basta substituir na função , veja a seguir:
 m
Mas para determinar a velocidade da partícula no instante segundos, devemos antes de substituir, achar a derivada da função , pois a velocidade é a variação do espaço pelo tempo, ou seja, .
 m/s
Exemplos:
A derivada da função é .
A derivada da função é 
A derivada da função é 
A derivada da função é 
A derivada da função é 
Exercício Resolvido: Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O Volume de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dado por . Determine:
a) o volume de água no reservatório no instante horas.
 L
b) a taxa de variação do volume de água no reservatório após 2 horas do escoamento.
A derivada do volume em litros, é a vazão ou taxa de variação em L/h. Quanto menor a quantidade de líquido no tanque, menor a vazão, devido a pressão.
 (ou seja vazão), o valor é negativo, pois o tanque está sendo esvaziado.
Regra do Produto e Regra do quociente:
	
Regra do Produto
	
Regra do Quociente
	
	
Exemplo 1: Considere a função . Para encontrarmos a derivada desta função devemos utilizar a regra do produto: 
Exemplo 2: Considere a função . Para encontrarmos a derivada desta função devemos utilizar a regra do produto 
Exemplo 3: Considere a função . Para encontrarmos a derivada desta função devemos utilizar a regra do quociente: 
Exemplo 4: Considere a função . Para encontrarmos a derivada desta função devemos utilizar a regra do quociente 
Exercício Resolvido: Encontre a derivada da função 
Derivada da função composta – Regra da Cadeia
	
Tabela de Derivadas
	
	
	
	
	
Exemplos:
1. A derivada da função composta é .
2. A derivada da função composta é .
3. A derivada da função composta é .
4. A derivada da função composta é .
5. A derivada da função composta é .
Exercício Resolvido 1: O raio de um círculo cresce à razão de 1,8 cm/s. Qual a taxa de crescimento da área do círculo () em relação ao tempo, quando r é igual a 8 cm?
 cm²/s
Exercício Resolvido 2: Suponha que a posição de uma partícula seja dada pela função onde s é dado em metros e t em segundos. Qual a velocidade da partícula no instante t? Dado: Velocidade
Exercícios do Módulo 1 – Revisão de Derivadas
1) Uma bola é jogada para cima, a partir do solo, e sua altura em um instante t é dada por s(t)= -5t2+15t, onde s é dado em metros e t em segundos. Qual a velocidade no instante t=1s?
a)3 m/s b)10 m/s c)5 m/s d)12 m/s e)20 m/s
2) Qual a derivada da função f(x)=x2.cosx ?
a)f '(x)=-2xsenx b)f '(x)=2xcosx+x2senx c)f '(x)=2xcosx-x2senx
d)f '(x)=2xcosx+2xsenx e)f '(x)=2xcosx
3) Qual a derivada da função ?
a) b) c)
d) e)
4) Qual a derivada da função y=ln(x2+3)?
a) b) c) d) e)
5) Qual a derivada da função 
a) b) c) d)
e)
6) Considere as seguintes afirmações e assinale a alternativa correta.
I. A derivada da função é .
II. A derivada da função é .
III. A derivada da função é .
a)Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
b)Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
c)Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
d)Todas as afirmativas estão corretas.
e)Todas as afirmativas estão incorretas.
7) Considere as seguintes afirmações e assinale a alternativa correta.
I. A derivada da função é .
II. A derivada da função é .
III. A derivada da função é .
a)Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
b)Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
c)Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
d)Todas as afirmativas estão corretas.
e)Todas as afirmativas estão incorretas.
8) O deslocamento, em centímetros, de uma partícula sobre uma trajetória é dado pela equação s(t)=15+0,2sen(15πt), onde t é dado em segundos. Qual é a velocidade da partícula após t segundos?
a)v(t)=3πcos(15t) b)v(t)=0,2cos(15πt) c)v(t)=3πsen(15πt)
d)v(t)=3πcost e)v(t)=30πsen(15πt)
Respostas dos Exercícios do módulo 1: 1)c 2)c 3)a 4)b 5)c 6)c 7)d 8)a
Módulo 2: Funções de Duas Variáveis
Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como uma quantidade é determinada por outras quantidades, de maneira única.
Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função.
	Assim,
D é o domínio da função em R2,
f é a função
f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).
	
Exemplos de valores de função de 2 variáveis:
Ex1: se f(x, y) = x2 + 2y, então f(2, 3) = 22 + 2.3 = 10
Ex2: f(x, y) = (3x + y3)1/2, então f(1, 2) = (3.1
Domínio das funções de duas variáveis
O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D R2, tal que os valores calculados da função, para todo (x,y) D resultem em valores finitos e reais para f(x,y).
Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = (y − x)1/2.
A condição de existência dessa função é y - x ≥ 0 (real), portanto o seu domínio é D ={(x, y) R2 / y - x ≥ 0}.
Ex.2 – Ache o domínio da função f(x, y) = x2 / (2x – y),
A função é finita quando 2x – y ≠ 0. 
Assim, domínio D (x, y) é o conjunto de 
pontos, tais que, D = {(x, y) R2 / y ≠ 2x }.
Ex.3 - Ache o domínio da função
A função é finita quando 2x – y ≠ 0. 
Assim, domínio D (x, y) é o conjunto de 
pontos, tais que, D = {(x, y) R2 / y ≠ 2x }.
Ex.3 - Ache o domínio da função
A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que D = {(x, y) R2 / 3x - y > 0}.
Considere a equação , que representa o volume de um cone, onde o volume do cone depende do raio da base e da sua altura, ou seja, o volume do cone é uma função do raio da base e da sua altura. Neste caso dizemos que o volume é a variável dependente e o raio da base e a altura são as variáveis independentes. Por exemplo, o volume de um cone de altura igual a 15 cm e raio da base igual a 10 cm é:
.
Uma função de duas variáveis é uma lei que associa a cada par ordenado (x, y) de números reais de um conjunto (denominado domínio de f) a um único valor real.
Exemplo: Considere a função . Para o par ordenado (3, -5) temos que , significando que o par ordenado (3, -5) está associado a um único número real -206. Para o par ordenado (0, 0) temos que , significando que o par ordenado (0, 0) está associado a um único número real 0.
Exercício Resolvido: Para a função , encontre as imagens dos seguintes pares ordenados:
a) 
b) 
Domínio e Imagem de uma função de duas variáveis.
O domínio de uma função de duas variáveis é um subconjunto . A imagem de uma função de duas variáveis é um subconjunto de R.
/ 
A: Domínio de f (subconjunto de ).
O domínio da função é o conjunto .
O par ordenado (1, -2) pertence ao conjunto e:
Considere a função o domínio desta função é:
/.
A seguir temos o esboço doDomínio da função .
Considere a função o domínio desta função é:
/.
A seguir temos o esboço do Domínio da função .
Exercício Resolvido: Qual o domínio das funções relacionadas a seguir:
a) 
D(f) = {(x, y) R²/x2y}
b) 
D(f) = {(x, y) R²}
Gráfico e Curvas de Nível de uma função de duas variáveis
Gráfico é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) , z = f(x, y) e (x, y) pertencente ao domínio da função, ou seja, considerando a função , o gráfico dessa função é:
Curvas de Nível, são escritas na forma f(x, y) = k, onde K é uma constante (imagem de f).
Exemplo: Na função , determine as curvas de nível para , , e 
Para encontrarmos as curvas de nível da função , substituímos f(x, y) pelos valores de k dados, veja a seguir:
Para , temos: 
Para , temos: 
Para , temos: 
Para , temos: 
Exercício Resolvido: Na função , encontre as curvas de nível para k = 0, e 
Para , temos: 
Para , temos: 
Para , temos: 
Exercícios do Módulo 2 – Introdução as Funções de Duas Variáveis
1) Assinale a alternativa que representa o domínio e a imagem da função f(x,y)=exy
a)D=R2 e Im=R+* b)D=R+ e Im=R c)D=R e Im=R d)D={(x,y)/y>x} e Im=R
e)D={(x,y)/y<x} e Im=R
2) Assinale a alternativa que representa o domínio da função .
a) b) / c) / 
d) / e) / 
3) Considerando a função f(x,y)=x2+3xy+y2, podemos dizer que:
a)f(1, 2)=11 b)f(1, 2)=5 c)f(1, 2)=8 d)f(1, 2)=0 e)f(1, 2)=10
4) Qual é a representação gráfica do domínio da função de duas variáveis ?
	
	
	
	
	
	
5) Considere as seguintes afirmações e assinale a alternativa correta:
I. O domínio da função é / 
II. O domínio da função é .
III. O domínio da função é / 
a) Apenas a alternativa I esta correta.
b) Apenas as alternativas II e III estão corretas.
c) Apenas as alternativas I e III estão corretas.
d) Todas as alternativas estão corretas.
e) Todas as alternativas estão incorretas.
6) Assinale a alternativa que representa o domínio da função ?
a) / b) / 
c) d) / e) / 
7) Qual é o domínio da função ?
a) D(f)={(x, y)/x + y>3 } b) D(f)={(x, y)/x>3} c) D(f)={(x, y)/x+y<3}
d) D(f)={(x, y)/ x+y>0} e) D(f)={(x, y)/ x+y<0}
8) Considerando a função f(x, y) = 2x+y2-16, pode-se dizer que:
a) f(0,0)=0 b) f(1, 2)=12 c) f(8, 0)=0 d) f(1,4)=4 e) f(4, 4)=16
9) Qual é o domínio da função ?
a) D(f)={(x,y)/2y-4x≥0} b) D(f)={(x,y)/2y-4x≥0} c) D(f)={(x,y)/2y-4x≤0}
d) D(f)={(x,y)/2y-4x≠0} e) D(f)={(x,y)/2y-4x≤0}
10) O domínio de uma função de duas variáveis do tipo é o conjunto de valores (x, y) do espaço real R² que pode ser testado na função. A imagem da função é o conjunto de valores que a variável dependente z pode assumir. Por exemplo, a condição de existência da função de duas variáveis dada por é: ↔ . O domínio da função é o conjunto / , esboçado na figura abaixo:
	
	A imagem da função é o conjunto / , pois, nesse caso, a expressão dada nos informa que z só pode resultar em valores positivos. Com base nas definições acima, assinale a alternativa correta.
a) O domínio da função é o conjunto / .
b) O domínio da função é o conjunto / .
c) A imagem da função é o conjunto / .
d) O domínio da função é o conjunto / .
e) A imagem da função é o conjunto / .
11) Considerando a função , podemos dizer que:
a) O domínio da função é: / .
b) O domínio da função é: / .
c) O domínio da função é: / 
d) O domínio da função é: / .
e) O domínio da função é: / .
12) Considerando a função , analise as afirmativas que seguem:
I) O domínio de g é / .
II) 
III) 
Está correto o que se afirma em:
a) I, apenas. b) II e III, apenas. c) I, II e III. d) III, apenas. e) I e III, apenas.
Gabarito: 1)a 2)c 3)a 4)a 5)b 6)a 7)a 8)c 9)a 10)b 11)b 12)c
Módulo 3: Derivadas Parciais – 1ª Ordem
As notações para as derivadas parciais são: ou ou 
Exemplo 1: Na função , as derivadas parciais de primeira ordem são:
 (Para encontrar a derivada parcial da função em relação a x, tratamos y como uma constante e derivamos a função em x)
 (Para encontrar a derivada parcial da função em relação a y, tratamos x como uma constante e derivamos a função em y)
Exemplo 2: Na função , as derivadas parciais de primeira ordem são:
 (Para encontrar a derivada parcial da função em relação a x, tratamos y como uma constante e derivamos a função em x)
 (Para encontrar a derivada parcial da função em relação a y, tratamos x como uma constante e derivamos a função em y)
Exercício Resolvido 1: Uma lata tem a forma de um cilindro de altura h (em cm) e raio r (em cm), a superfície da lata é dada pela função . Qual a derivada parcial da superfície em relação ao raio e a derivada parcial da superfície em relação à altura?
Para encontrarmos a derivada parcial da superfície de equação em relação ao raio, fazemos a derivada parcial em relação a r, .
Para encontrarmos a derivada parcial da superfície de equação em relação a altura, fazemos a derivada parcial em relação a h, .
Exercício Resolvido 2: Uma lata tem a forma de um cilindro de altura h (em cm) e raio r (em cm), o volume da lata é dado pela função . Qual a derivada parcial do volume em relação ao raio e a derivada parcial do volume em relação à altura?
Derivadas Parciais
Quando temos uma função de várias variáveis, temos que derivar em relação a uma das variáveis, daí o nome "parcial". Na prática, é só derivar em relação à variável em questão, pensando que as outras variáveis são constantes. Só isso!
Exemplo 1: Na função , lembrando que , as derivadas parciais de primeira ordem são: 
 (Para encontrar a derivada parcial da função em relação a x, tratamos y como uma constante e derivamos a função em x)
 (Para encontrar a derivada parcial da função em relação a y, tratamos x como uma constante e derivamos a função em y)
Exemplo 2: Na função , lembrando que as derivadas parciais de primeira ordem são:
 (Para encontrar a derivada parcial da função em relação a x, tratamos y como uma constante e derivamos a função em x)
 (Para encontrar a derivada parcial da função em relação a y, tratamos x como uma constante e derivamos a função em y)
Exemplo 3: Na função , lembrando que , as derivadas parciais de primeira ordem são:
 (Para encontrar a derivada parcial da função em relação a x, tratamos y como uma constante e derivamos a função em x)
 (Para encontrar a derivada parcial da função em relação a y, tratamos x como uma constante e derivamos a função em y)
Exemplo 4: Lembrando que , quais são as derivadas diferenciais da função ?
Exemplo 5: Na função , lembrando que , as derivadas parciais de primeira ordem são:
Exemplo 6: Na função , lembrando que , as derivadas parciais de primeira ordem são:
Exemplo 7: Na função , lembrando que: , as derivadas parciais de primeira ordem são:
Exemplo 8: Na função , lembrando que: , as derivadas parciais de primeira ordem são:
Lembre que: 
Exercício Resolvido: Encontre as derivadas parciais de primeira ordem da função .
Exercícios do Módulo 3: Derivadas Parciais
1) Considere a função f(x,y)=xsen(xy). A derivada de f em relação a x é:
a) sen(xy)+xysen(xy) b) sen(xy)+x2sen(xy) c) sen(xy)-xysen(xy)
d) sen(xy)-xycos(xy) e) sen(xy)+xycos(xy)
2) Considere a função f(x,y)=xsen(xy). A derivada de f em relação a y é:
a) xysen(xy) b) x2sen(xy) c) -x2cos(xy) d) x2cos(xy) e) xycos(xy)
3) Considere a função f(x,y)=ln(x2+y). A derivada de f em relação a x é:
a) b) c) d) e) 
4) Considere a função . A derivada de f em relação a y é:
a) b) c) d) e) 
5) Se f(x,y)=xseny, então a derivada da função f em relação a y é igual a:
a)seny b)-xcosy c)xcosyd)cosy e)x
6) Se f(x,y)=xseny, então a derivada da função f em relação a y é igual a:
a)seny b)-xcosy c)xcosy d)cosy e)x
7) Considere a função , a derivada é igual a:
a) b) c) d) e) 
8) Considere a função , a derivada é igual a:
a) b) c) d) e) 
9) Qual a derivada parcial de f(x,y)=x2-5xy2+y3 em relação a x?
a) fx=2x-5y²+y³ b) fx=2x-5y² c) fx=5y² d) fx=2x e) fx=2x-5xy²
10) Qual a derivada parcial de f(x,y)=x2-5xy2+y3 em relação a y?
a) fy=-10xy+3y² b) fy=x²-10xy+4y² c) fy=-5xy+3y² d) fy=-10xy+y³ e) fy=-5xy+y³
Sugestão :A
11) Qual a derivada parcial de f(x,y)=xexy em relação a x?
a) fx=exy b) fx=xy exy c) fx=exy(1+xy) d) fx=ey(1+xy) e) fx=ex
12) Considerando a função , podemos dizer que a derivada parcial no ponto (1, 2) é igual a:
a) 2 b) -2 c) -1 d) 1 e) 0,5
13) Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
I) Se então .
II) Se então .
III) Se então .
a) Apenas a afirmação I está correta. b) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
c) Apenas as afirmações I e III estão corretas. d) Todas as afirmações estão corretas.
e) Todas as informações estão incorretas.
14) Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
I) Se então .
II) Se então .
III) Se então 
a) Apenas a afirmação I está correta. b) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
c) Apenas as afirmações I e II estão corretas. d) Todas as afirmações estão corretas.
e) Todas as informações estão incorretas. 
Sugestão :C
15) Qual a derivada parcial de f(x,y)=xexy em relação a y?
a) fy=exy b) fy=exy(1+xy) c) fy=ey(1+xy) d) fy=ex e) fy=x² exy
16) Qual a derivada parcial da função f(x,y)=cos(2x+y) em relação a x?
a) fx=2sen(2x+y) b) fx=2seny c) fx=-sen(2x+y) d) fx=-2sen(2x+y) e) fx=-2cos(2x+y)
17) Qual a derivada parcial de f(x,y)=xcosy em relação a x?
a) fx=xcosy b) fx=seny c) fx=cosy d) fx=xseny e) fx=seny+xcosy
18) Qual a derivada parcial de f(x,y)=xcosy em relação a y?
a) fy=seny b) fy=cosy c) fy=-xseny d) fy=-xcosy e) fy=cosx
19) Considere a função f(x,y)=sen(5x+2y). A derivada parcial de f em relação a x é:
a) fx=-5cos(5x+2y). b) fx=5cos(5x+2y). c) fx=2cos(5x+2y). d) fx=5cosx. e) fx=5cos+2y.
20) Considere a função f(x,y)=sen(5x+2y). A derivada parcial de f em relação a y é:
a) fy=5cos(5x+2y). b) fy=2cos5x. c) fy=2cos(5x+2y). d) fy=-5cos(5x+2y). e) y=cos(5x+2y).
21) A equação de Clapeyron, também conhecida como equação de estado para um gás ideal ou gás perfeito, é dada por PV = nRT. Nessa equação, P é a pressão (em Pascal, Pa), V é o volume (em m³), T é a temperatura (em Kelvin, K) e n é o número de mols do gás ideal. Para as unidades indicadas, a constante universal dos gases, R, vale 8,31 J/mol K. Se mantivermos a quantidade de gás inalterada, o produto do número de mols por R pode ser expresso pela constante k = nR. Desse modo, é possível escrever a equação de forma resumida como PV = kT. Nesse caso, podemos observar que há três variáveis relacionadas entre si (P, V e T) e que uma delas é função das outras duas. Podemos explicitar P em função de V e de T do seguinte modo: . Observando a função de duas variáveis , assinale a alternativa correta.
a) A pressão é diretamente proporcional ao volume e à temperatura.
b) A pressão é inversamente proporcional ao volume e à temperatura.
c) A pressão é diretamente proporcional à temperatura e inversamente proporcional ao volume.
d) A taxa de variação da pressão em relação à temperatura é , confirmando que a pressão varia com a temperatura de forma diretamente proporcional ao volume.
e) A taxa de variação da pressão em relação ao volume é , confirmando que a pressão varia com o volume de forma diretamente proporcional à temperatura. 
22) Considerando a função , podemos dizer que:
a) fx(1,0)=1 b) fx(1,0)=-1 c) fx(1,0)=2 d) fx(1,0)=3 e) fx(1,0)=0 
23) Considerando a função , analise as afirmativas que seguem:
I. A derivada parcial em relação a x é .
II. A derivada parcial em relação a y é .
III. .
Está correto o que se afirma em:
a) I, apenas. b) II e III, apenas. c) I, II e III. d) III, apenas. e) I e II, apenas.
Respostas do módulo 3: 1)e 2)d 3)b 4)d 5)c 6)c 7)a 8)b 9)b 10)a 11)c 12)b 13)b 14)c 15)e 16)d 17)c 18)c 19)b 20)c 21)c 22)a 23)d
Módulo 4: Derivadas Parciais – 2ª Ordem
Observe que 
Exercício Resolvido 1: Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Seja f uma função de duas variáveis:
 e são as derivadas parciais de 1ª ordem.
 , , e são as derivadas parciais de segunda ordem.
Exercício Resolvido 2: Considere a função .
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
Para encontrarmos as derivadas parciais de segunda ordem da função
derivamos a função em relação a x e a y, veja a seguir:
 e 
E agora derivamos a função em relação a x e a y, veja a seguir:
Regra da Cadeia
	Suponha uma função de duas variáveis z = f(x,y), onde z depende das variáveis x e y, onde x e y são funções de t, ou seja, x = g(t) e y=h(t), para encontrarmos a derivada de z = f(x, y), em relação a t, fazemos:
Por exemplo, para a função , onde e temos que a derivada de z em relação a t é:
 e 
 e 
	Suponha uma função de duas variáveis z = f(x,y), onde z depende das variáveis x e y, onde x e y são funções de u e v, ou seja, x = g(u, v) e y=h(u, v), para encontrarmos a derivada de z=f(x,y), em relação a t, fazemos:
Por exemplo, para encontrar as derivadas e da função , onde x=u.v e y=u+v, fazemos:
 e 
 e 
 e 
Exercício Resolvido 1: Usando a regra da cadeia encontre , onde e e 
 e 
 e 
Exercício Resolvido 2: O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1,2 cm/s enquanto sua altura decresce à taxa de 1,8 cm/s. Qual a taxa de variação do volume do cone quando o raio é igual a 45 cm e a altura é igual a 60 cm?
O volume do cone é dado pela equação: . Logo o volume do cone depende das variáveis que são altura do cone e raio da base. As derivadas parciais são e .
O problema fornece duas informações importantes: (taxa de variação da altura do cone em relação ao tempo) e (taxa de variação do raio da base do cone em relação ao tempo).
O problema pede a taxa de variação do volume em relação ao tempo:
Substituindo r = 45 cm, h = 60 cm, (decresce) e (aumenta), temos:
Exercício Resolvido 3: O raio de um cilindro aumenta a uma taxa de 4,2 cm/s enquanto sua altura cresce à taxa de 3,6 cm/s. Qual a taxa de variação do volume do cilindro quando o raio é igual a 6 cm e a altura é igual a 18 cm?
 cm³/s
Exercícios do Módulo 4 – Derivadas Parciais de 2ª Ordem:
1) Dada a função , a derivada indicada é igual a:
a) b) –x c) (x-y)2 d) 2xy-2y2 e) 
2) A derivada , onde e é:
a) -10t+3t2-3 b) 2t-1 c) t2-2t+6 d) 6t-9t2-4 e) -6t+9t2+4t3+3
3) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam respectivamente à razão de 0,03cm/min e 0,06cm/min. Qual a taxa da variação do volume, em cm3/min, quando r=8cm e h=10cm?
a) 8,64π b) 57,6π c) π d) 18π e) 8,12π
4) Se f(x,y)=xseny, então a derivada da função f em relação a x é igual a:
a) xcosy b) seny c) xseny d) –xseny e) -cosy
5) As derivadas parciais em relação à variável x e em relação à variável y de uma função nos pontos em que existem, são indicadas, respectivamente, por e . Quando se deriva uma função do tipo em relação à variável x, observa-se a taxa de variação da função na direção de x, isto é, somente x é variável; os outros termos que aparecem na expressão matemática são considerados constantes.Quando se deriva uma função do tipo em relação à variável y, observa-se a taxa de variação da função na direção de y, isto é, somente y é variável; os outros termos que aparecem na expressão matemática são considerados constantes. Desse modo, assinale a alternativa correta.
a) A função , tal que , tem como derivadas parciais e .
b) A função , tal que , tem como derivadas parciais e .
c) A função , tal que , tem como derivadas parciais e .
d) A função , tal que , tem como derivadas parciais e .
e) A função , tal que , tem como derivadas parciais e .
6) Considere as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.
I) Se então 
II) Se então 
III) Se então 
a) apenas as afirmações II e III estão corretas.
b) todas as afirmações estão corretas.
c) todas as informações estão incorretas.
d) apenas a afirmação I está correta.
e) apenas as afirmações I e II estão corretas.
7) Quais as derivadas parciais de primeira ordem da função ?
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
8) Qual a derivada parcial da função f(x,y)=cos(2x+y) em relação a y?
a) fy=2sen(2x+y) b) fy=-2sen(2x+y) c) fy=2seny d) fy=-sen(2x+y) e) fy=-2cos(2x+y)
9) Quais as derivadas parciais de 1ª ordem da função ?
a) fx=yexy.lny e fy=xexy.lny b) fx=yexy.lny e fy=exy/y c) fx=yexy.lny e fy=exy(x.lny+1/y)
d) fx=yexy.lny e fy=exylny e) fx=xexy.lny e fy=exy(y.lny+1/y)
10) Qual a derivada parcial de em relação a y?
a) b) c) d) e) 
11) Qual a derivada parcial de em relação a x?
a) b) c) 
d) e) 
Sugestão :E
12) O raio r e altura h de um cilindro circular reto aumentam à razão de 0,01 cm/min e 0,02 cm/min, respectivamente. A que taxa a área (A=2πrh) está variando quando r = 4 cm e h = 8 cm?
a) 0,32 π b) 0,16 π c) 0,64 π d) 32 π e) 64 π
Respostas do Módulo 4: 1)e 2)e 3)a 4)b 5)c 6)e 7)b 8)d 9)c 10)d 11)e 12)a
Módulo 5: Derivadas Direcionais
Considere a função , as derivadas parciais e representam as taxas de variação de z na direção dos eixos x e y. Neste módulo estamos interessados em determinar a taxa de variação na direção de um vetor unitário qualquer.
	
: Derivada direcional
Versor: 
Exemplo: Para determinar a derivada direcional da função no ponto P(1, -2) na direção do versor u=(0,8; -0,6) devemos primeiramente achar as derivadas parciais e .
Agora devemos substituir os valores encontrados em:
Exercício Resolvido: Encontrar a derivada direcional de no ponto P(1, 1) na direção do versor .
Vetor Gradiente e Derivada Direcional
	O gradiente de f(x, y) é uma função vetorial definida por: 
Por exemplo, o gradiente da função no ponto P (1, 0) é:
Derivada Direcional: 
	Relembrando
Produto Escalar
Dados dois vetores e , o produto escalar entre os vetores u e v é o número real denotado por .
Módulo de um vetor
Versor
(versor de u): mesma direção de u, mesmo sentido de u e módulo igual a 1.
Por exemplo, para determinar a derivada direcional da função no ponto P(2, 4) na direção do vetor v=(1, 2) devemos encontrar o vetor gradiente de f:
O módulo do vetor v= (1, 4) é , devemos encontrar um versor de v (mesma direção de v, mesmo sentido de v e módulo 1):
Agora encontramos a derivada direcional, fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente e o versor de v:
Exercício Resolvido: Determinar a derivada direcional de no ponto (1, -1) na direção do vetor u = (3, 4).
Taxa máxima de variação
	O vetor gradiente fornece a direção de maior crescimento da função.
O valor máximo da derivada direcional é o módulo do vetor gradiente.
Considere a função .
a) Primeiramente vamos encontrar a derivada direcional de no ponto P(1, 1) na direção de P a Q(2, 6).
Vamos encontrar a derivada direcional de no ponto P(1, 1) na direção do versor 
Agora vamos calcular o módulo do vetor gradiente:
Como podemos perceber a maior taxa de variação (4,24) ocorreu na direção do vetor gradiente (3, 3).
Exercício Resolvido: Suponha que a temperatura T(x, y), em graus Celsius, em um ponto (x, y) seja dada pela função , onde x e y são dados em metros. Em que direção o ponto (1, 2) a temperatura aumenta mais rapidamente?
Ocorre mais rapidamente na direção do vetor gradiente:
Exercícios do Módulo 5: Derivadas Direcionais
1) Considere a função f(x,y)=x3y2. A derivada de f no ponto P(1,-1) na direção do vetor u = 2i + j é igual a:
a) b) c) d) 4 e) 8
2) Considere a função f(x,y)=ln(x2+y2). O gradiente de f em P(1,2) é igual a:
a) 0,8i + 0,4j b) 2i + 4j c) 0,4i + 0,8j d) 2i - 4j e) 0,4i - 0,8j
3) Considere a função f(x,y)=sen(xy). A taxa máxima de variação de f no ponto P(1,0) é:
a) 1,41 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) 3
4) Considere a função . Qual a derivada direcional de f no ponto P(-2, 4) e na direção de .
a) b) c) d) e) 
5) Qual a derivada direcional de f(x,y)=x2ey em P(3,0) na direção de Q(6,4)?
a) 15 b) 54 c) 12,6 d) 1,8 e) 10,8
6) Qual a direção na qual a função f(x,y)=x2+xy cresce mais rapidamente em P(1,1)?
a) 3i + j b) 3i – j c) -3i + j d) -3i – j e) 2i + j
7) Qual o valor da derivada direcional de f(x, y)=x.ey no ponto P(2,0) na direção do versor u = (-3/5, 4/5)?
a) 1 b) 2 c) 5 d) 2,6 e) 1,42
8) Em qual direção a função f(x,y)=x2y+exy.seny, cresce mais rapidamente em P(1,0)?
 
a) -2j b) j c) 2j d) i + j e) –i - j
9) Qual é a taxa de variação máxima da função f(x,y)=x2y+exyseny em P(1,0)?
a) 1 b) 2,5 c) 1,41 d) 2 e) 1,5
10) Qual o vetor gradiente de f(x,y,z)=x2yz3 no ponto P(1,1,1)?
a) 2i + j – k b) 2i + j + 3k c) i + 2j + 3k d) i + k e) i + 2j + k
11) Qual o vetor gradiente de f(x,y,z)=x2yz3 no ponto P(1,1,1)?
a) 2i + j – k b) 2i + j + 3k c) i + 2j + 3k d) i + k e) i + 2j + k
12) Qual o vetor gradiente de f(x,y,z)=x2yz3 no ponto P(1,1,1)?
a) 2i + j – k b) 2i + j + 3k c) i + 2j + 3k d) i + k e) i + 2j + k
13) Qual o vetor gradiente de f(x,y,z)=x2yz3 no ponto P(1,1,1)?
a) 2i + j – k b) 2i + j + 3k c) i + 2j + 3k d) i + k e) i + 2j + k
14) Qual o vetor gradiente de f(x,y,z)=x2yz3 no ponto P(1,1,1)?
a) 2i + j – k b) 2i + j + 3k c) i + 2j + 3k d) i + k e) i + 2j + k
15) Qual o vetor gradiente de f(x,y,z)=x2yz3 no ponto P(1,1,1)?
a) 2i + j – k b) 2i + j + 3k c) i + 2j + 3k d) i + k e) i + 2j + k
16) Qual o vetor gradiente de f(x,y,z)=x2yz3 no ponto P(1,1,1)?
a) 2i + j – k b) 2i + j + 3k c) i + 2j + 3k d) i + k e) i + 2j + k
17) A taxa máxima de variação de f(x,y,z)=x2yz3 no ponto P(1,1,1) é:
a) b) c) d) e) 14
18) Qual a direção na qual a função f(x,y)=xy2+2y cresce mais rapidamente em P(1,1)? 
a) 4i + j b) i - 2j c) i + 2j d) i + 4j e) –i - 4j
19) Qual a derivada direcional de f(x,y)=xey+cos(xy) no ponto P(1,0) na direção do vetor v = i + j ?
a) b) 2 c) 4 d) e) 
20) Qual é a derivada direcional de em P(4, 0) na direção de v = -i+3j
a) 35 b) c) d) 13 e) 
21) Considere a função f(x,y)=2x2y+4xy+5x. O vetor gradiente de f no ponto P(0,-1) é:
a) (0, 1) b) (2, 1) c) (1, 0) d) (1, -4) e) (2, 7)
22) Considere a função f(x,y)=x2+xy+y2. Qual o vetor gradiente de f no ponto P(2,4)?
a) (0, 8) b) (10, 8) c) (8, 10) d) (1, 1) e) (0, -8)
23) Qual a derivada direcional de f(x,y)=x2e4y em P(-1, 0) na direção de P a Q(-1,2)?
a) 12 b) -6 c) 4 d) 10 e) -16
24) Qual a taxa de variação máxima de no ponto (1, 1)? Em qual direção isso ocorre?
a) A taxa devariação máxima é e ocorre na direção de .
b) A taxa de variação máxima é e ocorre na direção de 
c) A taxa de variação máxima é e ocorre na direção de 
d) A taxa de variação máxima é 1 e ocorre na direção de .
e) A taxa de variação máxima é e ocorre na direção de 
Respostas dos Exercícios do Módulo 5: 1)c 2)c 3)b 4)a 5)d 6)a 7)a 8)c 9)d 10)b 11)b 12)b 13)b 14)b 15)b 16)b 17)d 18)d 19)d 20)b 21)c 22)c 23)c 24)c
Módulo 6: Revisão de Integrais
Uma primitiva da função é a função , pois: .
Uma primitiva da função é a função , pois: .
Uma primitiva da função é a função , pois: 
	Tabela de Primitivas Imediatas
	
	
	
	
	
	
	
	
Propriedades Importantes das Integrais
	
Observe os exemplos a seguir:
	Teorema Fundamental do Cálculo
	
Exemplo 1:
Exemplo 2: = 
Exemplo 3: 
Integrais por substituição
	Técnica para o Cálculo de Integral: Integração por Substituição
	
Exemplo 1: 
Exemplo 2:
Exemplo 3:
Exemplo 4:
	Importante: 
Exemplo 5: 
	Importante: 
Exemplo 6: 
	Importante: 
Exemplo 7: Suponha que a equação da velocidade v (em cm/s) de um ponto material em função do tempo t (em segundos) seja v(t) = 6t + 4. Sabendo que, no instante 0 s, o ponto material encontra-se na posição 15 cm, determine a equação do espaço (em centímetros) em função do tempo.
Integrais por partes
	Técnica para o cálculo de Integral: Integração por Partes
	
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3:
Exemplo 4:
Exemplo 5:
Neste exemplo, utilizamos a técnica de integrais por substituição e integral por partes.
Exemplo 6: Resolva a integral pelo método da substituição: .
Exercícios do Módulo 6: Revisão de Integrais
1) Calculando a integral , obtemos:
a) 6x - 2 b) 3x3 - 4x2 + C c) x3 + 2 d) x3 - 2x2 + C e) x3 + 4x + C
2) Resolvendo a integral , obtemos: 
a) 5x2 – x + C b) 5x2 + C c) 10x2 – x + C d) 5x + C e) 20x2 + x + C
3) Resolvendo a integral , obtemos:
a) b) c) d) e) 
 
4) Resolvendo a integral definida , obtemos:
a) 10 b) -3 c) -1 d) 2 e) 1
 
5) Considere as seguintes afirmações e assinale a alternativa correta.
I) 
II) 
III) 
a) Apenas a afirmativa I está correta.
b) Apenas a afirmativa II está correta.
c) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
d) Todas as afirmativas estão corretas.
e) Todas as afirmativas estão incorretas.
Sugestão :C
6) Resolvendo a integral , obtemos: 
a) x2 + senx + C b) x2 – cosx + C c) x2 – senx + C d) 2x – senx + C e) 2x + cosx + C
7) Considere as seguintes afirmações e assinale a alternativa correta.
I) A função é uma primitiva da função .
II) A função é uma primitiva da função .
III) A função é uma primitiva da função .
a)Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
b)Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
c)Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
d)Todas as afirmativas estão corretas.
e)Todas as afirmativas estão incorretas.
8) Calculando a integral , obtemos:
a) b) c) d) e) 
Respostas do módulo 6: 1)d 2)a 3)b 4)c 5)c 6)a 7)d 8)d
Módulo 7: Integrais Duplas
	
Ou
Exemplo 1: 
No exemplo acima integramos a função em relação a y e depois em relação a x.
Exemplo 2: 
No exemplo acima integramos a função em relação a x e depois em relação a y.
	Propriedades das Integrais
Exemplo 3: Ou 
Exemplo 4: Ou 
Exemplo 5: 
Ou 
Exemplo 6: Calcule a integral dupla .
Volume de um Sólido
	
Considere a função . O volume de um sólido acima da região de integração e abaixo a superfície é calculado por meio da integral dupla:
Exemplo 1: Com base na definição acima calcule o volume do sólido abaixo da superfície e acima de .
Exemplo 2: Calcule a integral dupla , onde R é o retângulo 
Exemplo 3: Calcule a integral dupla 
Integrais duplas sobre regiões genéricas (1º Caso)
Região de Integração do tipo I.
Exemplo 1: Calcular , onde D é a região limitada pela reta y = x e pela parábola y = x².
Esboço gráfico da região de integração:
Neste caso devemos usar a seguinte equação:
	
 e 
Exemplo 2: Calcular , onde 
Exemplo 3: Calcular , onde .
Exercícios do Módulo 7: Integrais Duplas 1° caso
1) Calculando a integral dupla , onde obtemos:
a) 12 b) 1 c) 2 d) 1,5 e) 3,5
2) Calculando a integral obtemos:
a) 12 b) 1 c) 2/3 d) 1/12 e) 2
3) Calculando a integral dupla , obtemos:
a) 312 b) 132 c) 64 d) 32 e) 16
4) Calculando a integral dupla , obtemos:
a) e – 1 b) 0,5e - 0,5 c) 0,5e d) e – 2 e) 2e
5) Calculando a integral dupla: , obtém-se: 
a) 8 b) -8 c) 16 d) 0 e) 2
6) Calculando a integral dupla , obtemos:
a) 10 b) 5 c) 12 d) -20 e) -10
7) Calculando a integral dupla , obtemos:
a) e2 b) e2-1 c) 2e2 d) e+2 e) e-2
8) Calculando a integral obtemos: 
a) 12 b) 2 c) 3 d) -12 e) 0
Respostas Integrais duplas 1° caso: 1)c 2)d 3)a 4)b 5)c 6)a 7)b 8)c
Integrais Duplas sobre regiões genéricas. (2º caso)
Região de integração do tipo II.
Exemplo 1: Calcular , onde D é a região limitada pela reta e pela parábola 
Esboço gráfico de integração: 
Neste caso devemos usar a seguinte equação:
	
Exemplo 2:Calcular , onde 
Exemplo 3:Calcular , onde 
Integrais Duplas em coordenadas polares
Exemplo 1: Por meio de coordenadas polares, calcule a integral:
, onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência .
Exemplo 2:. Para calcular o volume de um sólido limitado pelo plano e pelo parabolóide devemos calcular a integral dupla em coordenadas polares.
, deve ser substituído por: , pois 
Exemplo 3: Calcule onde R é a região do semipleno superior limitado pelos círculos e 
Integrais Duplas. Exercícios Gerais.
Exemplo 1:. Calcular a integral dupla .
Lembre-se que:
.
Exemplo 2:. Calcular a integral dupla 
Exemplo 3:. Calcular a integral dupla 
Exemplo 4:Calcular , onde 
Exercícios do Módulo 7: Integrais Duplas 2° caso e Integrais Polares
1) Calculando a integral dupla: , obtém-se:
a) 5 b) 6 c) 1/6 d) – 5 e) 5/6 
2) Resolvendo por meio de coordenadas polares a integral , onde R é a região limitada pelo círculo de raio 1, obtemos:
a) π/2 b) 2 π / 9 c) 2 π / 7 d) 2 π e) 7 π / 2
 
3) Resolvendo por meio de coordenadas polares a integral , onde R é a região limitada pelo círculo de raio 1, obtemos:
a) π / 9 b) 2 π / 9 c) π d) 2 / 9 e) 3 π / 9
 
4) Resolvendo a integral dupla , obtemos:
a) 0 b) 2 c) -4 d) -2 e) 10
5) Calculando a integral obtemos:
a) 100 b) 12 c) -6 d) 6 e) 15
6) Resolvendo a integral dupla , obtemos:
a) -1 b) -12 c) 1 d) -3,14 e) 0
Resposta dos Exercícios de Integrais Duplas 2° caso e Integrais Polares: 1)e 2)c 3)b 4)b 5)d 6)c
EXERCÍCIOS EXTRAS
 
1) Quais são as derivadas parciais de 1ª ordem da função ?
a) fx=exy(2x+x2y+3y2) e fy=exy(3+x3+3xy) b) fx=exy(2x+x2+3y) e fy=exy(3+x2+3y)
c) fx=exy(2x+x2y) e fy=exy(3+x3) d) fx=2xexy+x2y+3y2 e fy=3exy+x3+3xy e) fx=2xexye fy=3exy
correta: A
2) Qual a derivada direcional de f(x,y)=x2ey+cos(xy) no ponto P(2,0) na direção do vetor v=2i+j?
a) b) c) d) e) 
3) Considere a função . Qual é o gradiente de f no ponto P(1, -1)?
a) i – j b) 2i + j c) 3j d) 1,5i + 7j e) 0,5i - 1,5j 
4) Considere a função f(x,y)=x2y+3xy+y2. Qual é o vetor gradientede f no ponto P(0,3)?
a) 9i + 6j b) 15i + 6j c) 6i + 9j d) 12i + 6j e) 10i + 6j
5) Qual a derivada direcional de f(x,y)=2x2y3+4xy em P(1,1), na direção do vetor v=i+2j?
a) b) c) 18 d) 28 e) 28
6) Resolvendo a integral , obtemos:
a) 14 b) 0,3 c) 1,5 d) 3,3 e) 12 
7) Resolvendo a integral , obtemos:
a) 12 b) 20 c) 3 d) -3 e) 40
8) Resolvendo a integral , obtemos:
a) 9 b) 27 c) 9,2 d) 18 e) 4,5
9) Resolvendo a integral , obtemos:
a) 2 / 15 b) 7 / 15 c) 2 d) 1 / 5 e) 1 / 3
10) Resolvendo a integral , obtemos:
a) 20 b) 25 c) 15 d) 2 e) 5
11) Considere a função f(x,y)=x2+xy+y2. Qual é o vetor gradiente de f no ponto P(2, 4)?
a) (5, 10) b) (6, 8) c) (5, 15) d) (8, 8) e) (8, 10)
12) Considere a função f(x,y)=x.lnxy. Qual é o vetor gradiente de f no ponto P(1, 1)?
a) (0, 1) b) (1, 1) c) (1, 0) d) (0, 2) e) (-1, 1)
13) Considere a função f(x,y)=xey+ysenx. A derivada parcial de f em relação a x é:
a) fx=ey+cosx b) fx=ey+ycosx c) fx=x+cosx d) fx=x+y e) fx=ey-ycosx
14) Considere a função f(x,y)=xey+ysenx. A derivada parcial de f em relação a y é:
a) fy = xyey + cosx b) fy = yey + cosx c) fy = xyey + ysenx d) fy = xey + senx e) fy = xey + cosx
15) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam a uma taxa de 0,3cm/s e 0,5cm/s, respectivamente. Qual é a taxa de variação do volume, em cm³/s, quando o raio é igual a 5cm e a altura é igual a 8cm? Dado: 
a) b) c) d) e) 
16) Qual o gradiente de em P(-3, 4)?
a) 3i + 2j b) i + j c) -0,6i + 0,8j d) i - 0,8j e) 2i + j
17) Qual é a taxa de variação máxima de f(x,y)=x2seny no ponto P(1, 0)?
a) 1 b) 3 c) 2 d) 10 e) 2,24
18) Considere a função f(x,y)=xlny. Assinale a alternativa que representa as derivadas parciais fx e fy:
a) fx=lny e fy=x/y b) fx=x²/y e fy=x/y c) fx=x+x/y e fy= xlny+x/y d) fx=x e fy=lny
e) fx=xlny e fy=lny
19) Calculando a integral obtemos:
a) -36 b) 64 c) 36 d) 18 e) 24
20) Calculando a integral obtemos:
a) 12,6 b) 0,37 c) -3,7 d) 1,25 e) 7,5
21) Calculando a integral obtemos:
a) 27 b) -27 c) -81 d) 81 e) 9
22) Considere a função f(x,y)=ln(x2+y2). Qual é o vetor gradiente de f no ponto P(1,1)?
a) (1,2) b) (-1,2) c) (1,-2) d) (1,5) e) (1,1)
23) A derivada direcional de f(x,y)=xey+cos(xy) no ponto P(2, 0) na direção do vetor u=(3, -4) é igual a:
a) 12 b) 1 c) 7/5 d) -1 e) 2/5
24) Calculando o gradiente de f(x,y)=x.e5y em P(3, 0) obtemos:
a) i + j b) 1 - 5j c) i + 15j d) 2 + 3j e) 16
25) A derivada direcional de f(x,y)=x2lny no ponto P(5, 1) na direção do vetor v=(3/5, 4/5) é igual a:
a) 103/5 b) 12 c) 3/5 d) -20 e) 20
26) A derivada direcional de f(x, y)= 3xy2+x2y em P(1, 1) na direção de P a Q(3, 2) é igual a:
a) b) c) d) e) 25
27) Para a função f(x,y)=4x2y3-10y+x3, temos:
a) fxy = 8xy3 + 3x2 b) fxy = 12x2y2 – 10 c) fxy = 8xy2 d) fxy = 24xy3 + 3x2 e) fxy = 24xy2
28) Resolvendo a integral dupla , obtemos:
a) 18 b) 81 c) 9 d) 27 e) 27/2
29) Quais são as derivadas parciais de 1ª ordem da função f(x,y)=senx.cosy?
a) fx=cosxy e fy=senxy b) fx=cosxcosy e fy=-senxseny c) fx=cosxseny e fy=-cosxseny
d) fx=cosx e fy=-seny e) fx=senxcosy e fy=-senxseny
30) Considere a função f(x,y)=cos(3x+6y). Assinale a alternativa que representa as derivadas parcias fx e fy.
a) fx=fy=-sen(3x+6y) b) fx=-3sen(3x+6y) e fy=-6sen(3x+6y) c) fx=3sen(3x+6y) e fy=6sen(3x+6y)
d) fx=fy=sen(3x+6y) e) fx=-6sen(3x+6y) e fy=-3sen(3x+6y)
31) Quais são as derivadas parciais de primeira ordem da função ?
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
32) Quais as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y)=x.cos(4y)?
a) e b) e 
c) e d) e 
e) e 
33) Quais as derivadas parciais de primeira ordem da função ?
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
34) A altura de um cone circular reto é de 12 cm e está aumentando a uma taxa de 0,3 cm/min.
O raio da base é 5 cm e está diminuindo a uma taxa de 0,1 cm/min. Qual a taxa de variação do volume? Dado: 
a) 1,5 cm³/min b) 6,5 cm³/min c) -6,5 cm³/min d) -1,5 cm³/min e) 100 cm³/min
35) Quais as derivadas parciais de primeira ordem da função 
a) e b) e 
c) e d) e 
e) e 
36) Quais as derivadas parciais de primeira ordem da função ?
a) e b) e c) e 
d) e e) e 
37) Quais são as derivadas parciais de 1ª ordem da função 
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
38) O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula onde r representa a medida do raio da base e h a altura do cilindro. Qual a taxa de variação do volume em função do raio? Qual a taxa de variação do volume em função da altura?
a) e b) e c) e 
d) e e) e 
39) Quais são as derivadas parciais de 1ª ordem da função f(x, y) = xy.sen(2y)?
a) fx=ysen(2y) e fy=xcos(2y) b) fx=ycos(2y) e fy=2xycos(2y) 
c) fx=ysen(2y) e fy=2xycos(2y) d) fx=ysen(2y) e fy=xsen(2y)+0,5xycos(2y)
e) fx=ysen(2y) e fy=xsen(2y)+2xycos(2y)
40) Resolvendo a integral dupla , obtemos:
a) 45 b) 54 c) 15 d) 0 e) 12,5
41) Considere a função . Qual é a derivada direcional de f no ponto P(1, 1) na direção do vetor ?
a) 0,5 b) 1,5 c) 0,2 d) 0,8 e) (-0,6; 0,8)
42) Qual a derivada direcional de no ponto na direção de P a ?
a) 3,6 b) 4,8 c) (6, 0) d) 0 e) 1,4
43) Qual a derivada direcional de f(x, y) = x/y, no ponto P(-1, 2) na direção de P a Q(1, 3)?
a) b) c) d) e) 
44) Considere a função f(x, y) =x/y. Em que direção f no ponto P(2, -4) tem a máxima taxa de variação? Qual é taxa máxima de variação?
a) . Taxa máxima igual a b) Taxa máxima igual a .
c) . Taxa máxima igual a d) . Taxa máxima igual a 
e) . Taxa máxima igual a .
45) Considere a função . Qual é a derivada direcional de f no ponto P(1, 0) na direção do vetor 
a) 0 b) 10 c) 0,36 d) 0,64 e) 2,2
46) Considere a função . Qual é a taxa de variação máxima de f no ponto P(1, 2)?
a) b) 2,5 c) 1 d) e) 
47) Resolvendo a integral dupla obtemos:
a) 5 b) 1 c) 7 d) 13 e) 8
48) Resolvendo a integral dupla , obtemos:
a) 25 b) 4 c) 16 d) 2 e) 27
49) Quais são as derivadas parciais de primeira ordem da função ?
a) e b) e c) e 
d) e e) e 
50) Uma lata de óleo tem um formato de um cilindro, sua área total é dada pela função . Qual é a taxa de variação da área total da lata de óleo em relação ao raio? Qual é a taxa de variação da área total da lata de óleo em relação à altura?
a) b) 
c) d) 
e) 
51) Quais são as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y)=sen(2x+16y)?
a) fx=-2cos(16y) e fy=-16cos(2x) b) fx=2cos(16y) e fy=16cos(2x) 
c) fx=2cos(2x+16y) e fy=16cos(2x+16y) d) fx=cos(2x+16y) e fy=cos(2x+16y)
e) fx=2sen(2x+16y) e fy=16sen(2x+16y)
52) Considerando a função de duas variáveis f(x, y)=10sen(2x+5y), podemos dizer que:
a) fx=10cos(2x+5y) b) fy=2cos(2x+5y) c) fx=5cos(2x+5y) d) fy=50cos(2x+5y)
e) fx= -10cos(2x+5y)
Respostas dos Exercícios Extras: 1)a 2)a 3)e 4)a 5)b 6)b 7)c 8)e 9)a 10)c 11)e 12)b 13)b 14)d 15)b 16)c 17)a 18)a 19)b 20)c 21)d 22)e 23)d 24)c 25)e 26)a 27)e 28)b 29)b 30)b 31)b 32)a 33)b 34)d 35)c 36)e 37)d 38)a 39)e 40)b 41)c 42)a 43)a 44)b 45)e 46)d 47)a 48)e 49)b 50)a 51)c 52)dT A B E L A D E D E R I V A D A S
	
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	Cálculo Diferencial e Integral com várias Variáveis Reais
17
	FUNÇÃO
	DERIVADA DA FUNÇÃO
	01) y = k
	y' = 0 
	02) y = x 
	y' = 1
	03) y = ku 
	y' = ku'
	04) y = u + v 
	y' = u' + v'
	05) y = uv
	y' = u'v + uv' 
	06)
	
	07) y = un, 
	y' = n.un - 1.u'
	08) y = au (a > 0, )
	
	09) y = eu
	y' = eu. u' 
	10) 
	 
	11) y = uv (u > 0) 
	
	12) y = ln u
	
	13) y = sen u
	y' = cos u.u' 
	14) y = cos u
	y' = - sen u.u' 
	15) y = tg u
	y' = sec2u.u' 
	16) y = sec u
	y' = sec u . tg u . u' 
	17) y = cotg u 
	y' = - cosec2u.u'
	18) y = cosec u 
	y' = - cosec u . cotg u . u'
	19) y = arc sen u 
	
	20) y = arc cos u 
	
	21) y = arc tg u 
	
	22) y = arc cotg u
	
	23) y = arc cosec u, 
	, |u| > 1 
	24) y = arc sec u, 
	, |u| > 1 
	25) y = senh u
	y' = (cosh u).u' 
	26) y = cosh u
	y' = (senh u).u' 
	27) y = tgh u
	y' = (sech2 u).u' 
	28) y = cotgh u
	y' = (-cosech2 u).u' 
	29) y = sech u
	y' = (-sech u).(tgh u).u' 
	30) y = cosech u
	y' = (-cosech u).(cotgh u).u' 
	31) y = arg senh u
	
	32) y = arg cosh u
	, u > 1 
	33) y = arg tgh u
	, |u| < 1 
	34) y = arg cotgh u
	, |u| > 1 
	35) y = arg sech u
	, 0 < u < 1 
	36) y = arg cosech u
	,
	37) y = f(g(x))
	y' = f ' (g(x)). g'(x)
	38) y = loga |u|
	
  
 
	u, v, h = funcões 
k, n, a = constantes 
arc sen u = sen-1  
arc cotg u = cotg-1
	arc cos u = cos-1  
arc cosec u = cosec-1  
arc tg u = tg-1  
arc sec u = sec-1