Elementos de Máquinas Engrenagem

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Engrenagens 
 
 
 
 
1 
Engrenagens 
 
 
1. Introdução 
2. Tipos de engrenagens 
3. Trens de engrenagens 
4. Nomenclatura 
5. Lei Fundamental das Engrenagens 
6. Perfil do dente 
7. Ângulo de pressão 
8. Geometria de contato 
9. Interferência 
10. Razão de contato 
11. Pinhão e cremalheira 
12. Alteração na distância entre centros 
13. Engrenagens de dentes retos 
14. Engrenagens de dentes helicoidais 
15. Engrenagens cônicas 
16. Engrenagens cônicas helicoidais 
17. Engrenagens cônicas hipóides/espiróides 
18. Parafuso sem-fim/coroa 
19. Resistência em dentes de engrenagens cilíndricas retas 
20. Tensões em engrenagem 
21. Dimensionamento de Engrenagens - Fórmula Lewis 
22. Rendimento de engrenagens 
23. Materiais usados em engrenagens 
24. Lubrificação de engrenagens 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
2 
1 - Introdução 
 
Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade 
angular em diversas aplicações. Existem várias opções de 
engrenagens de acordo com o uso a qual ela se destina. 
 
A maneira mais fácil de se transmitir rotação motora de um 
eixo a outro é através de dois cilindros. Eles podem se tocar 
tanto internamente como externamente. Se existir atrito suficiente 
entre os dois cilindros o mecanismo vai funcionar bem. Mas a 
partir do momento que o torque transferido for maior que o atrito 
ocorrerá deslizamento. 
 
Com o objetivo de se aumentar o atrito entre os cilindros, 
fez-se necessária a utilização de dentes que possibilitam uma 
transmissão mais eficiente e com maior torque. Nasce assim a 
engrenagem. 
 
Todo estudo da engrenagem estará concentrado no estudo de seus 
dentes, iguais em uma mesma engrenagem, relativo à sua geometria e 
resistência. 
 
 Neste capítulo de engrenagens, usaremos algumas variáveis que 
estão definidas abaixo, as demais serão definidas ao longo do 
texto: 
 
W 
Wr 
Wt 
Wa 
N 
e 
m 
P 
dp 
mc 
 
n 
t 
 
-Força aplicada 
-Componente radial da força W 
-Componente tangencial da força W 
-Componente axial da força W 
-Número de dentes de uma engrenagem 
-Relação de velocidades 
-módulo 
-passos diametrais 
-diâmetro primitivo 
-razão de contato 
-ângulo de pressão 
-ângulo de pressão normal 
-ângulo de pressão transversal 
-ângulo de hélice 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
3 
 
2 - Tipos de engrenagens 
 
As engrenagens como elementos de transmissão de potência se 
apresentam nos seguintes tipos básicos: 
 
 
 
 
3 - Trem de engrenagens 
 
Um trem de engrenagens é um acoplamento de duas ou mais 
engrenagens. Um par de engrenagens é a forma mais simples de se 
conjugar engrenagens e é freqüentemente utilizada a redução máxima 
de 10:1. 
 
Trens de engrenagens podem ser simples, compostos e 
planetárias. 
 
Trens de engrenagens simples 
 
Trens de engrenagens simples são aqueles que apresentam apenas 
um eixo para cada engrenagem. A relação entre as duas velocidades 
é dada pela equação 1: 
 
 
(1) 
 
 
A figura mostra um jogo de engrenagens com 5 
engrenagens em série. A equação para a relação de 
velocidades é: 
 
 
 
(2) 
Cada jogo de engrenagem influi na relação das 
velocidades, mas no caso de trens simples, o valor 
numérico de todas as engrenagens menos a primeira e 
a última são cancelados. As engrenagens 
intermediárias apenas influem no sentido de rotação 
da engrenagem de saída. Se houver um número par de 
engrenagens o sentido de rotação da última será 
oposto ao da primeira. Havendo um número impar de 
saida
ent
saída
ent
saida
ent
N
N
d
d
r
r
e 
6
2
6
5
5
4
4
3
3
2
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
e 
























 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
4 
engrenagens, o sentido permanecerá o mesmo. É interessante notar 
que uma engrenagem de qualquer número de dentes pode ser usada 
para modificar o sentido de rotação sem que haja alteração na 
velocidade, atuando como intermediária. 
 
 
Trens de engrenagens compostos 
 
Para se obter reduções maiores que 10:1 é necessário que se 
utilize trens de engrenagens compostos. O trem composto se 
caracteriza por ter pelo menos um eixo no qual existem mais de uma 
engrenagem. 
 
 
 
A figura acima mostra um trem composto de quatro engrenagens. 
A relação das velocidades é: 
 
(3) 
 
 
Esta equação pode ser generalizada para qualquer número de 
engrenagens no trem como: 
 
 e =  produto do número de dentes das engrenagens motoras (4) 
 produto do número de dentes das engrenagens movidas 
 
Note que as engrenagens intermediárias influem diretamente no 
processo de determinação da velocidade de saída e de entrada. 
Assim uma relação mais elevada pode ser obtida apesar da limitação 
de 10:1 para trens individuais. O sinal positivo ou negativo na 
equação depende do número e do tipo de disposição das engrenagens, 
internas ou externas. 
 













5
4
3
2
N
N
N
N
e
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
5 
Trens de engrenagens planetária 
 
São trens de engrenagem com dois graus de liberdade. Duas 
entradas são necessárias para obter uma saída. Normalmente se usa 
uma entrada, um sistema fixo e uma saída. Em alguns casos como em 
diferencial de automóveis uma entrada é usada para se obter duas 
saídas, uma para cada roda. 
 
 
 
A relação de velocidades pode ser calculada pela fórmula: 
 
12
13
NN
NN
e



 (5) 
 
Em uma forma mais gerais: 
 
braçosaida
braçoent
NN
NN
e



 (6) 
 
onde: 
 Nent = número de rotações por minuto da engrenagem de entrada 
 Nsaída = número de rotações por minuto da engrenagem de saída 
 Nbraço = número de rotações por minuto do braço 
 
Trens planetários apresentam algumas vantagens, como relações 
de velocidades maiores usando engrenagens menores, saídas 
bidirecionais, concentricidade. Estas fatores fazem com que o 
engrenamento planetário seja largamente utilizado em transmissões 
de automóveis e caminhões. 
 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
6 
4 - Nomenclatura 
 
O círculo primitivo é a base do dimensionamento das 
engrenagens e seu diâmetro caracteriza a engrenagem. As rodas 
conjugadas usualmente têm seus círculos primitivos tangentes, se 
bem que esta condição não seja necessária no caso de engrenagens 
de perfil evolvental. 
 
 
onde: 
de = diâmetro externo 
di = diâmetro interno 
dp = diâmetro primitivo 
a = addendum 
d = deddendum 
c = folga 
F = largura 
p = passo 
rf = raio do filete 
 
A circunferência externa também chamada de cabeça do addendum 
ou externa, limita as extremidades externas dos dentes. 
 
 O addendum ou altura da cabeça do dente é a distância radial 
entre as circunferências externa e primitiva. 
 
 O círculo da raiz é o círculo que passa pelo fundo dos vãos 
entre os dentes. 
 
O deddendum ou altura do pé do dente é a distância entre os 
círculos primitivo e de raiz. 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
7 
 A folga do fundo é a distância radial entre o circunferência 
de truncamento e a da raiz. 
 
 Espessura do dente é o comprimento do arco da circunferênciaprimitiva, compreendido entre os flancos do mesmo dente. 
 
 O vão dos dentes é a distância tomada em arco sobre o círculo 
primitivo entre dois flancos defrontantes de dentes consecutivos. 
 
 A folga no vão é a diferença entre o vão dos dentes de uma 
engrenagem e a espessura do dente da engrenagem conjugada. Quando 
existe tal folga entre duas engrenagens, uma pode ser girada de um 
ângulo bem pequeno enquanto a engrenagem conjugada se mantém 
estacionária. Esta folga é necessária para compensar erros e 
imprecisões no vão e forma do dente, para prover um espaço entre 
os dentes para o lubrificante e para permitir a dilatação dos 
dentes com um aumento de temperatura. Engrenagens de dentes 
usinados devem ser montadas com uma folga no vão, de 0.04  
módulo. Para se assegurar tal folga, a ferramenta geralmente é 
ajustada um pouco mais profundamente do que o normal na maior das 
duas engrenagens. 
 
 A face do dente é a parte de superfície do dente limitada pelo 
cilindro primitivo e pelo cilindro do topo. 
 
 A espessura da engrenagem é a largura da engrenagem medida 
axialmente (é a distância entre as faces laterais dos dentes, 
medida paralelamente ao eixo da engrenagem). 
 
 O flanco do dente é a superfície do dente entre os cilindros 
primitivo e o da raiz. 
 
 O topo é a superfície superior do dente. 
 
 O fundo do vão é a superfície da base do vão do dente. 
 
Quando duas engrenagens estão acopladas, a menor é chamada 
pinhão e a maior simplesmente engrenagem ou coroa. 
 
 O ângulo de ação é o ângulo que a engrenagem percorre enquanto 
um determinado par de dentes fica engrenado, isto é, do primeiro 
ao último ponto de contato. 
 
 O ângulo de aproximação ou de entrada é o ângulo que a 
engrenagem gira desde o instante em que um determinado par de 
dentes entra em contato até o momento em que este contato se faz 
sobre a linha de centros. 
 
 O ângulo de afastamento é o ângulo que a engrenagem gira desde 
o instante em que um determinado par de dentes atinge o ponto 
sobre a linha de centros, até que eles abandonem o contato. O 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
8 
ângulo de aproximação somado com o ângulo de afastamento resulta 
no ângulo de ação. 
 
 A razão ou relação de velocidades ou relação de transmissão é 
a velocidade angular da engrenagem motora dividida pela velocidade 
angular da engrenagem comandada. Para engrenagens de dentes retos 
está razão varia inversamente com os diâmetros primitivos e com o 
número de dentes. 
 
(7) 
 
 
Onde v é a velocidade angular, D o diâmetro e N o número de 
dentes; o índice 1 se refere à engrenagem motora e o 2 à 
comandada. 
 
O módulo 
 Em toda engrenagem existe uma relação constante relacionando o 
número de dentes (N) e o diâmetro primitivo (dp). No sistema 
métrico esta relação é chamada de módulo m (em milímetro) e no 
sistema inglês de passo diametral (número de dentes por polegada). 
Por outro lado o passo é definido como o comprimento do círculo 
dividido pelo número de dentes. Assim: 
 
SISTEMA MÉTRICO SISTEMA INGLÊS 
m = dp/N P = N/dp 
p = .dp/N p = .dp/N 
p = .N p . P =  
 
A relação entre o passo diametral (Pd) e o módulo é definida 
como: 
 
 
 
 
A tabela a seguir mostra os principais passos diametrais (P) e 
módulos (m) padronizados, necessários, pois às ferramentas usadas 
para usinar os dentes são também padronizados em função destes 
números. 
 
Módulo m 
[m] 
1 1.2
5 
1.
5 
2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 
Passo 
P [1/in] 
2 2 ¼ 2 
½ 
3 4 6 8 10 12 16 20 24 32 40 48 
 
 
 
 
1
2
2
1
D
D
N
N
esvelocidadederelação 
m
25,4
Pd
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
9 
Ë interessante lembrar que uma ferramenta padronizada em 
módulo pode ser usada para gerar o dente no sistema métrico ou o 
equivalente no sistema inglês e vice-versa. Por exemplo: 
 
m = 1 mm 
  P = 25,4 1/in 
M = 4 mm  P = 6.35 1/in 
 P = 2 1/in  m = 12.7 mm 
P = 10 1/in  m = 2.54 mm 
 
A utilização da relação P = 25,4/m amplia os padrões de cada 
sistema. 
 
 
5 - Teoria do dente de engrenagem 
 
Lei Fundamental das Engrenagens 
 
A velocidade angular v entre duas engrenagens deve ser 
constante. Ela é igual tanto na engrenagem movida quanto na 
motora. 
 
mot
mov
mot
mov
r
r
v 

 (8) 
 
 
O torque transmitido T se relaciona com velocidade angular 
pela fórmula: 
 
 
(9) 
 
 
Assim, um engrenamento é essencialmente um dispositivo de 
troca de torque por velocidade e vice-versa. Uma utilização comum 
de engrenamento é reduzir velocidade e aumentar o torque para 
grandes carregamentos, como em caixa de marchas em automóveis. 
Outra aplicação requer um aumento na velocidade e uma conseqüente 
redução no torque. Nos dois casos é geralmente desejável manter 
uma razão constante entre as engrenagens enquanto elas giram. 
 
Uma condição para que a lei fundamental das engrenagens ser 
verdadeira é que o perfil do dente das duas engrenagens deve ser 
conjugado ao outro. Uma maneira de se conjugar as engrenagem é 
usando o chamado evolvental para lhes dar forma. 
 
 
 
 
 
 
mot
mov
mot
mov
r
r
e
T 

1
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
10 
6 - Perfil do dente evolvental 
 
O perfil do dente de engrenagem é definido por uma curva 
conhecida como evolvente. Esta curva permite que o contato entre 
os dentes das duas engrenagens aconteça apenas em um ponto, 
permitindo uma ação conjugada, suave e sem muito deslizamento, 
próximo a uma condição de rolamento. A medida que as engrenagens 
giram, o ponto de contato muda nos dentes, mas permanece sempre ao 
longo da linha de ação. A inclinação desta linha é definida pelo 
ângulo de pressão. 
 
 
 
7 - Ângulo de Pressão 
 
O ângulo de pressão  num engrenamento é definido como o 
ângulo entre a linha de ação e a direção da velocidade angular, de 
modo que a linha de ação está rotacionada a  graus da direção de 
rotação da engrenagem movida. As engrenagens são fabricadas 
atualmente com ângulos de pressão padronizados para diminuir o 
custo no processo de fabricação. Os ângulos de pressão são 14.5, 
20 e 25, sendo o mais usado 20. 
 
 
8 - Geometria de contato entre engrenagens 
 
 A figura mostra um par de engrenagens imediatamente antes e 
depois do contato entre os dentes. As normais destes dois pontos 
de contato se encontram num chamado ponto primitivo. A relação 
entre o raio da engrenagem motora e da movida permanece constante 
durante o engrenamento. 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
11 
 
 
Outra maneira de se enunciar a lei de engrenamento de uma 
maneira mais cinemática é: as linhas normais ao perfil dos dentes 
em todos os pontos de contato devem sempre passar por um ponto 
fixo na linha do centro, chamado de ponto primitivo. 
 
9 - Interferência em dentes evolventais 
 
Os pontos de tangência da linha de ação e dos círculos de base 
são chamados pontos de interferência. Quando o dente é 
suficientemente longo para se projetar para dentro do círculo de 
base do pinhão, a cabeça do dente da engrenagem tende a penetrar 
no flanco do dente do pinhão (se a rotação for forçada), a menos 
que tenham sido modificados os perfis caracterizando a 
interferência. É uma desvantagem séria das engrenagens 
evolventais, sendo máxima quando um pinhão de pequeno número de 
dentes se engrena com umacremalheira. A interferência diminui a 
medida que a engrenagem diminui de tamanho. 
 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
12 
Os dentes evolventais de engrenagem produzidos por ferramentas 
cremalheiras são recortados automaticamente, no flanco, sendo 
removida a parte que ocasionaria a interferência entre quaisquer 
engrenagens. Entretanto, se isto resolve o problema da 
interferência, o dente é consequentemente enfraquecido, e o grau 
de engrenamento pode tornar-se indesejavelmente baixo. O melhor é 
evitar a condição de interferência teórica, se possível. 
 
 
10 - Razão de contato 
 
Quando um dente inicia seu contato com o dente da outra 
engrenagem e mantém este contato até o afastamento, a engrenagem 
descreve um arco, que é definido como arco de ação. Entretanto, 
antes que este arco seja completado para uma determinado dente, 
outro dente inicia seu contato. Em outras palavras, existe em todo 
engrenamento um curto espaço de tempo em que dois dentes estão 
acoplados ou em contato ao mesmo tempo, um preste a concluir e 
outro iniciando. Esta relação do número de dentes em contato ao 
mesmo tempo é definida como razão de condução ou de contato, dado 
pela relação: 
 
(10) 
 
 
onde q é comprimento do arco de ação 
 
A razão de contato mc maior do que 1 é indispensável nas 
engrenagens, evitando choques e ruídos nos acoplamentos sucessivos 
dos dentes, pelo fato de antes de um dente desacoplar o outro já 
estar em contato. Para as engrenagens de dentes retos, esta 
relação é aproximadamente 1,2, podendo ser maior para outros tipos 
de engrenagens. 
 
 
11 - Pinhão e cremalheira 
 
Se aumentarmos indefinidamente o raio de uma engrenagem ela se 
transformará uma linha reta. Uma engrenagem linear é chamada de 
cremalheira. O conjunto pinhão-cremalheira é geralmente usada na 
transformação de movimento circular em movimento linear. Devido a 
essa características é amplamente usado em automóveis, fazendo 
parte da direção do veículo. 
 
 
b
c
p
q
m 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
13 
12 - Alteração da distância dos centros 
 
Na fabricação de jogos de engrenagens, é praticamente 
impossível por limitações técnicas no processo de se obter uma 
distância entre os centros de forma que ela seja ideal. 
Se o perfil do dente não for evolvente este erro na distância 
entre os centros das engrenagens pode causar variações. A 
velocidade angular de entrada não será mais igual a velocidade 
angular de saída do engrenamento, violando assim a lei fundamental 
das engrenagens. Entretanto, se o perfil dos dentes for evolvente, 
este erro na distância dos centros não alterará a relação das 
velocidades. Esta é a principal vantagem de dentes com perfil 
evolvente e explica porque é o mais utilizado. Pela figura, nota-
se que as normais ao ponto de contato ainda passam por um único 
ponto; somente o ângulo de pressão no engrenamento  sofrerá alguma 
mudança. 
 
 
 
 
Aumentando-se a distância entre os centros o ângulo de pressão 
aumenta e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
14 
13 - Engrenagens de dentes retos 
 
Engrenagens de dentes retos, como mostrada na figura, tem 
dentes paralelos ao eixo de rotação e é usada para transmitir 
movimento de um eixo a outro. É a engrenagem mais simples. 
 
 
 
 As engrenagens de dentes retos tem certas limitações quanto às 
suas aplicações, principalmente para larguras maiores de 25 mm. 
Esta limitação é devido à dificuldade de contato uniforme ao longo 
de toda a largura do dente, em todos os dentes, requerendo dentes 
retificados e um perfeito alinhamento (paralelismo) dos eixos. 
 
A figura mostra como o contato perfeito deve ocorrer, ao longo 
da linha AB, na face e no flanco do dente. 
 
 
 
 
Deve-se observar que qualquer desalinhamento nos eixos ou 
imprecisão na usinagem do perfil dos dentes, acarreta um contato 
não uniforme, ocasionando falha prematura dos dentes. 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
15 
O quadro a seguir mostra as relações mais comuns para 
engrenagens de dentes retos. 
 
Descrição Fórmula 
Sistema métrico 
[mm] 
Sistema inglês 
[in] 
Addendum m 1/P 
Deddendum 1.25  m 1.25 / P 
Diâmetro do pinhão m  Np NP / P 
Diâmetro da coroa m  Ng NG / P 
Distância entre 
centros 
(dg +dp)/2 ( dG + dP ) / 2 
Altura do dente 2.25  m 2.25 / P 
Diâmetro ext. do 
pinhão 
dp + 2a = m (Np + 2) dP + 2a 
Diâmetro ext da coroa dg + 2a = m (Ng + 2) dG + 2a 
Folga 0.25  m 0.25 / P 
Raio do filete 0.30  m 0.30 / P 
Diâmetro base Db = dp  cos  db = dP  cos  
Número mínimo de 
dentes 
12 a 15 12 a 15 
 
 
13.1 - Relação cinemática 
 
Em uma transmissão a ação do dente do pinhão sobre a coroa a 
vice-versa promove a transmissão de torque e potência de um eixo 
para outro. A direção da força e sua componentes estão mostradas a 
seguir: 
 
 
W = Força que a coroa faz no 
pinhão na direção da linha de 
ação 
 
Wr = componente radial 
 
Wt = componente tangencial 
 
 
 
 
 Os valores das componentes são determinadas pelas relações: 
 
cosWWt
 
senWWt
 (11) 
 
É a componente tangencial Wt responsável pela transmissão de 
torque e potência. 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
16 
14 -Engrenagens helicoidais 
 
Engrenagens helicoidais tem dentes inclinados em relação ao 
eixo central. São as mais usadas pois tem a vantagem de ser menos 
barulhentas devido a um engrenamento mais gradual e progressivo. 
Podem transmitir movimento entre eixos que não estão paralelos 
entre si. Devido ao ângulo de hélice  de seus dentes, as 
engrenagens helicoidais provocam uma força axial, na direção do 
eixo, o que não acontece nas engrenagens de dentes retos. 
 
 
 
 
 O contato do dente reto acontece, como foi visto, 
instantaneamente ao longo de toda a linha AC. No dente helicoidal, 
o contato inicia em A, e a medida que a engrenagem vai girando, o 
contato vai se formando gradualmente até atingir a linha AP, 
diagonalizada em relação ao dente. Este contato gradual confere as 
engrenagens helicoidais uma transmissão silenciosa, com pouca 
vibração, mesmo sem o acabamento de retífica dos dentes. Devido a 
este contato, estas engrenagens tem uma razão de contato bem maior 
que as de dentes retos, de 1.3 a 1.7, proporcionando ao conjunto 
transmissão de maior potência. 
 
14.1 - Relação cinemática 
 
A figura mostra uma vista de topo, onde a inclinação do dente 
é definida pelo ângulo de hélice . A seção AA' mostra uma vista 
transversal, onde o ângulo de pressão é t. Na vista normal, seção 
BB', que corresponde olhar a engrenagem na direção do dente 
(direção de ), o ângulo de pressão é definido como n (ângulo de 
pressão normal). É na direção perpendicular a esta, ao longo da 
linha de ação, que a força W é transmitida do pinhão para a coroa. 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
17 
 
 
Da figura pode-se deduzir as seguintes relações geométricas: 
 
 costn pp
 
 cosnt PP
 
 costn mm
 (12) 
 
outra relação é a distância ad, que define o passo axial: 
 


cos
t
x
p
p
 (13) 
 
onde se tem que: 
pn  passo normal 
pt  passo transverssal 
Pn  passo diametral normal 
Pt  passo diametral transversal 
mn  módulo normal 
mt  módulo transversal 
px  passo axial 
 
 
A tabela mostra as geometrias dos dentesdas engrenagens 
helicoidais mais usadas. 
Descrição Fórmula 
Sistema métrico [mm] Sistema inglês[in] 
Addendum mn 1 / Pn 
Deddendum 1.25  mn 1.25 / Pn 
Diâmetro do pinhão mt  Np NP / Pt 
Diâmetro da coroa mt  Ng NG / Pt 
Distância entre 
centros 
(dg +dp)/2 ( dG + dP ) / 2 
Altura do dente 2.25  mn 2.25 / Pn 
Diâmetro ext. do 
pinhão 
dp + 2
a
 = mt (Np + 2.cos ) dP + 2a 
Diâmetro ext da 
coroa 
dg + 2a = mt (Ng + 2. cos ) dG + 2a 
Folga 0.25  mn 0.25 / Pn 
Diâmetro base Db = dp  cos t db = dP  cos t 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
18 
A transmissão de força nas engrenagens helicoidais está 
mostrada na figura. 
 
Pode-se ver na figura que a força W que incide normal à face 
do dente e na direção da linha de ação, pode ser decomposta nas 
componentes: 
 
 
 
 
 
Observe que, como nas engrenagens de dentes retos, a 
componente Wt é a única responsável pela transmissão de torque e 
potência. As componentes Wr e Wa não executam nenhum trabalho 
útil. Estas duas componentes prejudicam, como no caso de Wa que 
provoca no eixo uma componente axial no mancal sendo necessário o 
uso de mancais (rolamento) especiais, mais caros para suportar 
esta carga. 
 
As componentes podem ser calculadas pelas fórmulas: 
 
 cos.cos. nWWt 
 
nsinWWr .
 
 sen.cos. nWWa 
 (14) 
 
- ângulo de hélice 
n - ângulo de pressão normal 
t - ângulo de pressão transversal 
W - carga normal total de um dente sobre o outro 
A relação entre o ângulo de pressão transversal t, o ângulo 
de pressão normal n e o ângulo de hélice  é dado pela expressão: 
 



cos
n
t
tg
tg 
 (15) 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
19 
15 - Engrenagens cônicas 
 
Engrenagens cônicas são usadas principalmente para a 
transmissão entre eixos que se cruzam, principalmente 
perpendiculares. Os dentes podem apresentar a forma reta ou 
helicoidal. A figura mostra um conjunto pinhão/coroa cônicos: 
 
 
 
O conjunto da figura tem eixos perpendiculares. Os dentes são 
usinados na face do tronco, de tal forma que o dente tem geometria 
variável, ou seja, como o diâmetro é variável, o passo diametral 
ou módulo variam. Nas engrenagens cônicas de dentes retos ou 
helicoidais o vértice dos cones são concorrentes, isto é, 
convergem para um mesmo ponto. Nestes tipos, engrenagens cônicas 
de dentes retos e dentes helicoidais, a interação dos dentes 
ocorre da mesma forma que a já estudada para as engrenagens 
cilíndricas de dentes retos e helicoidais. Isto quer dizer que os 
conjuntos cônicos de dentes helicoidais tem também transmissões 
mais suaves e silenciosas. 
Devido ao ângulo do cone, a configuração geométrica destas 
engrenagens apresenta novos parâmetros a serem definidos. A figura 
ilustra um conjunto pinhão/coroa, mostrando estes novos 
parâmetros. 
 
 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
20 
 
 
 
14.1 - Relação cinemática 
 
 
 
 
 
Observa-se que para eixos perpendiculares, os ângulos 1 e 2 
somam 90: 
 
1 + 2 = 90 (16) 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
21 
Algumas relações importantes para engrenagens cônicas de 
dentes retos e  = 20 (ângulo de pressão), eixo a 90, são 
mostrados na tabela a seguir: 
 
 
Descrição Fórmula (Sistema Inglês) 
Razão de transmissão mg = Ng/Np 
Addendum da coroa Ag = 0.54 / P + 0.46 / (P.mn) 
Altura do dente H = 2.0 / P 
Folga C = 0.188 / P + 0.002 in 
Largura do dente F = Ao / 3 ou 10 / P (usar 
o menor) 
Número mínimo de dentes Pinhão 16 15 14 13 
Coroa 16 17 20 30 
 
Nas engrenagens cônicas, mesmo de dentes retos, a força normal 
W que o pinhão faz sobre a coroa, e vice-versa, pode ser 
decomposta em três componentes, como mostrado na figura. 
 
 
 cos.WWt  
 
 
 cos..sinWWr 
 (17) 
 
 sen.sen.WWa 
 
 
 
Sendo: 
 
 = ângulo de pressão 
 = ângulo do cone 
 
Nas engrenagens cônicas, o torque T é calculado usando a raio 
médio rm, ou seja: 
 
mr
T
Wt 
 (18) 
 
Assim, pode-se escrever também: 
 
 cos.tgWtWr 
 (19) 
 
 sen.tgWWa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
22 
16 - Engrenagens cônicas helicoidais 
 
Estas engrenagens tem seus dentes usinados com uma ferramenta 
de corte circular de maneira que forma um ângulo de hélice. A 
figura mostra mais claramente: 
 
 
 
Quando o ângulo de hélice  é igual a zero, a engrenagem 
cônica helicoidal é chamada de zerol. Estas engrenagens tem apenas 
os dentes curvos (forma circular) e são similares às cônicas de 
dentes retos, mas não são mais precisas devido a facilidade de 
usinagem com precisão dos dentes circulares. Nas cônicas 
helicoidais, a carga Wt é também determinada pela expressão: 
 
mr
T
Wt 
 onde T é o torque e rm é o raio médio. (20) 
 
As componentes de força Wr e Wa depende se a hélice é esquerda ou 
direita e a direção de rotação. Na figura a hélice é esquerda. 
Assim, para hélice direita e rotação horária, tem-se que: 
 
  cossensen
cos


 ntg
Wt
Wa
 (21a) 
  sensencos
cos


 ntg
Wt
Wr
 (21b) 
 
Para hélice esquerda e rotação horária, tem-se que: 
 
  cossensen
cos


 ntg
Wt
Wa
 (22a) 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
23 
 
  sensencos
cos


 ntg
Wt
Wr
 (22b) 
 
onde  = ângulo de hélice 
  = ângulo de cone 
 n = ângulo de pressão normal 
 
 
17 - Engrenagens cônicas hipóides e espiróides 
 
 Estas engrenagens são parecidas com as cônicas helicoidais, 
mas os eixos são deslocados de um determinado valor. Estas 
engrenagens aparecem a partir da década de 50, devido a 
necessidade de abaixar o centro de gravidade dos automóveis. São 
muito usadas atualmente em diferenciais de veículos. 
 A figura mostra como acontece o acoplamento pinhão/coroa. 
Quando o deslocamento do eixo é igual ao raio da coroa, tem-se o 
acoplamento tangente, definindo o sistema sem-fim/coroa. 
 
 
 
 
 
O deslocamento do eixo como mostrado na figura, não permite 
uma ação conjugada perfeita entre os dentes (rolamento), sendo a 
transmissão envolvida por deslizamentos entre os dentes, gerando 
atrito e perda de potência. É por esta razão que as hipóides, e 
mais ainda as espiróides, tem eficiência menor que os outros tipos 
estudados. De uma forma geral, pode-se dizer que a eficiência das 
engrenagens seque, aproximadamente os percentuais: 
 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
24 
 
 
 
Por esta razão que todos os conjuntos hipóides, espiróides e 
sem-fim/coroa funcionam imersos em lubrificantes. 
Define-se eficiência em engrenagens como a relação da potência 
útil ou potência transmitida pela potência total cedida ao 
sistema. É claro que parte da potência é gasta para vencer o 
atrito nos dentes, transformando-se em calor que é dissipado. 
Assim: 
 
total
útil
HP
HP

 (23) 
 
 
A razão de transmissão para engrenagens cilíndricas e cônicas 
deve ser sempre inferior a 5. 
 
18 - Parafuso sem-fim/coroa 
 
O conjunto parafuso sem-fim/coroa é uma evolução das 
engrenagens cônicas (espiróides), para o ângulo do cone do pinhão 
= 0. É muito usado apesar de sua eficiência ser relativamente 
baixa ( = 80%), pode-se conseguir grandes reduções com um só 
conjunto. A figura ilustra este conjunto. 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
25 
 
 
Como pode ser visto, o parafuso sem-fim e coroa tem um ângulo 
de hélice, que é chamado de ângulo de avanço designado por . A 
figura mostra a nomenclatura usado neste conjunto. 
 
As principais relações geométricas no sem-fim/coroa são: 
 

ptN
d GG


  diâmetro da coroa (24) 
 
K
C
dw
875.0

  diâmetro do sem-fim, onde C é a distância entre 
centros: (1.7 K 3.0) (25) 
 
 
2
GW ddC


  distância entre centros (26) 
 
pxpt 
  passo transversal igual ao axial para eixos 
 perpendiculares (27) 
 
W
G
G
N
N
m 
  razão de transmissão, onde Nw é o número de dentes 
 do sem-fim ou número de entradas (28) 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
26 
wNptL 
  avanço (29) 
 
dw
L
tg



.
   é o ângulo do avanço (30) 
 
Combinando sucessivamente estas expressões pode-se obter uma 
única expressão, que relaciona os parâmetros mais importantes para 
a definição do sem-fim/coroa: 
 
8
1





 

K
tgm
C G
 para os valores de 1.7  K  3.0 (31) 
 
 O valor de K está compreendido em 1.7 e 3.0, sendo recomendado 
usar 2.2. Os ângulos de avanço mais usados variam entre 4 e 25, 
para ângulo de pressão normal n de 1430' e 20. É mais recomendado 
usar: 
 
 Para n = 1430'   = 0 a 15 
 n = 20   = 15 a 30 
 
 É possível construir uma transmissão sem-fim/coroa com C 
(distância entre centros) variando de 2 in a 64 in, dependendo da 
potência desejada. 
 Esta análise permite identificar a possibilidade geométrica do 
sem-fim/coroa, antes do dimensionamento final para uma dada 
potência. 
 Em um redutor sem-fim/coroa, o movimento ou potência entra 
pelo sem-fim que solicita a coroa com força W, que pode ser 
decomposta em três componentes, conforme figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
27 
É importante observar que, devido ao atrito na direção do 
dente ou da hélice do dente, aparecem componentes das forças de 
atrito. 
 
WWf  .
 (31) 
 
onde  é o coeficiente de atrito entre os materiais do sem-fim 
(aço) e da coroa (bronze) 
 
 Observando a figura, tem-se: 
 
t
W
a
G
x WWW 
 (32a) 
R
W
R
G
y WWW 
 os sinais indicam direções contrárias (32b) 
a
W
t
G
z WWW 
 (32c) 
 
 
 Notar que WG é componente na coroa e, WW componente do sem-
fim. Os índices Wt, Wr e Wa e referem-se às componentes 
tangenciais, axiais e radiais, respectivamente. 
 
Assim as componentes são: 
 
  cossencos  nWW x (33a) 
 
nWW y sen (33b) 
  sencoscos  nWW z (33c) 
 
Devido ao atrito provocado pelo deslizamento pelos dentes do 
sem-fim e da coroa, estas partes são construídas com materiais 
diferentes. Normalmente o sem-fim é de aço liga e a coroa de 
bronze. Para estes materiais, o coeficiente de atrito , que 
depende da velocidade e do tipo de bronze usado, assume valores um 
pouco diferentes como mostrados na figura: 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
28 
A velocidade que aparece no gráfico, velocidade no ângulo de 
avanço é calculado por: 
 
 
cos
w
s
V
V 
 Vw = velocidade do sem-fim (34) 
 
 
12
nwdw
VW


 [ft/min] (35) 
 
dw = diâmetro do sem-fim 
nw = rotação do sem-fim 
 
definindo a eficiência do sem-fim de outra forma, pela relação das 
forças Wn
t
 sem atrito e Ww
t
 com atrito, obtém-se a relação: 
 


gn
tgn
cotcos
cos



 (36) 
 
 
19 - Resistência dos dentes de engrenagens cilíndricas retas 
 
Sem atrito, a força resultante que atua sobre o dente da 
engrenagem, cai sobre a geratriz nas engrenagens evolventais, e 
seu ponto de aplicação move-se da parte superior (ou inferior) do 
dente para a parte inferior (ou superior). Considerando o dente 
como uma viga engastada, encontramos o máximo de tensão, quando um 
dente suporta toda a carga na extremidade. Entretanto, se o grau 
de engrenamento é maior que 1, outro dente provavelmente está 
partilhando da transmissão de potência. À medida que o dente se 
desloca do seu ângulo de ação, o ponto de aplicação de W se move 
para baixo no perfil. Em algum instante deste movimento, com o 
grau de engrenamento menor que 2, o dente suportará a carga toda. 
Em projetos é comum utilizarmos a hipótese mais segura, com a 
carga total aplicada à extremidade do dente. 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
29 
No ponto onde a linha de ação de W corta o eixo geométrico do 
dente, W é substituída por suas componentes normal (radial) e 
tangencial N e Wr. A força N produz uma tensão de compressão 
uniforme sobre qualquer seção do dente, digamos em VE. A 
componente Wr produz uma tensão de flexão: tração em E e 
compressão em V. A compressão uniforme em E, devida a N, é 
subtraída da tração decorrente da flexão em E, devida a Wr, 
produzindo uma tensão resultante em E mais baixa e 
consequentemente mais segura. A compressão uniforme em V, devida a 
N, é somada à compressão decorrente da flexão em V, devida a Wr, 
para dar uma tensão de compressão total maior. Se o material é 
mais resistente à compressão que à tração, o efeito da força N 
reforça o dente. Uma vez que a tensão de compressão é pequena, 
comparada à tensão de flexão, ela é normalmente, porém nem sempre, 
desprezada no cálculo. Assim, consideraremos apenas a tensão 
devida a Wr. 
 
Com Fr atuando em B, sendo h o braço de alavanca, o momento 
fletor na seção VE é M = Wr.h. Sendo b a espessura, o módulo de 
resistência da seção retangular em VC será de Z = bt
2
/6. De M = Z, 
obtemos que, 
 
 (37) 
 
A seção VE deve ser aquela em que a tensão produzida pela 
carga Wr é máxima. É localizada do seguinte modo: 
Tracemos por B a parábola VBE, passando pelos pontos V e E, 
que define uma viga imaginária de resistência uniforme; isto é, se 
o dente tivesse a forma da parábola, teria a mesma tensão em todas 
as seções. A equação desta parábola é obtida em termos das 
variáveis h e t, sendo  uma constante na equação anterior. 
Portanto: 
2.
6
t
Wr
b
h


 e 
2.tCh 
 (38) 
 
que é a equação de uma parábola. Se esta parábola é traçada com o 
vértice em B, verificamos que ela fica inteiramente no interior do 
dente exceto nos pontos de tangência. Uma vez que o dente é maior 
que a parábola a tensão no dente é, em qualquer lugar, menor que a 
tensão hipotética na parábola, exceto na seção de tangência que, 
por esta razão, deve ser a seção de tensão máxima no dente. Em 
conseqüência, na seção VE, a parábola inscrita é tangente ao 
perfil do dente. 
 
Entretanto, as dimensões h e t são inconvenientes quando se 
calcula. Consideremos os triângulos semelhantes BVG e GVH.Deles 
obtemos a proporção: 
 
x
t
h
4
2

 
h
t
t
x 2
2

 (39) 
6
2bt
Wr 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
30 
Substituindo este valor de h na equação 37: 
 
6
2bt
hWr 
 (40) 
obtemos: 
 
64
22 bt
x
tWr 
 
6
4
.
x
bWrr 
 (41) 
 
Multiplicando e dividindo o 2. membro desta equação pelo 
passo diametral Pd, encontramos: 
 







3
2. d
d
xP
P
b
Wr
 (42) 
 
Uma vez que 2xPd/3 é uma constante para uma determinada forma 
de dente, podemos faze-la iqual a Y, conhecido como o fator de 
forma de Lewis. A equação resultante é: 
 
dP
bY
Wr


 (43) 
 
Conhecida como equação de Lewis. Uma vez que Pd = /Pc, a 
equação de Lewis em termos do passo circular é: 
 
ybP
YbP
Wr c
c 



 (44) 
 
onde y = Y/ é outra constante. 
 
20 - Tensões em engrenagem 
 
A figura mostra um par de dentes de engrenagens. Um torque Tp 
está sendo transmitido do pinhão para a engrenagem movida. 
 

 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
31 
No ponto primitivo, a única força transmitida, excluindo 
atrito, é a força W atuando ao longo da linha de ação. Esta força 
pode ser decomposta em duas componentes, Wr agindo na direção 
radial e Wt da direção tangencial. A força Wt pode ser calculada 
por: 
 
(45) 
 
 
onde Tp se refere ao torque que é aplicado no eixo do pinhão, 
rp é o raio de ponto principal, dp é o diâmetro do ponto principal, 
Np é o número de dentes e pd é o passo diametral do pinhão. 
 
A componente radial Wt é: 
 
)tan(. tr WW 
 (46) 
 
e a força resultante é: 
 
)cos(
tWW 
 (47) 
 
A força de reação R e suas componentes Rt e Rr tem o mesmo 
módulo com sentidos opostos às forças diretas. As forças no pinhão 
são as mesmas que atuam na engrenagem. 
 
Dependendo do grau de engrenamento um dente pode receber toda 
a carga transmitida em qualquer ponto do topo até o ponto perto do 
círculo do deddendum. Obviamente, a situação mais crítica é aquela 
que a força W age no topo do dente. Neste caso, a componente 
tangencial Wt apresentará seu valor máximo agindo no dente. 
 
Mesmo nas situações em que o torque Tp é constante, cada dente 
sofrerá carga de forma alternada e repetitiva, criando uma 
situação de fadiga. 
 
Uma engrenagem em funcionamento está constantemente sendo 
exigida em ciclos repetidos, que nos leva a pensar que certamente 
a fadiga é um problema que tem de ser levado em consideração. 
 
Existem dois problemas fundamentais que podem causar a danos a 
uma engrenagem. Fratura por fadiga causada pelas cargas alternadas 
e desgaste na superfície. Estes dois problemas devem ser levados 
em consideração ao se projetar uma engrenagem. Fratura por fadiga 
pode ser evitada utilizando a curva de Goodman, de modo que se 
garanta o funcionamento sem fratura por um tempo indeterminado. 
Como as engrenagens são geralmente feitas de ferro fundido, que 
apresentam elevados limites de resistência a flexão, podemos 
projetar uma engrenagem de maneira que ela tenha uma vida 
infinita. Entretanto, é difícil se obter materiais que tem 
p
pd
p
p
p
p
t
N
Tp
d
T
r
T
W
22

 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
32 
elevados limites resistência à pressões de contato. Então, é 
impossível de se construir uma engrenagem de vida infinita contra 
desgastes superficiais. Engrenagens devidamente projetadas nunca 
devem fraturar um dente em funcionamento normal, mas deve ser 
esperado desgastes superficiais que com o tempo são inevitáveis. 
 
 
21 - Dimensionamento de Engrenagens 
 
A equação de Lewis 
 
A primeira equação para tensões de flexão foi desenvolvida por 
Wilfred Lewis, em 1892. Ele considerou um dente como uma barra 
engastada com a seção crítica na base: 
 
2
.6
Ft
lW
FY
pW
c
I
M tdt 
  Equação de Lewis (48) 
 
onde l é a altura, t é o comprimento do dente, Wt é a 
componente tangencial da força, pd é o passo diametral, F é a 
espessura do dente e Y é um fator adimensional de forma para a 
carga aplicada próxima à meia altura do dente e quando as cargas 
dinâmicas máximas são bem avaliadas. Ele também é chamado de fator 
de Lewis. É interessante notar que a componente radial Wr é 
ignorada pois ela atua como força de compressão, o que tende a 
reduzir o risco de quebra do dente. 
 
A equação de Lewis é a base de uma versão mais moderna 
utilizada pela norma AGMA. Os princípios utilizados na equação de 
Lewis são ainda válidos, mas foram complementados por fatores 
adicionais que só foram mais tarde realmente dimensionados. O 
fator de forma Y foi suplantado pelo fator de geometria J, que 
inclui os efeitos da concentração de tensões. 
 
 
Equação AGMA para engrenagens 
(American Gears Manufacturers Association) 
 
Existem algumas condições para seu uso: 
 A razão de contato deve estar entre 1 e 2. Razões de 
contato maiores estão sujeitos a fatores como precisão e 
dureza que são difíceis de prever, tornando o problema 
indeterminado. 
 Não deve haver interferência entre o topo e a raiz dos 
dentes nem corte no topo dos dentes. Num projeto que se 
precisa utilizar um conjunto pinhão-engrenagem de forma a 
ocupar pouco volume, é comum modificações em partes do 
dente de modo a diminuir o tamanho. O fator de forma J 
necessita de dentes inteiros para se tornar válido, 
impedindo assim qualquer variação no tamanho do dente. 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
33 
 Deve haver uma pequena folga entre as duas engrenagens. Sem 
folga, as engrenagens correm o risco de não girarem 
livremente, devido ao excesso de atrito. 
 Os dentes devem ser padronizados e com bom acabamento 
superficial. 
 Forças de atrito desprezíveis. 
 
São usadas atualmente duas equações AGMA, uma para tensão de 
flexão e outra para desgaste superficial, que são as duas causas 
de danos em engrenagens. 
A equação AGMA para tensões de flexão tem duas versões, uma no 
sistema internacional e outra no sistema inglês de unidades: 
 
 
J
KK
F
P
K
KW msd
v
at 
 
J
KK
FmK
KW ms
v
at 
0.1
 (49) 
 
sendo: 
 - tensão de flexão 
Wt - força tangencial transmitida 
Ka - fator de aplicação 
Kv - fator dinâmico 
Pd - passo diametral 
m - módulo 
F - largura do dente 
Ks - fator de forma 
Km - fator de distribuição de carga 
J - fator de geometria 
 
Note que a equação foram dispostas em três parcelas. A 
primeira trata de fatores de força, a segunda trata de fatores de 
geometria e a terceira trata da forma do dente. 
 
Fazer um correto dimensionamento de engrenagens pela tensão de 
flexão consiste basicamente em projetar a engrenagem de modo que a 
tensão de flexão atuante no dente seja menor que a tensão 
admissível à flexão do dente: 
 
adm 
 (50) 
 
A fórmula para o cálculo da tensão admissível à flexão é: 
 
RT
Lt
adm
KK
KS

 (51) 
 
onde: 
 St - limite de resistência à tensão 
KL - fator de vida 
 KT - fator de temperatura 
KR - fator de confiabilidade 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
34 
A equação AGMA para desgaste superficialé: 
 
2
1









I
CC
Fd
C
C
CW
C
fms
v
at
pc
 (52) 
 
sendo: 
c - valor absoluto da tensão por desgaste 
Cp - coeficiente elástico 
Ca - fator de aplicação 
Cv - fator dinâmico 
d - diâmetro primitivo da engrenagem 
Cm - fator de distribuição de carga 
Kf - fator de acabamento da superfície 
I - fator de geometria 
 
Fazer um correto dimensionamento de engrenagens pelo desgaste 
superficial consiste basicamente em projetar a engrenagem de modo 
que a tensão de contato atuante no dente seja menor que a tensão 
admissível ao contato: 
 
admcc , 
 (53) 
 
 
A fórmula para o cálculo da tensão admissível ao contato é: 
 
 
RT
HLc
admc
CC
CCS
,
 (54) 
 
onde: 
 Sc - limite de resistência à fadiga 
 CL - fator de vida 
 CH - fator de taxa de dureza 
 CT - fator de temperatura 
CR - fator de confiabilidade 
 
Como já foi citado anteriormente, o desgaste superficial é uma 
situação mais crítica que a tensão de flexão. Engrenagens bem 
projetadas normalmente não quebram um dente por fadiga causada 
graças à tensão de flexão, mas desgaste superficiais são 
inevitáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
35 
Fator de geometria J e I 
A determinação de J e I depende da razão de contato mc, que é 
determinada pela fórmula: 
 
x
c
p
F
m 
 (55) 
 
onde F é a largura do dente e px é o passo axial. 
 
Este fator pode ser calculado através de complicadas fórmulas 
definidas nas normas AGMA. Esta mesma norma apresenta uma tabela 
do fator J para dentes fundos com ângulos de pressão de 20: 
 
Número de 
dentes 
Y Número de 
dentes 
Y 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
24 
26 
0.245 
0.261 
0.277 
0.290 
0.296 
0.303 
0.309 
0.314 
0.322 
0.328 
0.331 
0.337 
0.346 
28 
30 
34 
38 
43 
50 
60 
75 
100 
150 
300 
400 
Acima 
0.353 
0.359 
0.371 
0.384 
0.397 
0.409 
0.422 
0.435 
0.447 
0.460 
0.472 
0.480 
0.485 
Coeficiente Elástico Cp 
O coeficiente elástico Cp é um fator de correção adimensional 
que depende de fatores como coeficiente de Poisson e do módulo de 
elasticidade do pinhão e da engrenagem. 
Ele pode ser calculado pela fórmula definida pela norma AGMA 
ou pela tabela que está em função do material do pinhão e da 
engrenagem. 
 
21
22 11












 



Eg
vg
Ep
vp
Cp  (56) 
 
onde: 
vp = coeficiente de Poisson do pinhão 
vg = coeficiente de Poisson da engrenagem 
Ep = módulo de elasticidade do pinhão [Mpsi ou GPa] 
Eg = módulo de elasticidade da engrenagem [Mpsi ou GPa] 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
36 
 Material e módulo de elasticidade 
da engrenagem Eg, lb/in2 (Mpa) 
 
 
Material 
Do pinhão 
Módulo de 
elasticidade do 
pinhão Ep, lb/in
2
 
(Mpa) 
 
Aço 
30  106 
(2  105) 
Ferro 
Maleável 
25  106 
(1.7  105) 
Ferro 
Nodular 
24  106 
(1.7  105) 
Ferro 
Fundido 
22  106 
(1.5  105) 
Alumínio 
Bronze 
17,5  106 
(1.2  105) 
Ligas 
Cu-Sn 
16  106 
(1.1  105 ) 
Aço 
 
30  106 
(2  105) 
 
2300 
(191) 
2180 
(181) 
2160 
(179) 
2100 
(174) 
1950 
(162) 
1900 
(158) 
Ferro Maleável 
 
25  106 
(1.7  105) 
 
2180 
(181) 
2090 
(174) 
2070 
(172) 
2020 
(168) 
1900 
(158) 
1850 
(154) 
Ferro Nodular 
 
24  106 
(1.7  105) 
 
2160 
(179) 
2070 
(172) 
2050 
(170) 
2000 
(166) 
1880 
(156) 
1830 
(152) 
Ferro Fundido 
 
22  106 
(1.5  105) 
 
2100 
(174) 
2020 
(172) 
2000 
(166) 
1960 
(163) 
1850 
(154) 
1800 
(149) 
Alumínio 
Bronze 
17,5  106 
(1.2  105) 
 
1950 
(162) 
1900 
(158) 
1880 
(156) 
1850 
(154) 
1750 
(145) 
1700 
(141) 
Liga Cu-Sn 
 
16  106 
(1.1  105) 
 
1900 
(158) 
1850 
(154) 
1830 
(152) 
1800 
(149) 
1700 
(141) 
1650 
(137) 
Coeficiente de Poisson de 0.30 
 
 
Fator dinâmico Cv e Kv 
O fator dinâmico corrige imprecisões na fabricação e no 
acoplamento do conjunto. Estes erros na transmissão podem causar 
vibrações excessivas, desgastes no perfil dos dentes, 
desbalanceamento nas partes rotantes, desalinhamento linear e 
radial nos eixos etc. 
Uma maneira que a norma AGMA adotou para quantificar este 
fator dinâmico é definindo um número Qv, chamado de número de 
qualidade. 
As equações a seguir para o cálculo de Cv e Kv são baseadas no 
número de qualidade Qv: 
 
B
vv
VA
A
CK










2
1
V em ft/min (57) 
 
B
vv
VA
A
CK










2
1
.200
 V em m/s (58) 
 
 
sendo 
)1(5650 BA 
 e 
 
4
)12( 3
2
Qv
B


. 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
37 
Fator de superfície Cf 
A AGMA ainda não estabeleceu valores para o fator de superfície 
Cf, portanto é recomendado o uso de valores maiores que 1 para 
superfícies que claramente apresentam defeitos. 
 
Fator de distribuição de carga Cm e Km 
O fator de distribuição de carga corrige: 
- Cargas causadas por deflexões elásticas de eixos e mancais. 
- Eixos rotantes desalinhados. 
- Desvio de passo 
 
A tabela a seguir mostra como se calcular Cm e Km: 
 
 Largura da face F, in (mm) 
  2 (50) 6 (150) 9 (225)  16 (400) 
 
Muita precisão na 
montagem e nas 
engrenagens 
 
1,3 
(1.2) 
 
1,4 
(1.4) 
 
1,5 
(1.4) 
 
1,8 
(1.7) 
 
Média precisão na 
montagem e nas 
engrenagens 
 
1,6 
(1.5) 
 
1,7 
(1.6) 
 
1,8 
(1.7) 
 
2,0 
(2.0) 
 
Pouca precisão na 
montagem e nas 
engrenagens 
 
 
 2.0 (  2.0) 
 
 
Fator de confiabilidade Cr e Kr 
Em todo este capítulo foi utilizado a confiabilidade de R = 0,99, 
que corresponde à 10
7
 ciclos de vida. Para outras confiabilidades, 
pode-se utilizar da tabela a seguir: 
 
 
Confiabilidade Cr, Kr 
0,90 0,85 
0,99 1,00 
0,999 1,25 
0,9999 1,50 
 
 
Pode-se também utilizar a fórmula: 
 
)1log(15.07.0 RCr 
 0.9  R  0.99 (59) 
 
)1log(25.05.0 RCr 
 0.99  R  0.9999 (60) 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
38 
Fator de taxa de dureza Ch 
O pinhão geralmente apresenta um número de dentes menor que a 
engrenagem e consequentemente vai estar sujeito a mais ciclos sob 
tensões de contato. Se o pinhão e a engrenagem são endurecidas, 
pode se obter uma superfície uniforme fabricando um pinhão mais 
duro. Pode-se também conjugar uma engrenagem com um pinhão desde 
que este passe por um processo de endurecimento superficial. O 
fator de taxa de dureza Ch é usado somente para a engrenagem e é 
calculado pela fórmula: 
 
 
)0.1(0.1  mGACh
 onde 
33 1029.81098.8  






BG
BP
H
H
A
 (61) 
 
 
Os termos HBP e HBG são a dureza Brinell do pinhão e da engrenagem, 
respectivamente. 
 
O fator mG é a razão de velocidades. 
 
A equação é valida somentepara 
.70.1





BG
BP
H
H 
 
Fator de vida Cl e Kl 
Utilizando o fator de vida Cl e Kl consegue-se estimar a vida 
útil de engrenagens. As tabelas a seguir mostram o fator corretivo 
de vida à partir do número de ciclos. 
 
 
Fator de tamanho Cs e Ks 
Estes fatores corrigem alguma alteração quanto à uniformidade 
em relação às propriedades do material. A norma AGMA recomenda 
utilizar para o fator Cs e Ks o valor 1. 
 
 
Fator de aplicação Ca e Ka 
A razão do fator de aplicação é compensar situações em que a 
carga real excede a força tangencial nominal Wt. Este fator varia 
entre 0.45 a 0.95. Quanto menor a velocidade de rotação e menor o 
padrão de qualidade Qv maior é o fator de aplicação. 
 
 
Fator de acabamento da superfície Cf 
A norma AGMA ainda não estabeleceu valores para o fator Cf, 
mas sugere valores maiores que 1 quando existirem defeitos na 
superfície. 
 
 
 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
39 
22 - Rendimento de engrenagens 
 
Um par de engrenagens helicoidais ou de dentes retos usinados deve 
transmitir, no mínimo 98% da potência em velocidades comuns, se as 
engrenagens e os mancais de apoio estiverem bem lubrificados. Para 
uma redução dupla, o rendimento é um pouco mais baixo, cerca de 
97%, e para uma redução tripla, ainda mais baixo, da ordem de 96%. 
Freqüentemente ele é mais alto que estes valores. As perdas na 
partida, quanto os mancais são mancais de deslizamento, podem ser 
altas, da ordem de 35% da carga sendo, assim, recomendável dar 
partida em engrenagens em condições de pouca carga. Devem ser 
esperados menores valores do rendimento em velocidades muito 
elevadas acima de 1500 m/min. 
 
23 - Materiais usados em engrenagens 
 
Todos os tipos de material são usados para engrenagens. Um dos 
mais utilizados é o ferro fundido cinzento, ASTM 20, que é um 
material relativamente barato e satisfatório do ponto de vista de 
desgaste. Aços especiais não são usados a menos que sejam tratados 
termicamente. O aço fundido deve ser bem recozido e pode sofrer 
tratamento térmico. 
Para se escolher o aço leva-se em consideração o tratamento que se 
pretende fazer. Os dentes temperados (0.35% a 0.50% de carbono) 
são usados freqüentemente. Os dentes carbonetados cementados (0.15 
a 0.20% de carbono) tem resistência ao desgaste excelente com uma 
superfície de 58 HC ou melhor. Os aços de 0.40% a 0.45% de carbono 
são endurecidos na superfície para 50 HC ou mais, por têmpera 
superficial por maçarico, têmpera por indução ou cianetação. Os 
aços especiais são melhores para o endurecimento superficial por 
possuírem alta temperabilidade. O aço fundido pode ser também 
endurecido, inteiramente ou superficialmente. 
O tratamento de endurecimento produz certamente alguma distorção, 
porém, os aços-liga podem ser endurecidos com muito menor 
distorção que o aço carbono. Se a precisão do perfil é necessária 
como no caso de altas velocidades, deve-se escolher um material 
que apresente um mínimo de distorção, mesmo assim pode ser 
necessário retificar ou polir os perfis, de modo a se obter a 
precisão necessária. A industria automobilística , por processos 
cuidadosamente controlados para manter a distorção mínima, usa 
ligas endurecidas superficialmente sem a operação de retificação 
final. 
Em situações severas de serviço, pode ser usada a nitretação, um 
processo caro, somente justificável em certos casos. Não há muito 
problema de distorção, porque o processo é conduzido em 
temperaturas relativamente baixas. 
Alguns materiais não-metálicos são usados em engrenagens para 
transmitir potência relativamente significantes como por exemplo o 
couro cru, produtos de fenol laminados (baquelita, textolite, 
etc.) e nylon. Uma vantagem dos não-metálicos é o baixo nível de 
ruido. 
 
 
 
Engrenagens 
 
 
 
 
40 
 
 
 24 - Lubrificação em engrenagens 
 
Excetuando-se engrenagens plásticas pouco exigidas, todo conjunto 
de engrenagens dever ser lubrificado para prevenir desgaste 
superficial. Controlar a temperatura na interface é importante 
porque se muito altas, podem diminuir a vida útil das engrenagens. 
Lubrificante removem calor e separam as superfícies de um contato 
direto, reduzindo atrito. Lubrificante suficiente deve ser 
utilizado para transferir o calor gerado por atrito para o meio 
ambiente sem permitir que o engrenamento se aqueça em demasia. 
A maneira preferida para se lubrificar é colocando as engrenagens 
em caixas, de modo que elas ficam parcialmente submergidas. A 
rotação da engrenagem leva o lubrificante para regiões que não 
estão submergidas. O óleo deve ser limpo de livre de 
contaminações, sendo trocado periodicamente. Conjuntos de 
engrenagens que não podem ficar em caixas, devem ser sempre 
lubrificadas usando graxa, que é recomendada somente para baixas 
velocidades e cargas.