Atividade INTEGRAL

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Faculdade Maur´ıcio de Nassau
Curso: Eng. Civil
Disciplina: Ca´lculo Integral
Professor: M.e Rafael Emanuel Costa
Aluno:
Lista - 15/05/2017
O aluno deve entregar as questo˜es ate´ a data limite estipulado para a colegiada.
1. Se a massa de uma viga medida a partir do extremo esquerdo ate´ um ponto x for
m(x), enta˜o a densidade linear ρ(x) = m′(x). Logo∫ b
a
ρ(x)dx = m(b)−m(a)
e´ a massa do segmento da barra que esta´ entre x = a e x = b. Assim, calcule a
massa total de uma barra de 4m de comprimento com ρ(x) = 9 + 2
√
x medida em
quilogramas por metro, onde x e´ a medida em metros a partir de um extremo da
barra.
2. A se´rie finita de Fourier e´ dada pela soma
f(x) =
N∑
n=1
ansen(nx) = a1senx+ a2sen(2x) + · · ·+ aNsen(Nx)
(a) Verifique que
∫ pi
−pi
sen(ax)cos(bx)dx = 0 para a e b inteiros positivos
(b) Verifique que
∫ pi
−pi
sen(ax)sen(bx)dx = 0 para a e b inteiros positivos
(c) Mostre que o k-e´simo coeficiente ak e´ dado pela fo´rmula
ak =
1
pi
∫ pi
−pi
f(x)sen(kx)dx
3. A massa no tempo t e´ m(t) = m(0)ekt, onde m(0) e´ a massa inicial e k, uma
constante negativa. A vida me´dia M de um a´tomo na substaˆncia e´
M = −k
∫ ∞
0
tektdt
Para o iso´topo de radioativo de um carbono, 14C, usado para a datac¸a˜o a constante
e´ k = −0, 000121. Calcule a vida me´dia de um a´tomo de 14C,
4. O me´todo da diluic¸a˜o do contraste e´ usado para medir a capacidade card´ıaca. O
contraste e´ injetado no a´trio direito e flui atrave´s do corac¸a˜o na aorta. Uma sonda
inserida na aorta mede a concentrac¸a˜o do contraste saindo do corac¸a˜o a intervalos
regulares de tempo ate´ que o contraste tenha terminado. Seja c(t) a concentrac¸a˜o e
A a quantidade total de contraste enta˜o a capacidade card´ıaca e´ dada por
F =
A∫ T
0
c(t)dt
.
Qual a capacidade card´ıaca com 8mg de contraste onde as concentrac¸o˜es de con-
traste, em mg/L sa˜o modeladas por c(t) = 1
4
t(12 − t), 0 ≤ t ≤ 12, com t em
segundos.
5. A quantidade de capital que uma companhia tem em um fluxo de tempo t e´ f(t),
enta˜o a derivada, f ′(t), e´ chamada fluxo l´ıquido de investimento. Suponha que o
Fluxo l´ıquido de investimento seja
√
t milho˜es de do´lares por ano(onde t e´ medido
em anos). calculeo aumento no capital ( a formac¸a˜o de capital) do quarto ao oitavo
ano.
6. Um vera˜o quente e u´mido esta´ causando uma explosa˜o da populac¸a˜o de mosquitos
em Teresina. O nu´mero de mosquitos esta´ aumentando a uma taxa estimada de
2200 + 10e
t
2 por semana(onde t e´ medido em semanas). De quanto aumenta a
populac¸a˜o de mosquitos entre a quinta e a nona semana de vera˜o?
7. A func¸a˜o demanda p(x) e´ o prec¸o que uma companhia tem de cobrar pra vender x
unidades de um produto. Geralmente, para vender maiores quantidades, e´ necessa´rio
abaixar os prec¸os. Se q e´ a quantidade do produto dispon´ıvel, enta˜o P = p(q) e´ o
prec¸o de venda corrente, assim a func¸a˜o E.
E =
∫ q
0
[p(x)− P ]dx
E´ o que os economistas chamam de excedente do consumidor para o produto. o
Excedente representa a quatidade de dinheiro que os consumidores economizam ao
comprar um produto pelo prec¸o P. Assim, calcule o excedente do consumidor para
uma demanda p = 1200− 0, 2x− 0, 0001x2 quando o n´ıvel de vendas e´ 500
8. A respirac¸a˜o e´ um ciclo completo e c´ıclico que comec¸a pela inalac¸a˜o e acaba pela
exalac¸a˜o, e isso tudo leva cerca de 5s. A taxa ma´xima do fluxo de ar para dentro
dos pulmo˜es e´ de cerca de 0, 5L/s. Isso explica, em parte, por que a func¸a˜o f(t) =
1
2
sen(2pit/5) tem sido frequ¨entemente usada para modelar a taxa de fluxo de ar para
dentro dos pulmo˜es. Use esse modelo para encontrar o volume de ar inalado nos
pulmo˜es no instante t.
Boa Avaliac¸a˜o!
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