MecFluidos

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A
MECANICA DOS FLUIDOS
Estetubarão precisa nadar constantemente para não afun-
dar no oéeano, enquanto o peixinho tropical alaranjado
consegue permanecer no mesmo nível na água com
pouco esforço. Por que essa diferença?
OS fluidos desempenhampapel vital em muitosaspectosde nossavida cotidiana.Nós bebemos,respiramose nadamosem fluidos.Eles circulam
em nossocorpo e são responsáveispelo clima. Os avi-
ões voam atravésdeles; os navios flutuamsobre eles.
Denomina-sefluido qualquersubstânciaque podefluir;
o termopodeserusadoparaumgásou paraumlíquido.
Geralmente,consideramosgás o fluido que pode ser
facilmentecomprimido e um líquido, o fluido que é
quase incompressível, embora existam alguns casos
excepcionais.
Vamoscomeçarcoma estáticadosfluidos,o estudo
de fluidos em repouso, em situação de equilíbrio.
Analogamenteaoutrassituaçõesdeequilíbrio,elasepauta
naprimeiraenaterceiraleisdeNewton.Vamosanalisaros
conceitosbásicosdedensidade,pressãoeempuxo.A dinâ-
micadosfluidos,o estudode fluidosem movimento,é
muito mais complexa;trata-se,na verdade,de um dos
ramosmaiscomplexosdamecânica.Felizmente,podemos
analisarmuitassituaçõesimportantesutilizandomodelos
idealizadossimplese princípiosfamiliares,tais como as
72
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao estudarestecapítulo,vocêaprenderá:
• O que é a densidadede um materiale a densidademédia
de um corpo.
• O que é a pressãoem um fluidoe comoé medida.
• Como calculara força do empuxoexercidapor um fluido
sobreum corponele imerso.
• A diferençaentrefluido laminare fluidoturbulento,e como
a velocidadedo escoamentoem um tubo depende do
tamanhodo tubo.
Como usara equaçãode Bernoulliem certostiposde escoa-
mentopararelacionara pressãoà velocidadedo escoamen-
to em diferentespontos.
leis de Newtone a lei daconservaçãodaenergia.Mesmo
assim,trataremosapenassuperficialmentedessevastoe
interessantetópico.
14.1 Densidade
Uma propriedadeimportantede qualquermaterialé
sua densidade,definidacomo a massapor unidadede
volume. Em português,um sinônimo de densidadeé
massaespecifica.Um materialhomogêneo,tal como o
gelo ou o ferro, possuia mesmadensidadeem todasas
suaspartes.Usaremosaletragregap (pronuncia-se"rô")para
simbolizara densidade.Quandoa massam deum material
homogêneopossuivolumeV,suadensidadep é
m
p =- (definiçãodedensidade) (14.1)V
Dois objetosfeitoscomo mesmomaterialpossuema
mesmadensidade,mesmoquetenhammassase volumes
diferentes.Isso aconteceporquea razãoentrea massae o
volumeé a mesmaparaambososobjetos(Figura14.1).
Massasdiferentes,mesmadensidade:
Tantoa chaveinglesaquanto
o prego,por seremfeitosdeaço,
possuemamesmadensidade
(massapor unidadedevolume).
,pre\o .
deaço
o,C\., ~
Figura14.1 Dois objetos de massas diferentes e volumes diferentes, mas
com a mesma densidade.
Figura14.2 O preço do ouro é cotado por massa (digamos, em reais por
grama). Como o ouro é um dos metais mais densos, uma fortuna pode ser
armazenada em um volume pequeno desse metal.
A unidadeSI de densidadeé o quilogramapor metro
cúbico(1kg/m\ A unidadecgs,gramaporcentímetrocúbi-
co (1 g/cm3), tambémé muitoempregada.°fatorde con-
versãoentreambasé
1g/cm3=1000kg/m3
NaTabela14.11istamosasdensidadesdealgumassubs-
tânciascomunsemtemperaturasnormais.Observea grande
variedadedasordensdegrandeza(Figura14.2).°material
maisdensoencontradonasuperfícieterrestreéo ósmio(p =
22500 kglm\ porém,essadensidadeé muitopequenase
comparadaàdensidadedecorposastronômicosexóticos,tais
comoaestreladenêutronse aanãbranca.
A densidaderelativadeummaterialoumassaespe-
cífica relativaé a razãoentrea densidadedo materiale a
densidadeda águaa 4,0 °C, 1000kg/m3; trata-sede um
númeropuro, sem unidades.Por exemplo,a densidade
relativado alumínioé 2,7.
A densidadedealgunsmateriaisvariadeumpontoao
outrono interiordo material.Um exemplodissoé o corpo
humano,queinclui gordura,debaixadensidade(cercade
940kglm\ eossos,dealtadensidade(de1700a2500kg/m\
Dois outrosexemplossão a atmosferaterrestre(que é
Capítulo 14 Mecânicados fluidos 73
Tabela14.1 Densidades de algumas substâncias comuns
Densidade Densidade
Material
(kg/m3)*Material(kg/m3)*
Ar (I atm,20°C) 1,20
Ferro,aço7,8x 103
Álcooletílico
0,81x 103Latão8,6x 103
Benzeno
0,90x 103Cobre8,9x 103
Gelo
0,92x 103Prata10,5x 103
Água
1,00x 103Chumbo11,3x 103
Águadomar
1,03x 103Mercúrio13,6x 103
Sangue
I ,06x I03Ouro19,3xIQ3
Glicerina
I ,26x 103Platina21,4 x 103
Concreto
2,00x 103Estrelaanãbranca1010
Alumínio
2,70x 103Estreladenêutrons1018
* Paraobteradensidadeemgramasporcentímetrocúbico,simplesmente
divida os valorespor 103.
menosdensaemaltitudeselevadas)e os oceanos(quesão
maisdensosemprofundidadeselevadas).Paraessesmate-
riais, a Equação (14.1) descreveapenasa densidade
média.Em geral,a densidadedeum materialdependede
fatoresambientais,taiscomoa temperaturae a pressão.
A mediçãoda densidadeé uma importantetécnica
analítica.Por exemplo,podemosverificarseumabateria
estácarregadamedindoa densidadedo seueletrólito,uma
soluçãodeácidosulfúrico.À medidaqueabateriadescar-
rega,o ácidosulfúrico(H2S04)combina-secomo chumbonas
placasdabateria,formandoo sulfatodechumbo(PbS04),
queé insolúvel,fazendodiminuira concentraçãodasolu-
ção.A densidadevariade 1,30x 103kg/m3paraumabate-
ria completamentecarregadaaté1,15x 103kg/m3,quando
a bateriaestádescarregada.
Outroexemplotambémencontradoemautomóveisé
o anticongelantepermanente,que,geralmente,éumasolu-
çãodeáguacomglicol deetileno(p =1,12x 103kg/m3).°pontodecongelamentoda soluçãodependedaconcen-
traçãodo glicol, quepodeserdeterminadamedindo-sea
densidade.As medidasde densidadesão feitas,muitas
vezes,empostosdeserviçoscomumdispositivochamado
densímetro,queserádiscutidonaSeção14.3.
Exemplo 14.1
PESO DO AR NO INTERIOR DE UMA SALA Acheamassae
o pesodoarnointeriordeumasaladeestarcomumaalturade
3,0meumpisocomumaáreade4,0mx 5,0m.Quaisseriama
massaeopesodeumvolumeigualdeágua?
lmI!ImI
IDENTIFICAR: vamossuporqueo arsejahomogêneo,demodo
queadensidadesejaa mesmaemtodaasala.(É verdadequeo
aré menosdensoemregiõeselevadasdoquepertodoníveldo
mar.A variaçãodadensidadenasalade3,0mdealtura,todavia,
é desprezível;vejaaSeção14.2.)
PREPARAR: usaremosaEquação(14.1) pararelacionaramassa
(avariávelprocurada)comovolume(queiremoscalcularapartir
dasdimensõesdasala)eadensidade(conformeaTabela14.1).
74 FíSICA II
EXECUTAR: o volumeda salaé V = (3,0m)(4,0m) x (5,0 m) =
60 m3. A massado ar mar podeserobtidapelaEquação(14.1):
opesodoar é
Par =marg =(72kg)(9,8m/s2)=700N = 160libras
A massade umvolumeigualdeáguaé
o pesoé
Págua=mágua g =(6,0x 104kg)(9,8m/s2)
=5,9X 105N = 1,3x 105librasdeágua=66 tons
AVALIAR: umasalacheiadear pesao mesmoqueum adultode
tamanhomédio!A águaéquasemil vezesmaisdensadoqueo ar,e
suamassaepesosãomaioresnessemesmofator.O pesodeumasala
cheiadeáguafariacomqueo pisodeumacasacomumafundasse.
Teste sua compreensãoda Seção 14.1 Coloque os
seguintesobjetosemordemda maiorà menordensidademédia:
(i) massaiguala4,0kg,volumeiguala 1,60x 10-3m3; (ii) massa
iguala 8,0kg, volumeiguala 1,60X 10-3m3; (iii) massaiguala
8,0kg,volumeiguala 3,20X 10-3m3; (iv) massaiguala 2560kg,
volumeiguala 0,640m3; (v)massaiguala 2560kg,volumeigual
a 1,28m3. I
14.2 Pressão em um fluido
Quandoum fluido (um gásou um líquido) estáem
repouso,ele exerceumaforça perpendicularsobrequal-
quersuperfíciequeestejaemcontatocomele,tal comoa
parededorecipienteouumcorpoimersono fluido.Essaé
a forçaquepressionasuaspernasquandovocêas movi-
mentaem uma piscina.Emborao fluido como um todo
UmapequenasuperfíciedeáreadA
no interiordeum fluido emrepouso.
\
J
J 1
I .....-
~ j dF1.
dF1. _ dA I t
\...... --J j
A superfícienã~acelera,entãoo fluido
circundanteexerceforçasnormaisiguais
emambosos ladosdasuperfície.(O fluido
nãopodeexercerqualquerforçaparalela
à superfície,já queissofariacomquea
suoerfícieacelerasse.)Figura14.3 Forças atuando sobre uma pequena superfície dentro de um
fluido em repouso.
estejaemrepouso,asmoléculasqueo constituemestãoem
movimento;as forçasexercidaspelo fluido sãooriundas
dascolisõesmolecularescomassuperfíciesvizinhas.
Se pensarmosem umasuperfícieimagináriano inte-
rior do fluido, o fluido exerceforças iguaise contrárias
sobreosdois ladosdasuperfície.(Casocontrário,a super-
fície seriaacelerada,e o fluido não estariaem repouso.)
ConsidereumapequenasuperfíciedeáreadA centralizada
emumpontodofluido;a forçanormalexercidapelofluido
sobrecadaladodasuperfícieédF1. (Figura14.3).Definimos
a pressãoP nessepontocomoaforçanormalporunidade
deárea,ou seja,pelarazãoentredF1- e dA (Figura14.4):
dF
P = __ 1- (definiçãodepressão) (14.2)dA
Quandoapressãofor a mesmaemtodosospontosde
umasuperfícieplanadeáreaA, então
F1-
P = - (14.3)A
ondeF 1- éa forçanormalresultantesobreumdos ladosda
superfície.A unidadeSI depressãoéo pascal,onde
1pascal= 1Pa= 1N/m2
Já havíamostrabalhadocomo pascalno Capítulo11.
Duasunidadesrelacionadas,usadasprincipalmenteemmeteo-
rologia,sãoo bar,iguala 105Pa,eo milibar,iguala 100Pa.
A pressãoatmosféricaP a é a pressãoexercidapela
atmosferaterrestre,a pressãono fundodesseoceanodear
em quevivemos.Essapressãovariacomascondiçõesdo
tempoe com a altitude.A pressãoatmosféricanormalao
níveldomar(umvalormédio)é 1atm(atmosfera),equiva-
lentea 101325Pa.Com quatroalgarismossignificativos,
(Pa)m =1 atm = 1,013X 105Pa
= 1,013bar = 1013millibar = 14,70librasjpolegadas2
2dF1.i
1---_
I -I ------ - .
I ~' .....
d~ I dF 2dA " .
1. I..... dA I 1. .....r-;----.....
:--~ \· .· .· .· .· .· .
i 2dF" ,
Emboraessasduassuperfíciesdifiramem
áreae orientação,a pressãosobreelas
(a forçadivididapelaárea)é amesma.
Note quea pressãoé umagrandezaescalar
- nãopossuidireção.
Figura14.4Apressão de cada lado de uma superfícieéa força divididapela
área. A pressão é uma grandeza escalar com unidades de newtons por metro
quadrado. Já a força é uma grandezavetorial,e sua unidade é o newton.
Capítulo 14 Mecânicados fluidos 75
ATENÇÃO Não confunda pressão e força Na linguagem
cotidiana, 'pressão'e 'força' significam praticamenteo
mesmo.Contudo,na mecânicados fluidos,essaspalavras
descrevemgrandezasdistintascom característicasfísicas
diferentes.A pressãodo fluidoatuasempreortogonalmente
sobrequalquersuperfícieorientadaem qualquerdireção
(Figura 14.4).Portanto,a pressãonãotemnenhumadireção
própria;trata-sede umagrandezaescalar.Em contraste,a
forçaé umagrandezavetorial,quepossuimódulo,direção
e sentido.Lembretambémquea pressãoé força por uni-
dadede área.Como mostraa Figura 14.4,umasuperfície
com o dobroda áreaé submetidaao dobroda força pelo
fluido,demodoquea pressãoé a mesma.
-- -------
PREPARAR: a pressãoé uniforme,entãousamosa Equação(14.3)
paracalculara forçaF 1- a partirdapressãoe daárea.
EXECUTAR: a áreado pisoé A =(4,0m)(5,0m)=20m2• A pres-
são é uniforme,logo a Equação(14.3) fornecea força totalde
cimaparabaixo,ou seja
F1- = PA = (1,013 X 105N/m2)(20 m2)
= 2,0 X 106N = 4,6 X 105libras= 230tons
AVALIAR: comono Exemplo 14.1,issoseriamaisdo queo sufi-
cienteparafazero pisoafundar.No entanto,elenãoafunda,porque
háumaforçadeigualmóduloexercidadebaixoparacimasobreo
piso.Sea casativerumporão,essaforçaé fornecidapeloarexis-
tenteembaixodo piso.Nessecaso,desprezando-sea espessurado
piso,a forçaresultanteexercidapelapressãodoaré iguala zero.
A FORÇA DO AR Na saladescritanoExemplo14.1,acheaforça
totalde cimaparabaixoexercidapelapressãodo ar de 1,0atm
sobrea superfíciedo piso.
lmmB
IDENTIFICAR: esteexemplousaa relaçãoentreapressãodeum
fluido (nestecaso,o ar),a força normalexercidapelo fluidoe a
áreasobrea qualessaforçaage.Nessasituação,a superfíciedo
pisoé horizontal,portantoa forçaexercidapeloar é vertical(de
cimaparabaixo).
Pressão, profundidade e lei de Pascal
Quandodesprezamoso pesodo fluido,a pressãono
interiordo fluido é a mesmaem todosos pontosdo seu
volume.Na Seção11.4,usamosessaaproximaçãonadis-
cussãoda tensãoe da deformaçãovolumétrica.Porém,
geralmenteo pesodeumfluidonãoé desprezível.A pres-
são atmosféricaem altitudeselevadasé menordo que a
pressãoatmosféricaao nível do mar; por essarazão,a
cabinedeumaviãodeveserpressurizadaquandoelevoaa
umaaltitudede 11km. Quandovocêmergulhaemáguas
profundas,seusouvidosinformama vocêquea pressão
estácrescendocomo aumentodaprofundidade.
Podemosdeduzirumaexpressãogeralentreapressão
P em um dadopontono interiorde um fluido e a altura
desseponto.Vamossuporqueadensidadep ea aceleração
dagravidadeg permaneçamconstantesemtodosospontos
do fluido. Quandoo fluido estáem equilíbrio,cadaele-
mentodevolumeestáemequilíbrio.Considereumpeque-
no elementode fluido com alturady (Figura 14.5a).A
superfície inferior e a superfície superior possuema
mesmaáreaA, esuasalturasrespectivasacimadeumnível
dereferênciay =Osãodadaspory ey +dy. O volumedo
dy
o
(a)
/---.4"-
I-
Um elementode fluido em
repousocomáreatLe--ª1tJlrJLd"
(b)
Forçadevidoà pressãoP +dp As forçassobre
sobreasuperfíciesuperior: os quatrolados
(P +dP)A~•· do elemento
seanulam."'--- ---~ :
~ ~i:"dv r
.;r----I'}1:'dp -Peso do..,.....•..• PA elementodefluido.
..' /
..... Forçadevidoà pressãop
/. sobreasuperfícieinferior.
Como o fluido estáemequilíbrio,o vetorsoma
dasforçasverticaissobreo elementodefluido
deveserigualazero: PA - (P +dp)A - dp =O.
A umaprofundidade11,
a pressãoP é igualà
pressãodesuperfície
Po maisa pressãopgll
devidoao fluido sobreposto:
P = Po +pgll .
A diferençadepressãoentreos níveis I e2:
P2 - P1 = -pgCV2 - y,)
A pressãoé maiorno nívelmaisbaixo.
Figura 14.5 As forçasque atuamsobreum elementode fluidoem equi-
líbrio.
Figura 14.6 Como a pressãovariacom a profundidadeem um fluido
com densidadeuniforme.
76 FíSICA II
elementodefluidoé dV =A dy, suamassaé dm =p dV =
P A dye seupesoédp =dm g =pgA dy.
Quaissãoasforçasqueatuamsobreesseelementode
fluido(Figura14.5b)?ChamedeP a pressãonasuperfície
inferior;o componentey daforçaresultantequeatuasobre
essasuperfícieéPA. A pressãonasuperfíciesuperioréP +
dP, e o componentey daforçaresultantequeatua(decima
parabaixo)sobrea superfíciesuperioré - (P +dP)A. O
elementodefluidoestáemequilíbrio,logoo componente
y da força total resultante,incluindo o peso e as outras
forçasmencionadas,deveseriguala zero:
'2.Fy =O, logo PA - (P +dP) A - pgA dy =O
A pressãono topodecadacolunade
líquidoé a pressãoatmosférica:..P o.
DividindopelaáreaA e reagrupandoos termos,obtemos
dP
dy
-pg (14.4)
A pressãonabasedecadacolunade
líquidopossuio mesmovalorP.
A diferençaentreP e Po épgh, ondeh é a
distânciado topoà basedacolunadelíquido.
Logo, todasascolunasapresentama mesmaaltura.
Essaequaçãomostraque,quandoy aumenta,P dimi-
nui; ou seja,à medidaque subimosatravésdo fluido, a
pressãodiminui,comoeradeseesperar.Se PI e P2 forem,
respectivamente,aspressõesnasalturasYI e Y2, e seP e g
permaneceremconstantes,então
Figura 14.7Todas as colunasde fluido apresentama mesma altura,
independentementede sua forma.
Lei dePascal:A pressãoaplicadaa um fluido no interior de
um recipienteé transmitida sem nenhuma diminuição a
todosospontosdo fluido e para as paredesdo recipiente.
pgh =(1,2kg/m3)(9,8m/s2)(3,0m)=35Pa
ou cercade 0,00035atm,umadiferençamuitopequena.
Contudo,entreo nível do mare o topodo MonteEverest
(8882m) a densidadedo arvariadeumfatoraproximada-
menteigual a três, e, nessecaso, não podemosusar a
(14.7)e
A Figura] 4.8ilustraesquematicamenteoprincípiode
funcionamentodeum elevadorhidráulico,umaaplicação
da lei de Pascal.Um pistão,cuja seçãoretapossuiárea
pequenaAI, exerceumaforçaFI sobrea superfíciedeum
líquido tal comoum óleo.A pressãoaplicadaP = F/A I é
transmitidaintegralmenteatravésdostubosatéumpistão
maiorcomáreaA2• A pressãoaplicadanosdoiscilindrosé
a mesma,logo
O elevadorhidráulicoéumdispositivoquemultiplicao valordeumaforça,eo fatordemultiplicaçãoédadopela
razãoentreasáreasdosdoispistões.Cadeirasdedentista,
elevadoresdecarro,macacoshidráulicos,diversoseleva-
doresefreioshidráulicossãoexemplosdeaplicaçãodesse
princípio.
Em setratandodegases,ahipótesedequep permane-
ce constanteé realistaapenasparapequenasdiferençasde
altura.Em umasalacom3,0 m de alturacheiade arcom
densidadeuniformeiguala 1,2kg/m3,adiferençadepressão
entreo pisoe o teto,deacordocomaEquação(14.6),é
P2 - PI =-pg(y2 -Yl)
(pressãoemumfluidocomdensidadeconstante)(14.5)
Costumaser maisconvenienteexpressara Equação
(14.5)emtermosdaprofundidade abaixodasuperfíciedo
fluido (Figura 14.6).Considereo ponto 1 em qualquer
níveldo fluidoe sejaP a pressãonessenível.Considereo
ponto2 nasupelflâe do fluidoondea pressãoé Po (índice
inferiorO naprofundidadezero).A profundidadedo ponto
I abaixodasuperfíciedo fluidoé h =Y2 - YI, e a Equação
(14.5)podeserescritanaforma
Po- P =-pg (Y2- YI) =-pgh ou
P =Po +pgh
(pressãoemumfluidocomdensidadeconstante)(14.6)
A pressãoP emumaprofundidadeh é maiordo quea
pressãoPo nasuperfície,e a diferençaentreessaspressões
épgh. Observequeapressãoemqualquerdosdoispontos
do fluidoé sempreigualemtodosospontosquepossuem
amesmaaltura.Aforma dorecipientenãoalteraessapres-
são(Figura14.7).
A Equação(14.6)mostraque,seaumentarmoso valor
dapressãoPo notopodasuperfície,possivelmenteusando
um pistãoque se adaptafirmementeao interiordo reci-
pientee empurraa superfíciedo fluido, a pressãoP em
qualquerprofundidadedofluidoaumentadeumvalorexa-
tamenteigualaovalordoaumentodapressão.Essefatofoi
verificadoem 1653pelo cientistafrancêsBlaise Pascal
(1623-1662),e é chamadode lei de Pascal:
Capítulo 14 Mecânicados fluidos 77
'(....
A altura
aqueo
mercúrio
sobe
depende
dapressão
atmosférica
exercida
sobreo
mercúrio
no prato.
P =P atm
. h =Y2 I y,
Y2
Há umquase- .
vácuonaparte (IA
superiordo tubo.
(b) O barômetrode mercúrio.
P+ y.... ,.. Patm+
pgYI •••...•.pgY2
A pressão':é a mesmana
basedosdois tubos.
Figura 14.9 Dois tipos de manômetros.
(a) O manômetrode tuboaberto.
Po = Patm
®Atuandosobreumpistãode
áreaampla,a pressãocria uma
forçacapazdesustentarumcarro.
~
~
'> I!IF'
t PA,
®A pressãoP temo·mesmovalor em
todosos pontosà mesmaalturano
interiordo fluido (lei dePascal).
CD Umapequena
forçaé aplicadaa
umpistãoF
:om uma tarea
Figura 14.8 O elevador hidráulico é uma aplicação da lei de
Pascal. Para maior clareza, o tamanho do recipiente que con-
tém o fluido está exagerado.
Equação(14.6).Em contraste,um líquido é aproximada-
menteincompressível,portanto,geralmenteé uma boa
aproximaçãoconsiderarsua densidadeindependenteda
pressão.Um aumentode pressãode algumascentenasde
atmosferasproduzum aumentopercentualde apenasum
dígitonagrandemaioriadoslíquidos.
PREPARAR: o nível da partesuperiordo tanquecorrespondeao
ponto2 naFigura 14.6, e o níveldo fundodo tanquecorresponde
aopontoI.Logo,avariávelquequeremosencontraréP naEquação
(14.6). O problemanosdissequeh =12,0m;comoo topodotanque
é abertoparaa atmosfera,Po é iguala 1atm= 1,0I X 10'5Pa.
EXECUTAR: deacordocomaEquação(14.6), a pressãoabsolutaé
Pressão absoluta e pressão manométrica
Seapressãonointeriordopneudeumautomóvelfosse
igualàpressãoatmosférica,o pneuficariaarriado.A pressão
devesermaiordo quea pressãoatmosféricaparaqueele
possasustentaro peso do carro, logo a grandezafísica
importantenessecasoé adiferençaentreapressãointernae
a pressãoexterna.Quandodizemosque a pressãode um
pneué de '2 atm'queremosdizerqueo ar no interiordo
pneuapresentaumapressãototalde 3 atm.O excessoda
pressãoacimadapressãoatmosféricadenomina-sepressão
manométrica,eapressãototaldenomina-sepressãoabso-
luta.Quandoapressãoabsolutaformenordoqueapressão
atmosférica,comonocasodeumrecipienteondeexisteum
vácuoparcial,a pressãomanométricaé negativa.
P=Po+pgh
=(1,01X 105Pa)+(1000kg/m3)(9,80rn/s2)(I2,0m)
=2,19X 105Pa =2,16atm=31,8libras/polegadas2
A pressãomanométricaé
P-Po=(2,19-1,01)x J05Pa
= 1,18X 105Pa = 1,16atm= 17,1libras/polegadas2
AVALIAR: quandoumtanquepossuiummanômetro,elenormal-
menteé calibradopara medir a pressãomanométricae não a
pressãoabsoluta.Comojá comentamos,a variaçãodapressãona
atmosferaemumaalturadepoucosmetrosé desprezível.
-------------------
CÁLCULO DA PRESSÃO MANOMÉTRICA E DA PRESSÃO ABSOLUTA
Um tanquede armazenamentode 12,0m de profundidadeestá
cheiodeágua.O topodo tanqueé abertoaoar.Qualé a pressão
absolutanofundodo tanque?Qual é a pressãomanométrica?
lm!1Im:II
IDENTIFICAR: águaé quasesempreincompressível.(Imagine
tentarusarum pistãoparacomprimirumcilindro cheiode água
- é impossível!)Assim, podemostratara águacomoum fluido
dedensidadeuniforme.
Pressão manométrica
O manômetromais simplesé o manômetrode tubo
abertoquevemosnaFigura 14.9a.O tuboemformadeU
contémumlíquidodedensidadep, geralmentemercúrioou
água.Umadasextremidadesdotuboestáconectadaaoreci-
pienteondedesejamosmedirapressãoP, e aoutraextremi-
dadeestáabertaparaa atmosferaa umapressãoPo =Patm'
A pressãona basedo tubodevidaao fluidoda colunada
esquerdaéP +pgYI, e a pressãonabasedo tubodevidaao
fluidodacolunadadireitaé Patm+pgY2' Comoessaspres-
sõesreferem-seaomesmoponto,elassãoiguais:
78 FíSICA II
(a) (14.9)
Exemplo 14.4
A HISTÓRIA DE DOIS FLUIDOS O tubode um manômetroé
parcialmentepreenchidocom água.Despeja-seóleo (quenãose
misturacomaáguae possuiumadensidademenordoqueela)no
braçoesquerdodo tuboatéquea linhadeseparaçãoentreo óleo
e a águaestejana metadedo tubo.Ambos os braçosdo tubosão
abertosparao ar.Encontrea relaçãoentreasalturashó1eo e hágua'
Portanto,o barômetrode mercúriomedea pressão
atmosféricaPatmdiretamenteapartirdaalturadacolunade
mercúrio.
Em muitasaplicações,aspressõessãodescritaspela
correspondentealturada colunade mercúriocomo um
certovalorde 'milímetrosdemercúrio'(ou,deformaabre-
viada,mmHg).A pressãoequivalentea I mmHgdenomi-
na-se I torr, em homenagema EvangelistaTorricelli, o
inventordo barômetrodemercúrio.Entretanto,comoessa
unidadedependeda densidadedo mercúrio,que pode
variarcoma temperatura,e deg, quevariacomo local,o
pascalé a unidadedepressãopreferida.
Um tipo comumde manômetrousadoparamedira
pressãoarterial,denominadoesjignomanômetro,é compos-
to porummanômetrocheiodemercúrio.Leiturasdapres-
são do sangue,tais como 130/80,referem-seaos valores
máximose mínimosdaspressõesmanométricasexistentes
nasartérias,medidasemmmHgouemtorroA pressãoarte-
rial variacoma alturadocorpo;o ponto-padrãodereferên-
ciaé a partesuperiordo braço,aoníveldocoração.
Muitos tiposdemanômetrosusamumrecipientefle-
xível selado(Figura 14.1O). Umavariaçãodepressãofora
ou dentro do recipienteproduz uma variaçãode suas
dimensões.Essavariaçãopodesermedidaelétrica,óptica
ou mecanicamente.
EmIf;.D
IDENTIFICAR: a relaçãoentrea pressãoe aprofundidadeemum
fluidoaplica-seapenasaosfluidosdedensidadeuniforme.Assim,
nãoexisteumaequaçãoúnicaparao óleoe a água.O quepodemos
fazeré escreverumarelaçãoentrea pressãoe a profundidadepara
cadafluidoseparadamente.Notequea pressãoé a mesmanabase
dasduascolunasdefluido(ondeosfluidosestãoemcontatoe em
equilíbrio,as pressõessãoiguais)e no topo(ondeos doisfluidos
estãoemcontatocomo are emequilíbriocomele).
PREPARAR: a Figura 14.11mostranossoesboço.Vamosconsi-
derarPo apressãoatmosféricae P apressãoaofundodo tubo.As
densidadesdosdois fluidossãoPáguae PÓleo (queé menordo que
Págua)' Usamosa Equação(14.6)paracadaumdos fluidos.
EXECUTAR: aplicandoa Equação (14.6) a cada um dos dois
fluidos,obtemos
(14.8)
Tubo metálicoespiral
PressãoP
sendomedida
Ponteiro
(b)
P +pgYI = Patm+pgY2
P- Patm= pg (Y2 - YI) = pgh
Figura 14.10 UmmanômetroBourdon.Quandoa pressãonointeriordo
recipienteaumenta,o tuboinflaligeiramente,produzindoumadeflexãodo
ponteirosobreaescala.(b)UmmanômetroBourdonusadoemumtanque
degáscomprimido.
Na Equação(14.8),pé apressãoabsoluta,e a dife-
rençaP - Patmentrea pressãoabsolutae a pressãoatmos-
féricaé a pressãomanométrica.Logo, a pressãomanomé-
tricaéproporcionalà diferençadealtura(h =Y2 - Yl) entre
asduascolunasdo líquido.
Outrotipo comumde manômetroé o barômetrode
mercúrio.Ele consisteemumlongotubodevidro,fechado
emumaextremidade,quefoi previamentepreenchidocom
mercúrioe posteriormenteinvertidoem umrecipienteque
contémmercúrio(Figura14.9b).O espaçoacimadacoluna
demercúriocontémapenasvapordemercúrio;asuapressão
extremamentepequenapodeserdesprezada,demodoquea
pressãoPo no topoda colunade mercúrioé praticamente
iguala zero.De acordocoma Equação(14.6),
Capítulo 14 Mecânicados fluidos 79
Figura14.12Princípio de Arquimedes.
(b) Porçãode fluido substituídapor umcorpo
sólidodemesmotamanhoe forma.
As forçasdapressão
sobrea porçãode
fluido somam-se,
constituindouma
forçadeempuxo
queé igualem
móduloaopeso
daporção.
As forçasdevidasà
pressãosãoiguais,
entãoo corpoé
submetidoà mesma
forçadeempuxoque
aporçãodefluido,
independentemente
dopesodo corpo.
(a) Umaporçãoqualquerdefluido emequilíbrio.5
~- --l...\_-==--__
b~\~:~~
idF.l1 Bf "
••••..( cg i..•..
,Ptluido IdF.l
dF.lf -- - ----\"dF
dF.l ! '\.l
zero,deformaquea linhadeaçãodaforçaresultantedeve
passarpelocentrodegravidadedessaporçãodofluido.
Agora, substituímoso elementode fluido por um
corposólidocomumaformaexatamenteigualà formado
elementoconsiderado(Figura14.12b).A pressãoemcada
pontoé exatamentea mesmaquea anterior.Assim,aforça
de baixo para cima exercidapelo fluido é tambéma
mesma,novamenteigualao pesomg do fluidodeslocado
queabriuo espaçoparao corpo.Essaforçadebaixopara
cimadenomina-seforça deempuxosobreo corposólido.
A linhadeaçãodaforçadeempuxonovamentepassapelo
centrodegravidadedofluidodeslocado(quenãocoincide
necessariamentecomo centrodegravidadedocorpo).
Quandoumbalãoflutuaemequilíbrionoar,seupeso
(incluindoo gásdo seuinterior)deveserigualaopesodo
ardeslocadopelobalão.O corpodeumpeixeémaisdenso
doquea água,e mesmoassimo peixeflutuaquandocolo-
cadodentrodaágua,porque"possuiumacavidadecheiade
gásdentrodocorpo.Issotornaadensidademédiadopeixe
igualàdaágua,deformaqueseupesototaléo mesmoque
o pesodaáguaqueeledesloca.Um corpocujadensidade
médiaé menordo quea do líquido podeflutuarparcial-
mentesubmersona·superfícielivre do líquido. Quanto
maiorfor adensidadedo líquido,menoréapartedocorpo
submersa.Quandovocênadana águado mar(densidade
igual a 1030kg/m3), seucorpoflutuamaisfacilmentedo
quequandovocênadanaáguadoce(1000kg/m3).
Outroexemplofamiliaré o densímetro,umdispositi-
vo usadoparadeterminara densidadede líquidos(Figura
Teste sua compreensão da Seção 14.2 O mercúrioé
menosdensoemtemperaturaselevadasdo queem temperaturas
baixas.Suponhaque você leve um barômetrode mercúriodo
interiorgeladodeumrefrigeradorbemfechadoparao ar livreem
um dia quentede verãoe descubraque a coluna de mercúrio
continuana mesmaalturano tubo.Comparadaà pressãodo ar
dentrodo refrigerador,apressãoaoarlivreé(i) maior,(ii) menor,
ou (iii) igual?(Desprezeaspequenasvariaçõesnasdimensõesdo
tubodevidrodevidoà variaçãodatemperatura.)I
oempuxoé umfenômenofamiliar:umcorpoimerso
na águaparecepossuir um peso menor do que no ar.
Quandoo corpopossuidensidademenordo quea do flui-
do, ele flutua.O corpo humanonormalmenteflutuana
água,e umbalãocheiodehélio flutuano ar.
o princípio deArquimedesafirma: quandoum corpo está
parcial ou completamenteimerso em um fluido, o fluido
exercesobreo corpo uma força de baixo para cima igual
ao pesodo volumedo fluido deslocadopelo corpo.
AVALIAR: como o óleo é menosdensodo quea água,a razão
PágualPóleo é maiordo que I, e hó1eo é maior do que hágua (como
mostraa Figura 14.11).Ou seja,a alturado óleo,quetemmenor
densidade,precisasermaiorparaproduzira mesmapressãoP ao
fundodotubo.
14.3 Empuxo
P água
hó1eo=--hágua
PÓleo
Como a pressãoP no fundodo tuboé a mesmanosdois fluidos,
igualamosasduasexpressõese resolvemosparahó1eo emtermos
de hágua. O resultadoé
Figura14.11Nosso esboço para esse problema.
Para demonstraresseprincípio, consideramosuma
porçãoqualquerdefluidoemrepouso.Na Figura 14.12aa
linhairregularexternaindicaasuperfíciequedelimitaessa
porçãodo fluido.As setasrepresentamasforçasexercidas
pelofluidovizinhosobrea superfíciedecontorno.
O fluidotodoestáemequilíbrio,logoo componentey
daforçaresultantedeveseriguala zero.Portanto,a soma
doscomponentesy dasforçasqueatuamsobrea supeifície
deveserumaforçadebaixoparacimacommóduloigualao
pesomg do fluidono interiorda superfície.Além disso,a
somadostorquessobrea porçãodo fluidodeveseriguala
80 F í S I C A II
Figura 14.13 Medindo a densidade de um fluido.
(b)Diagramado corpolivre
paraaestátuasubmersa.
y
I
t
• x
mg = 147N
(a) A estátuadeouro submersa
emequilíbrio.
B =Par Vg =(1,2kg/m3) (7,77X 10-4m3) (9,80m/s2)
=9,1X 10-3N
V=~= 15,Okg
Pouro 19,3X 103kg/m3= 7,77 X 10-4 m3
EXECUTAR: a)paraencontraro empuxo,calculeprimeiroo volu-
medaestátua,verificandoa densidadedoouronaTabela14.1:
2:F;. = B +T + (-mg) = O
T =mg - B = (15,0kg )(9,80 m/s2) - 7,84N
= 147N - 7,84N = 139N
tensãoT. O problemaforneceuo pesomg,e podemoscalcularo
empuxoB por meio do princípiode Arquimedes.Fazemosisso
paraos doiscasos:(a)quandoa estátuaestáimersanaáguae (b)
quandoa estátuaestáforadaáguae imersano ar.
P águado mar=máguado marg = P águado marVg
= (1,03 X 103kg/m3)(7,77 X 10-4 m3)(9,80m/s2)
= 7,84N
Figura 14.14 Qual é a tensão no cabo que sustenta a estátua?
Usandoa Tabela 14.1maisumavez,encontramoso pesodesse
volumedeáguado mar:
Essevaloré igualaomódulodaforçadeempuxoB.
Como aestátuaestáemrepouso,a forçaresultantequeatuasobre
elaé iguala zero.PelaFigura 14.14b,
Essaforça equivalea 62 partespor milhãodo pesorealda está-
tua. Esse valor estámuito aquémda precisãorequeridaneste
problema,demodoquepodemosdesprezá-Io.Portanto,a tensão
no cabocoma estátuano ar é igualaopesodaestátua,147N.
Seumdinamômetrofor presoà extremidadesuperiordocabo,ele
indicará7,84N a menosdo quesea estátuanãoestivesseimersa
naáguado mar.Portanto,aestátuasubmersaparecepesar139N,
cercade5% a menosdo queseupesode 147N.
b) A densidadedo ar é aproximadamenteigual a 1,2kg/m3,
demodoquea forçadeempuxodo ar sobrea estátuaé
opesono fundofazcomquea
escalaflutueempé.
PREPARAR: a Figura 14.14bmostrao diagramade forças da
estátuaem equilíbrio.A variávelque queremosencontraré a
14.13a).Um flutuadorcalibradoafundano líquidoatéque
seupesosetorneexatamenteigualao pesodo fluidodes-
locado.O flutuadordo densímetroem um líquido mais
densoflutuaem umaalturamaiselevadado quea altura
em um líquido menosdenso.Ele é mais pesadoem sua
extremidadeinferiorde modoquesuaposiçãodireitase
mantémestávele umaescalamarcadana hastesuperior
permiteumaleituradiretada densidade.A Figura 14.l3b
mostraum tipo de densímetrogeralmenteusado para
medira densidadedo ácidodeumabateriaou adensidade
de um anticongelante.A extremidadeinferior do tubo
maioré imersano líquido, o bulbo é comprimidopara
expeliro ar e a seguirlibertado,funcionandocomo um
conta-gotasgigante.O líquidoascendeno tuboe o flutua-
doratingeo equilíbrionaamostrado líquido.
A profundidadeemqueaescala
(cujopesoseconhece)mergulha
informaadensidadedo fluido.
(b) Usandoumdensímetropara
mediradensidadedo ácido
dabateria,ou anticongelante.
(a) Um densímetrosimples.
EMPUXO Umaestátuadeourode 15,0kg estásendoiçadadeum
naviosubmerso(Figura 14.14a).Qual é a tensãono cabode sus-
tentaçãoquandoa estátuaestáem repousoa) completamente
submersa;b) foradaágua?
lm!!tfDI
IDENTIFICAR: quandoa estátuaestásubmersa,ela sofrea ação
deumaforçadeempuxocommóduloigualaopesodaáguades-
locada.Paraacharessaforça,observamosquea estátuaestáem
equilíbrio(ou seja,estáemrepouso)e consideramosastrêsfor-
çasqueagemsobreela:peso,empuxoe a tensãonocabo.
-~------
Capítulo 14 Mecânica dosfluidos 81
Moléculasdeum líquidosão
atraídaspelasmoléculasvizinhas.
Figura 14.16 Uma molécula na superfíciede um líquido é atraídaparadentro
do seio do líquido, o que tende a reduzir a área superficialdo líquido.
l
Moléculasdo interior
sãoigualmente
atraídasem ".
todasasdireções.
AVALIAR: noteque o empuxoé proporcionalà densidadedo
fluido, nãoà densidadedaestátua.Quantomaisdensoéo fluido,
maioro empuxoe menora tensãono cabo.Se o fluido tivessea
mesmadensidadequea estátua,o empuxoseriaigualaopesoda
estátuae a tensãoseriazero (o caboficariafrouxo).Se o fluido
fosse maisdensodo que a estátua,a tensãoserianegativa:o
empuxoseriamaiordoqueo pesodaestátuae umaforçadecima
parabaixoserianecessáriaparaimpedira estátuadeemergir.
Figura 14.15A superfície da água age como uma membrana sob tensão,
permitindo que essa aranha-d'água literalmente 'ande sobre as águas'.
PressãodaáguaP
•••
Tensão superficial
Um objetomenosdensodoqueaágua,comoumabola
depraiacheiadear,flutuacompartedeseuvolumeabaixo
dasuperfície.Um clipedepapel,poroutrolado,flutuasobre
a superfícieda águaemborasuadensidadeseja diversas
vezesmaiordoqueadaágua.Essassituaçõesexemplificam
o fenômenodatensãosuperficial:asuperfíciedo líquidose
comportacomoumamembranasubmetidaàtensão(Figura
14.15).As moléculasdeumlíquidoexercemforçasdeatra-
ção mútuas;a força resultantesobrequalquermolécula
situadano interiordo volumedo líquido é igual a zero,
porém,umamoléculanasuperfícieépuxadaparadentrodo
volume(Figura14.16).Ou seja,o líquidotendeaminimizar
aáreadasuperfície,damesmaformaqueumamembrana.
A tensãosuperficialexplicapor quegotasde chuva
caindolivrementesãoesféricas(e não emformadelágri-
mas):a esferaé a formaquepossuia menoráreasuperfi-
cial paraumdadovolume.Explica tambémpor queágua
comsabãoserveparaa limpeza.Paralavarbemasroupas,
aáguaprecisaserforçadaa entrarnosminúsculosespaços
entreas fibras(Figura 14.17).Isso exigeum aumentona
áreasuperficialda água,que é difícil de obterdevidoà
tensãosuperficial.A tarefasetornamaissimplesaumen-
tandoa temperaturada águae adicionandosabão,pois
ambososprocedimentosdiminuema tensãosuperficial.
A tensãosuperficialé importanteparaumagotade
águadetamanhomilimétrico,quepossuiumaáreasuper-
ficial relativamentegrandeparaseuvolume.(Uma esfera
deraio r temáreasuperficialigual a41Tr2 e volumeigual
a (41T/3)r3• A razãoentrea áreasuperficiale o volumeé
de 3/r, queaumentaà medidaqueo raio diminui.) Para
grandesquantidadesde líquido, contudo,a razãoentrea
áreasuperficiale o volumeé relativamentepequena,e a
tensãosuperficialédesprezívelsecomparadaàsforçasde
····\T/·
Fibras
Pressãodo arP o
Figura 14.17 A tensão superficialdificultaa penetraçãoda água entrefendas
pequenas. A pressão da água P necessáriapode ser reduzida usando-se água
quente com sabão,que possui tensão superficialmenor.
pressão.Duranteo restantedestecapítulo,consideraremos
apenasfluidosemgrandesquantidadese,portanto,despre-
zaremososefeitosdatensãosuperficial.
Teste sua compreensão da Seção 14.3 Vocêcolocaum
recipientedeáguado maremumabalançae verificao seupeso.
A seguir,você mergulhaa estátuado Exemplo 14.5dentroda
águasuspendendo-apor um fio (Figura 14.18).Como varia a
leiturado pesonabalança?(i) Aumentaem7,84N; (ii) diminui
em7,84N; (iii) permaneceigual;(iv) nenhumadasanteriores.
Figura 14.18 Como varia a leitura na balança quando a estátua é imersa
na água? I
Figura 14.20 Escoamento Iaminar em torno de obstáculos com formas diferentes.
82 FíSICA 11
Tubo deescoamento
Figura 14.19 Um tubo de escoamento delimitado por linhas de escoa-
mento. Em um escoamento estacionário o fluido não pode cruzar as pare-
des de um tubo de escoamento.
14.4 Escoamento de um fluido
Estamosagorapreparadosparaestudaro movimento
deumfluido.O escoamentodeum fluidopodeserextre-
mamentecomplexo,comono casodascorrentezasde um
rio ou daschamasrevoltasdeumafogueiraemumacam-
pamento.Entretanto,algumassituaçõespodemserdescri-
tas medianteum modeloidealizadosimples.Um fluido
idealéumfluidoincompressível(ouseja,aquelecujaden-
sidadenãovaria)esemnenhumatritointerno(chamadode
viscosidade).Os líquidos são aproximadamenteincom-
pressíveisemmuitassituações,e podemostambémconsi-
derar um gás incompressívelquandoas diferençasde
pressãodeumaregiãoparaoutranãoforemmuitoeleva-
das.O atritointernoemumfluidoproduztensõesdecisa-
lhamentoquandoexisteummovimentorelativoentreduas
camadasvizinhasdo fluido,comono casodo escoamento
de um fluidono interiorde um tuboou em tornode um
obstáculo.Em algunscasos,essastensõesdecisalhamento
podemser desprezadasem comparaçãoàs diferençasde
pressãoe forçasoriundasdaaçãodagravidade.
A trajetóriade uma partículaindividual duranteo
escoamentode um fluido denomina-selinha de escoa-
mentoou linhadefluxo.Quandoa configuraçãoglobaldo
escoamentode um fluido não variacom o tempo,ele se
chamade escoamentoestacionárioou escoamentoper-
manente.No escoamentoestacionário,todoelementoque
passapor um dado pontoseguesemprea mesmalinha
de escoamento.Nessecaso,o 'mapa'dasvelocidadesdo
fluidoemdiversospontosdo espaçopermanececonstante,
emboraa velocidadedapartículapossavariaremmódulo,
direçãoe sentidoempontosdiferentes.Uma linha de cor-
renteé umacurvacujatangenteemcadapontodáa dire-
çãoe o sentidodavelocidadenorespectivoponto.Quando
a configuraçãodo escoamentode um fluido variacom o
tempo,as linhasdecorrentenãocoincidemcomaslinhas
de escoamento.Consideraremosapenassituaçõescom
escoamentoestacionário,nasquaisaslinhasdecorrentee
as linhasdeescoamentosãoidênticas.
As linhasde escoamentoquepassamatravésde um
elementodeáreaimaginário,tal comoa áreaA naFigura
14.19,formamumtubochamadode tubo de escoamento
ou tubode fluxo.Pela definiçãode linhade escoamento,
em um escoamentoestacionárionenhumapartedo fluido
podeatravessaras paredeslateraisde umtudode escoa-
mento;os fluidosde diferentestubosde escoamentonão
podemsemisturar.
Na Figura 14.20,daesquerdaparaa direita,vemoso
escoamentodeumfluidoemtornodetrêstiposdiferentes
de obstáculos.Essasfotografiasforamfeitasinjetando-se
umcorantenaáguaqueescoavaentreduasplacasdevidro.
Todasasconfiguraçõesindicadassãotípicasdoescoamen-
to laminar, noqualcamadasadjacentesdofluidodeslizam
umassobreasoutrase o escoamentoéestacionário.(Uma
lâminaé umafolha fina.)Parataxasde escoamentosufi-
cientementeelevadas,ou quandoum obstáculoproduz
variaçõesabruptasdevelocidade,o escoamentopodetor-
nar-seirregularecaótico.Nessecaso,elerecebeo nomede
escoamentoturbulento (Figura 14.21).Em um escoa-
mentoturbulentonão podeexistirnenhumaconfiguração
com escoamentoestacionário;a configuraçãodo escoa-
mentovariacontinuamentecomo tempo.
Equação da continuidade
A massadeumfluidonãovariaduranteseuescoamen-
to.Isso levaaumarelaçãoimportantechamadadeequação
da continuidade.Considereumtubodeescoamentodeli-
Figura 14.21 O escoamento da fumaça
erguendo-se dessas varetas de incenso é lami-
nar até certo ponto, depois, torna-se turbulento.
Capítulo 14 Mecânicados fluidos 83
mitadoporduasseçõesretasestacionáriasdeáreasA I eA2
(Figura14.22).Nessasseçõesretasasvelocidadesdofluido
sãov I e Vb respectivamente.Nenhumfluidopodeescoar
pelasparedeslateraisdotubo,porqueavelocidadedofluido
é tangenteà paredeemcadaumdosseuspontos.Durante
umpequenointervalodetempodt,o fluidoqueestavaem
A 1 sedeslocaumadistânciav I dt,demodoqueumcilindro
defluidocomalturav I dt evolumedVI =A 1 V I dt escoapara
o interiordotuboatravésdeA I'Duranteessemesmointer-
valodetempo,umcilindrocomvolumedV2=A2 V2dt escoa
paraforado tuboatravésdeA2•
Vamosconsiderarinicialmenteo casode um fluido
incompressível,de tal formaquea densidadep possuao
mesmovalorem todosos pontosdo fluido.A massadml
queflui parao interiordo tuboatravésdaáreaA I notempo
dt édadapordml =pAI VI dtoAnalogamente,a massadm2
que flui parafora do tuboatravésda áreaA2 no mesmo
tempoé dadapordm2=pA2V2dtoNo escoamentoestacio-
nário, amassatotal no tubo permanececonstante,logo
dmI =dm2e
Alvl =A2V2
(equaçãodacontinuidade,fluidoincompressível)(14.10)
um escoamentodiminui, a velocidadeaumentae vice-
versa.A partemaisprofundade umrio possuiumaseção
retamaiore correntesmaislentasdo queas partesrasas,
masa vazãovolumétricaéa mesmanosdoiscasos.Essaé
a essênciadamáxima'Águasprofundasaindacorrem'.A
correntede águaquejorra de umatorneiratorna-semais
estreitanamedidaemqueaáguaganhavelocidadeduran-
te suaquedalivre, porém,dV/dt possuisempreo mesmo
valorao longodacorrente.Quandoumtubocomdiâmetro
de2 cméligadoaumtubocomdiâmetrode I cm,aveloci-
dadedo escoamentonotubode I cm é quatrovezesmaior
doquea velocidadedoescoamentonotubode2 cm.
Podemosgeneralizara Equação(14.10)parao casodo
escoamentodeumfluidoquenãoé incompressível.SePI e
P2 foremasdensidadesnasseções1e 2, então
PIAlvl =P2A2V2
(equaçãodacontinuidade,fluidocompressível)(14.12)
Seo fluidofor maisdensonoponto2 doquenoponto
I (P2>PI), a vazãovolumétricanoponto2 serámenordo
quenoponto1 (A2V2<Alvl)' Deixamososdetalhesdesta
demonstraçãocomoumexercício(vejaoExercício14.38).
No casodofluidoincompressível,comoPI e P2 sãosempre
iguais,aEquação(14.12)sereduzà Equação(14.10).
oprodutoAv
é constanteem
um fluido
incompressível.
o produtoAv éavazãovolumétricadV/dt,ouseja,ataxa
comaqualo volumedofluidoatravessaaseçãoretadotubo:
A vazãomássicaé ataxadevariaçãodamassaporuni-
dadedetempoatravésdaseçãoretadotubo.Ela édadapelo
produtodadensidadep pelavazãovolumétricadV/dt.
A Equação(14.10)mostraque a vazãovolumétrica
possuisempreo mesmovaloremtodosospontosaolongo
de qualquertubode escoamento.Quandoa seçãoretade
1,9m/s
(9,5L/s) (10-3 m3/L)
1T( 4,0X 10-2m)2
dV/dt
v ----
I - AI -
-------------.----
ESCOAMENTO DE UM FLUIDO INCOMPRESsíVEL Como
partede um sistemade lubrificaçãoparamáquinaspesadas,um
óleo de densidadeiguala 850kg/m3 é bombeadoatravésde um
tubocilíndricode8,0cmdediâmetroa umataxade9,5litrospor
segundo.(a)Qual é a velocidadedo óleo?Qualé a vazãomássi-
ca? (b) Se o diâmetrodo tubofor reduzidoa 4,0cm,quaisserão
os novos valores para a velocidade e vazão volumétrica?
Considereo óleo incompressível.
EXECUTAR: (a) a vazão volumétricadV/dt é igual ao produto
A IV I, ondeA I é a áreada seçãoretado tubo de diâmetrode
8,0cme raio4,0cm.Assim,
PREPARAR: usamosa definiçãodavazãovolumétrica,Equação
(14.11),paraencontrara velocidadeV I na seçãode 8,0 cm de
diâmetro.A vazãomássicaé o produtodadensidadee da vazão
volumétrica.A equaçãodacontinuidadeparaescoamentoincom-
pressível,Equação(14.10),permite-nosencontrara velocidade
V2 naseçãode4,0cm dediâmetro.
lIm!tt!DI
IDENTIFICAR: o dadofundamentalé queo fluidoé incompres-
sível, entãopodemosusar a idéia da equaçãoda continuidade
pararelacionara vazãomássica,a vazãovolumétrica,a áreado
tubodeescoamentoe a velocidadedo escoamento.
(14.11)
dV
- =Av (vazãovolumétrica)
dt
Figura 14.22 Um tubo de escoamento com seção reta de área variável.
Quando o fluido é incompressível, o produto Av permanece constante em
todos os pontos ao longo do tubo de escoamento.
A vazãomássicaé P dV/dt = (850 kg/m3)(9,5x 10-3 m3/s) =
8,1kg/s.
84 F íS I C A II
(b)Comoo óleoé incompressível,a vazãovolumétricaapresenta
o mesmovaloremambasasseçõesdotubo.PelaEquação(14.10),
AVALIAR: a segundaseçãodo tubotema metadedo diâmetroe
umquartodaáreade seçãoretada primeira.Logo, a velocidade
deveserquatrovezesmaiornasegundaseção,o queéexatamen-
teo queo nossoresultadomostra(uz =4u]).
Teste sua compreensão da Seção 14.4 Uma equipede
manutençãoestátrabalhandoemumtrechodeumaestradadetrês
pistas,deixandoapenasumapistaabertaao tráfego.O resultado
é umtráfegomuitomaislento(umengarrafamento).Os carrosna
estradase comportamcomo (i) moléculasde um fluido incom-
pressívelou (ii) moléculasdeumfluidocompressível?I
14.5 Equação de Bernoulli
De acordocomaequaçãodacontinuidade,a velocida-
dedo escoamentodeumfluidopodevariarcomastrajetó-
riasdofluido.A pressãotambémpodevariar;eladependeda
altura,comonasituaçãoestática(Seção14.2),e tambémda
velocidadedo escoamento.Podemosdeduzirumarelação
importanteentreapressão,avelocidadeeaalturanoescoa-
mentodeumfluidoideal,chamadadeequaçãode Bernoulli.
A equaçãode Bernoullié umaferramentaessencialpara
analisarescoamentosem sistemasde encanamentos,em
usinashidrelétricase nosvôosdeaeronaves.
A dependênciada pressãoem relaçãoà velocidade
decorreda equaçãoda continuidade,Equação (14.10).
Quandoum fluido incompressívelescoaao longo de um
tubodeescoamentocomseçãoretavariável,suavelocidade
devevariare,portanto,umelementodofluidodevepossuir
umaaceleração.Quandoo tuboé horizontal,a força que
produzessaaceleraçãoéprovenientedofluidodasvizinhan-
ças.Isso significaquea pressãodeve variarem diferentes
seçõesretasdo tubo;casoela fossea mesmaem todosos
pontos,a força resultantesobrecadaelementodo fluido
deveriaserigualazero.Quandoumtubohorizontalafunila
eoelementodofluidoacelera,eledevesedeslocarparauma
regiãodepressãomenorparaterumaforçaresultantecapaz
deacelerá-Io.Quandoexisteumadiferençadealtura,ocorre
umadiferençadepressãoadicional.
Deduzindo a equação de Bernoulli
Para deduzira equaçãode Bernoulli, aplicamoso
teoremado trabalho-energiaao fluido em uma seçãodo
tubode escoamento.Na Figura 14.23,consideramosum
elementodo fluido que estavainicialmenteentreduas
seçõesretasa e c.A velocidadenaextremidadeinferioré
V I e na extremidadesuperioré V2' Duranteum pequeno
intervalodetempodt,o fluidoqueestavainicialmenteem
Figura 14.23 Deduzindo a equação de Bernoulli. O trabalho total realiza-
do sobre um elemento do fluido pela pressão do fluido circundante é igual
à variação da energia cinética acrescida da variação da energia potencial
gravitacional.
a desloca-separab, percorrendoumadistânciads) = u]dt,
e o fluidoqueestavaemc desloca-separad, percorrendo
umadistânciadS2=U2dt.As áreasdasseçõesretasnasduas
extremidadessãoAI e Ab conformeindicado.O fluidoé
incompressível;portanto,pelaequaçãoda continuidade,
Equação(14.10),o volumede fluido dV que passaem
qualquer seçãoretaduranteum intervalode tempodt é
sempreo mesmo.Ou seja,dV =Alds) =A2ds2.
Vamoscalcularo trabalho realizadosobreesseele-
mentodefluidodurantedto Estamossupondoqueo atrito
internono fluidoé desprezível(ou seja,nãoháviscosida-
de),de modoqueas únicasforçasnãogravitacionaisque
realizamtrabalhosobreo elementodo fluido são as da
pressãodo fluidocircundante.As pressõesnasduasextre-
midadessãoPI e P2; a forçasobreaseçãoretaa éPIA) ea
forçasobrea seçãoretac é P2Az. O trabalhototaldW rea-
lizado pelo fluido das vizinhançassobreo elementode
fluidoduranteessedeslocamentoé
(14.13)
O segundotermopossui sinal negativoporquea força
sobrec seopõeaodeslocamentodo fluido.
O trabalhodW é realizadopor outrasforças,alémda
força conservativada gravidade,portantoele é igual à
variaçãodaenergiamecânicado sistema(energiacinética
maisenergiapotencialgravitacional)associadaaoelemen-
to defluido.A energiamecânicano fluidoentreasseções
b e c nãovaria.No início dedt,o fluidoentreasseçõesa
e b possuivolumeA1ds), massapA1ds)e energiacinética
!p(AI dSI )u? No finaldedt, o fluidoentreasseçõesc ed
Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 85
Substituindoasequações(14.13),(14.14)e(14.15)na
equaçãodaenergiadW =dK +dU, obtemos
possuienergiacinética~p (A2 ds2) u}. A variaçãototalda
energiacinéticadK duranteo intervalodetempodt é
E quantoà variaçãodaenergiapotencialgravitacional?
No iníciodedt,a energiapotencialdamassaentrea e b é
dm gYI = P dV gy\. No final de dt, a energiapotencialda
massaentrec e d é dm gY2= P dV gY2.A variaçãototalda
energiapotencialdU duranteo intervalodetempodt é
(PI - P2) dV = !p dv(ul - u?) +P dV g(Y2 - YI)2
1 (14.16)
p\ - P2 =2p(ul - u?) +pg(Y2 - YI)
Essaé a equaçãode Bernoulli. Ela afirmaqueo tra-
balho realizadopelo fluido das vizinhançassobreuma
unidadedevolumedefluidoé igualà somadasvariaçõesda energiacinéticae da energiapotencialocorridasna
unidadede volumeduranteo escoamento.Podemostam-
béminterpretaraEquação(14.16)emtermosdaspressões.
O primeirotermodomembrodireitoéadiferençadepres-
sãoassociadaà variaçãodavelocidadedofluido.O segun-
do termodo membrodireitoé a diferençadepressãoadi-
cional associadaao peso e produzidapela diferençade
alturaentreasduasextremidades.
Podemostambémexpressara Equação(14.16) de
modomaisconvenienteusandoa forma
AVALIAR suaresposta:Como sempre,confirmeseos resultados
fazemsentido.Verifiqueseasunidadessãoconsistentesumascom
asoutras.Em unidadesSI, a pressãoédadaempascal,adensidade
em quilogramapor metrocúbico e a velocidadeem metropor
segundo.Notetambémquetodasaspressõesdevemserexpressas
comopressõesabsolutasoucomopressõesmanométricas.
.E.st..r.a.tégi~ pa ...r_.a.. a .s.o.luc.'ão de. p.r.o.uble_m_a.s..14..1
EQUAÇÃO DE BERNOULlI
A equaçãode Bernoulli foi deduzidaa partirdo teoremado tra-
balho-energia,portantonãoé surpresaquepossamosaplicaraqui
muitasrecomendaçõesdeestratégiaparaa soluçãodeproblemas
mencionadasnaSeção7.1.
IDENTIFICAR os conceitosrelevantes:comececertificando-se
de queo escoamentodo fluido sejaestacionárioe queo fluido
sejacompressívele livre deatritointerno.Estecasoé umaidea-
lização,masé surpreendentementeaplicávela fluidosqueescoem
por tubos suficientementegrandese a escoamentosdentrode
fluidos com grandevolume (por exemplo,o ar que cercaum
aviãoou a águaao redordeumpeixe).
PREPARAR seguindoospassos:
I. Semprecomeceidentificandoclaramenteos pontosI e 2 men-
cionadosnaequaçãodeBernoulli.
2. Definao seusistemadecoordenadase,emespecial,o nívelem
quey = O.
3. Faça uma lista das grandezasconhecidase desconhecidasna
Equação(14.17).As variáveissãoPI, Pô vI> Vô y, eY2; ascons-
tantessãop e g. O quefoi dado?O quevocêprecisacalcular?
EXECUTAR o problemadaseguinteforma:escrevaa equaçãode
Bernoulli e encontreas grandezasdesconhecidas.Em alguns
problemasvocêterádeusaraequaçãodacontinuidade[Equação
(14.10)]para obteruma relaçãoentreas duasvelocidadesem
termosdasáreasdasseçõesretasdostubosoudosrecipientes.Ou
talvezvocêconheçaas velocidades,maspreciseencontraruma
dasáreas.Você tambémpodeprecisarda Equação(14.11)para
achara vazãovolumétrica.
(14.17)
(14.15)
(14.14)
dU =pdV g (Y2 - Y \)
1
dK = -p dv(ul - u?)2
1 2_ 1 2
p\ +pgy) +-pu) - P2 +pgY2 +-PU22 2
(equaçãodeBemoulli)
Os índices 1e 2 referem-sea qualquerparde pon-
tos ao longo do tubo de escoamento,então podemos
tambémescrever
Note que,quandoo fluido não estáem movimento
(quandou) =U2 =O), aEquação(14.17)sereduzàEquação
(14.5),quedáa pressãodeumfluidoemrepouso.
ATENÇÃO O princípio de Bernoulli se aplica apenas
em certas situações Acentuamosmais uma vez que a
equaçãodeBernoullivalesomenteparao escoamentoesta-
cionáriodeum fluido incompressívelsemviscosidade.Por
serumaequaçãosimplese fácil deusar,surgea tentaçãode
usá-Iaemsituaçõesparaasquaiselanãoé válida,masvocê
deveresistiraessatentação!
1
P +pgy +- pu2=constante2
(14.18)
Exemplo 14.7
PRESSÃO DA ÁGUA EM UMA CASA A águaentraem uma
casaatravésde um tubo com diâmetrointernode 2,0 cm, com
umapressãoabsolutaiguala 4,0x 105Pa (cercade4 atm).Um
tubo com diâmetrointernode 1,0cm conduz ao banheirodo
segundoandara 5,0m dealtura(Figura 14.24).Sabendoqueno
tubodeentradaa velocidadeé iguala 1,5m/s,achea velocidade
do escoamento,a pressãoe a vazãovolumétricano banheiro.
lIiD!IB
IDENTIFICAR: estamossupondoquea águaescoea umataxa
constante.O tubotemumdiâmetrorelativamentegrande,entãoé
razoáveldesprezaro atritointerno.A águaé bastanteincompres-
sível,portantoa equaçãodeBernoullipodeseraplicadacomuma
boaaproximação.
PREPARAR: os pontos1 e 2 devemser colocadosno tubode
entradae no banheiro,respectivamente.O problemafornecea
86 FíSICA I1
velocidadeU I e a pressãoPIno tubode entrada,e os diâmetros
dotubonospontosI e 2 (pormeiodosquaiscalculamosasáreas
AI eAz). FazemosYI =O(naentrada)e Yz=5,0m (nobanheiro).
As duasprimeirasvariáveisqueprecisamosencontrarsãoa velo-
cidadeUz e a pressãoPz. Como temosmaisde uma incógnita,
usamostantoa equaçãodeBernoulli quantoa equaçãodaconti-
nuidadeparaumfluido incompressível.Assim queencontrarmos
Uz, podemoscalculara vazãovolumétricauzAz no ponto2.
EXECUTAR: encontramosa velocidadeUzno banheirousandoa
equaçãodacontinuidade,Equação(14.10):
AI 7T(I,Ocm)Z
Vz = -VI = ( \?( 1,5m/s) = 6,0m/sAz 7T0,50cm
ConhecemosPI e VI e podemosacharPzpelaequaçãodeBemoulli:
I
Pz = PI - 2p(vl- v?) - pg(yz - YI) = 4,0 X 105Pa
I
--C 1,0X 103kg/m3) (36 mZ/sz- 2,25mZ/sZ)
2
-(1,0 X 103kg/m3)(9,Sm/sZ)(5,Om)
= 4,0 X 105Pa - 0,17 X 105Pa - 0,49 X 105Pa
=3,3 X 105Pa =3,3atm
A vazãovolumétricaé
dV
- =Azvz =7T(0,50X IO-z m)Z(6,0m/s)dt
= 4,7 X 10-4 m3/s = 0,47L/s
--'-------------
VELOCIDADE DE EFLUXO A Figura 14.25mostraum tanque
de armazenamentode gasolinacom umaseçãoretade áreaAI'
cheioatéumaalturah. O espaçoentrea gasolinae a partesupe-
rior dorecipienteestáaumapressãoPo, ea gasolinafluiparafora
atravésdeum pequenotubodeáreaAz. Deduzaexpressõespara
a velocidadedeescoamentono tuboe paraa vazãovolumétrica.
lm!!IB
IDENTIFICAR: podemosconsideraro volumeinteirodo líquido
queflui comoumúnicotubodeescoamentocomatritointernodes-
prezível.Podemos,portanto,aplicaro princípiodeBemoulli.
PREPARAR: os pontosI e 2 naFigura 14.25estãonasuperfície
da gasolinae no tubode saída,respectivamente.No ponto I, a
pressãoéPo, e no ponto2 é a pressãoatmosférica,Patm' Fazemos
Y =Ono tubode saída,demodoqueYI =h e Yz=O.ComoAI é
muitomaiordo queAz, a superfíciesuperiordagasolinaescoará
muito lentamente,e podemosencararvI praticamenteigual a
zero. Encontramosa variável procurada,Vz, com a Equação
(14.17)e a vazãovolumétricacoma Equação(14.11).
EXECUTAR: aplicamosa equaçãodeBemoulli aospontosI e 2:
I z _ I z ()Po +-pv) +pgh - Patm+-pvz +pg O
2 2
(R - P )vl = v (z +2 o p atm +2gh
UsandovI = O,obtemos
AVALIAR: estaé umavazãovolumétricarazoávelparaumator-
neiradebanheiroou chuveiro.Noteque,quandoa torneiraestá
fechada,tantov I quantoVz são zero, o termo4p (vl - V?) se
anulae a pressãoPz sobepara3,5x 105Pa.
Tanquede
águaquente
Fornecimento
deágua
(tubo de 2 em)
z _ (Po - Patm) +2ghVz - 2 p
Conformea Equação(14.11),a vazãovolumétricadV/dt=vzAz.
AVALIAR: a velocidadeuz, algumasvezeschamadadevelocida-
dedeefiuxo,dependedaalturado nívelh do líquidono tanquee
dadiferençade pressão(Po - Patm). Se o tanqueestivesseaberto
paraa atmosferaemsuapartesuperior,nãoexistiriaexcessode
pressão:Po= Patm e Po- Patm= O.Nessecaso,
Vz =v2ih
Ou seja,a velocidadede efluxode umaaberturasituadaa uma
distânciah abaixoda superfíciesuperiordo líquido é a mesma
Figura 14.24 Qual é a pressão da água no banheiro do segundo andar
desta casa?
Figura 14.25 Esquema para calcular a velocidade de efluxo da gasolina
que escoa pela parte inferior do tanque de armazenamento.
velocidadequeteriaumcorpocaindolivrementedeumaalturah.
Esseresultadoé conhecidocomo teoremade Torricelli. Ele vale
tambémparaumaaberturalateralnaparededorecipientesituada
umadistânciah abaixoda superfíciesuperiordo líquido. Nesse
caso,a vazãovolumétricaé
dV = A2 Viihdt
-- -------- ---- --- .•.-
o MEDIDOR DE VENTURI A Figura 14.26mostraummedidor
de Ventllri,usadoparamedira velocidadedeescoamentoemum
tubo.A parteestreitadotubodenomina-segarganta.Deduzauma
expressãoparaa velocidadede escoamentoVI em termosdas
áreasdasseçõesretasA I e A2 e da diferençadealturah entreos
níveisdos líquidosnosdois tubosverticais.
lmI!IfDI
IDENTIFICAR: o escoamentoé estacionário,e supomosqueo
fluidosejaincompressívele queseuatritointernosejadesprezí-
vel. Podemos,portanto,aplicara equaçãode Bernoulli.
PREPARAR: aplicamosa equaçãode Bernoullià partelargado
tubo(ponto I) e à parteestreita(ponto2).A diferençade altura
entreos dois tubosverticaisnosdá a diferençade pressãoentreos pontosI e 2.
EXECUTAR: os dois pontosestãonamesmacoordenadavertical
0'1 =)'2),entãoaplicamosa Equação(14.17):
I 2 _ 1 2
PI +2PVI - P2 +2PV2
Pelaequaçãodacontinuidade,V2 = (A I IA2) V I, Substituindoesse
valornaequaçãoe reagrupando,obtemos
Conformeo que vimos na Seção 14.2,a diferençade pressão
Pt - P2 é tambémigualapglI, ondeII é adiferençadealturaentre
osníveisdoslíquidosnosdoistubos.Combinandoesseresultado
coma equaçãoanteriore explicitandoV I' obtemos
A diferençaentreasalturasé resultadode
umapressão'c~.:ta nagacganta(ponto2).h ~..,
Figura 14.26 O medidor de Venturi.
Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 87
AVALIAR: comoAI é maiordo queA2, V2 é maiordo queVI e a
pressãoP2 nagargantaé menordo quePI' Uma forçaresultante
orientadada esquerdaparaa direitaacelerao fluido quandoele
entranagarganta,e umaforçaresultanteorientadadadireitapara
a esquerdafreiao fluidodepoisqueelesai.
Exemplo conceitual 14.10
SUSTENTAÇÃO SOBRE A ASA DE UM AVIÃO A Figura
14.27amostraas linhasdeescoamentoemtornodaseçãoretada
asade um avião.As linhasde escoamentoseconcentramacima
da asa,indicandoum aumentoda velocidadede escoamentoe
correspondendoa umapressãomaisbaixanessaregião,talcomo
nocasodagargantadomedidordeVenturi.A forçadebaixopara
cimanaasado aviãoé maiordo quea forçadecimaparabaixo;
a forçaresultantede baixoparacimaé chamadadeforça deSllS-
tentaçelo.A sustentaçãonãoé simplesmentedevidaaoimpulsodo
arqueincidesobrea partedebaixodaasa;narealidade,verifica-
sequea reduçãodapressãosobrea superfíciesuperiordaasadá
a maiorcontribuiçãoparaasustentação.(Essadiscussãoaltamen-
tesimplificadadesprezaaformaçãoderedemoinhos;umadiscus-
sãomaiscompletadeverialevarissoemconsideração.)
Podemostambémentendera forçadesustentaçãocombase
nas variaçõesdo momentolinear.A Figura 14.27amostraque
existe uma variaçãodo momentolinear vertical resultantede
cimapara baixoproduzidapeloescoamentodo ar quepassaem
tornodaasa,correspondendoà forçadecimaparabaixoquea asa
exercesobreo ar.A força de reaçãosobrea asaé orientadade
baixopara cima,conformeconcluímosanteriormente.
Um padrãode escoamentoe uma força de sustentação
semelhantessãoencontradosnasvizinhançasde qualquerobjeto
curvoao vento.Com umventosuficientementeforte,a forçade
sustentaçãona partesuperiorde um guarda-chuvapodevirá-Io
paracima.Umaforçadesustentaçãotambémagesobreumcarro
emaltavelocidade,devidoaoar quesemovesobrea superfície
curvado topodo carro.Tal força de sustentaçãopodereduzira
traçãodos pneusdo carro, razão pela qual muitoscarros são
equipadoscom um spoiler aerodinâmicona traseira.O spoiler
tema formadeumaasaviradaparabaixoe aplicaumaforçapara
baixosobreasrodastraseiras.
ATENÇÃO Um equívoco a respeito das asas Explica-
çõessimplificadasmuitasvezesafirmamqueo ar sedesloca
maisrápidosobrea partede cimade umaasaporque"tem
maisespaçoa percorrer".Essa explicaçãosupõequeduas
moléculasdearadjacentesqueseseparamno bordodeata-
que (parteda frente)da asa,umasedirigindo à superfície
superiore a outraà superfícieinferior,devemencontrar-se
novamenteno bordodefuga(partedetrás)daasa.Issonão
é correto!A Figura14.27bmostraumasimulaçãodecompu-
tadordo escoamentodeparcelasde aremtornodeumaasa
deavião.As faixasadjacentesnobordodeataquedaasanelO
seencontramnobordodefugaporqueo escoamentosobrea
partede cima da asaé, na verdade,maisrápidodo quena
partedebaixo.Conformea equaçãodeBernoulli,essavelo-
cidademaiorimplicaumapressãomenorsobrea asa(e,por-
tanto,umamaiorforçadesustentação).
88 FíSICA II
(a) Linhasdeescoamentoemtornodaasade umavião.
*14.6 Viscosidade e turbulência
(b) Simulaçãodo computadordo escoamentodo ar
aoredordaasade umavião.
Viscosidade
A viscosidadeé o atrito internoem um fluido.As
forças da viscosidadese opõemao movimentode uma
partedo fluidoemrelaçãoà outra.A viscosidadeé arazão
pela qual você realiza um esforçopara remarem uma
canoase deslocandoem águascalmas,masé tambéma
razãopelaqualvocêconsegueremar.Os efeitosdavisco-
sidadesãoimportantesparao escoamentoatravésdetubos,
para o fluxo do sangue,para a lubrificaçãode diversas
partesdasmáquinase muitasoutrassituações.
Fluidos que escoamfacilmente,como a águaou a
gasolina,possuemmenos viscosidadedo que líquidos
'espessos'comoo melouo óleodemotor.As viscosidades
de todos os fluidos dependemmuito da temperatura;à
medidaqueatemperaturaaumenta,aviscosidadeaumenta
nosgasese diminuinoslíquidos(Figura14.28).Um obje-
tivo fundamentalnoprojetodeóleosparaa lubrificaçãode
máquinasé reduziravariaçãodetemperaturadaviscosida-
detantoquantopossível.
Um fluidoviscosotendeaaderira umasuperfíciesóli-
daemcontatocomele.Existeumacamadafinachamadade
camadalimitedo fluidonasproximidadesdasuperfície,ao
longo da qual o fluido estápraticamenteem repousoem
relaçãoà superfíciesólida.É poressarazãoquepartículas
depoeiraaderemàslâminasdeumventilador,mesmoquan-
do elegirarapidamente,e é tambémpor issoquevocênão
consegueeliminartoda a sujeirado carro simplesmente
jogandoáguasobreelecomumamangueira.
A viscosidadetemefeitosimportantessobreo escoa-
mentode líquidosatravésdetubos,inclusiveparao fluxo
dosanguenosistemacirculatório.Penseemumfluidocom
viscosidadezero de modoa poderaplicara equaçãode
Bernoulli,a Equação(14.17).Se asduasextremidadesde
umlongotubocilíndricoestãoà mesmaaltura(YI =Y2) ea
velocidadedo escoamentoé a mesmaemambasasextre-
midades(VI =V2), entãoaequaçãodeBernoullinosdiz que
apressãoéamesmaemambasasextremidades.Entretanto,
esseresultadosimplesmentenãoé verdadeiroselevarmos
em conta a viscosidade.Para ver por que, considerea
Figura 14.29,quemostrao perfildasvelocidadesnoescoa-
mentolaminarde um fluido viscosoem um longo tubo
cilíndrico.Devido à viscosidade,a velocidadeé zeronas
paredesdo tubo (às quais o fluido adere)e máximano
centrodo tubo.O escoamentoé comoumasériedetubos
concêntricosescorregandoemrelaçãoumaooutro,como
tubocentralmovendo-semaisrapidamentee o tubomais
externoem repouso.As forças de viscosidadeentreos
tubos se opõem a esseescorregamento;para mantero
fluxo,devemosaplicarumapressãomaisfortenapartede
trásdo quenapartedafrente.É por issoquevocêaperta
umtubodepastadedentesouumaembalagemdeketchup
(ambosfluidosviscosos)parafazer o fluido sair de seu
recipiente.Seusdedosimprimemumapressãoà partede
trásqueébemmaiordoqueapressãoatmosféricanaparte
dafrentedo escoamento.
Figura 14.27 (a) Linhas de escoamento em torno da asa de um avião. O
momento linear de uma parcela de ar (em relação à asa) é Pi , antes de
encontrara asa; e PI, depois de sair da asa. (b) Simulação de computador de
faixasde ar escoando ao redor de uma asa.
Imagemdeparcelasdearescoandoaoredorde
umaasa.o quemostraqueo arsemovemuito
maisdepressanapartesuperiordo quenaparte
inferior(e queasparcelasdearqueestãojuntas
nobordodeataquedaasanão seencontramno
bordodefuga!).
p.
1
stJ ó,p (ar)
/.'f Pf
Umaexplicaçãoequivalente:a formadaasacria um
momentolineartotaldecimaparabaixosobreo ar,
entãoa forçadereaçãosobreo aviãoéparacima.
As linhasdeescoamentodoarquesemovemsobreaparte
decimadaasaseaglomeram,portantoavelocidadedo
escoamentoémaioreap~essão,emconseqüência,émenor.
p. ;.. --+
~:::::-:--- ~~~
Teste sua compreensão da Seção 14.5 Qualé aafirma-
çãomaiscorretaarespeitodoprincípiodeBernoulli?(i)O arque
semovemaisdepressaprovocaumapressãomaisbaixa;(ii) a
pressãomaisbaixafazcomqueoarsemovamaisrápido;(iii) as
afirmativas(i) e(ii)sãoigualmentecorretas.I
Ao estudarmoso escoamentode fluidos,supusemos
queo fluidonãoapresentasseatritointernoe queo escoa-
mentofosselaminar.Emboraessassuposiçõessejamválidas
emmuitassituações,emváriassituaçõesfísicasimportantes
osefeitosdaviscosidade(atritointerno)eturbulência(escoa-
mentonãolaminar)sãofundamentais.Vamosestudarbreve-
mentealgumasdessassituações.
Capítulo 14 Mecânicados fluidos 89
Figura 14.29 Perfil de velocidades no escoamento de um fluido viscoso
em um tubo cilíndrico.
v verSllS r
(b)(a)
operfildavelocidadede um
fluido comviscosidadeescoando
no tuboapresentaumaformaparabólica.
Seçãoretadeum
tubocilíndrico....
~I
escoarem lâminas,e maisprovávelé queo escoamento
sejalaminar.(Quandodiscutimosa equaçãode Bernoulli
naSeção14.5,supusemosqueo escoamentofosselaminar
e queo fluido tivesseviscosidadezero.Na verdade,um
pouco de viscosidadeé necessárioparaassegurarqueo
escoamentosejalaminar.)
Em umfluidodeumadadaviscosidade,a velocidade
doescoamentoé umfatordeterminantenoestabelecimento
da turbulência.Uma configuraçãode escoamentoque é
estávelem velocidadesbaixaspodetomar-se,subitamente,
instávelquandoa velocidadesuperacertovalorcrítico.As
irregularidadesno escoamentopodemser produzidaspor
rugosidadesnointeriordaparededotubo,variaçõesnaden-
sidadedo fluido e muitosoutrosfatores.Em velocidades
pequenas,essasperturbaçõessãoamortecidas;a configura-
çãodo escoamentoé estávele tendea mantersuanatureza
laminar(Figura14.30a).Porém,quandoavelocidadecrítica
é atingida,a configuraçãodoescoamentotoma-seinstável.
As perturbaçõesnãosãomaisamortecidasecrescematéque
todaa configuraçãolaminarsejadestruída(Figura14.30b).
Figura 14.30 O escoamento de água de uma torneira é (a) laminar em
velocidades baixas,mas (b) turbulento em velocidades suficientemente altas.
Figura 14.28 A lava é um exemplo de escoamento de um fluido com
viscosidade. A viscosidade diminui com o aumento da temperatura: quanto
mais quente a lava, mais facilmente ela escoa.
Turbulência
Quandoa velocidadedo escoamentode um fluido
superaumcertovalor crítico,o escoamentodeixade ser
laminar.A configuraçãodo escoamentotorna-seextrema-
menteirregulare complexa,variandocontinuamentecom
o tempo;nãoexistenenhumaconfiguraçãocomescoamen-
to estacionário.Esseescoamentoirregulare caóticodeno-
mina-seturbulência.A Figura 14.21mostrao contraste
entreumescoamentolaminare umescoamentoturbulento
quandoa fumaçasobeno ar.A equaçãode Bernoulli não
podeseraplicadaemregiõesondeexisteturbulência,por-
queo escoamentonãoé estacionário.
O fatode um escoamentoser laminarou turbulento
dependeemparteda viscosidadedo fluido.Quantomaior
a viscosidade,maiora tendênciaqueo fluidopossuipara
A diferençadepressãonecessáriaparamanterumadada
vazãovolumétricaemumtubocilíndricodecomprimentoL
e raioR é proporcionalauIt. SereduzirmosR à metade,a
pressãonecessáriaaumentaem24= 16;sediminuirmosR de
umfatorde0,90(umareduçãode 10%),aumentamosadife-
rençadepressãodeumfatorde(1/0,90)4= 1,52(umaumen-
tode52%).Essarelaçãosimplesexplicaarelaçãoentreuma
dietacomelevadoteordecolesterol(quetendeaestreitaras
artérias)e aaltapressãosanguínea.Devidoàdependênciade
It,mesmoumpequenoestreitamentonasartériaspodelevar
a umaelevaçãosubstancialnapressãosanguíneaeaumen-
taratensãosobreo músculocardíaco.
----------
90 FíSICA II
o escoamentodo sanguenaaortahumanaé laminar,
porémpequenasperturbaçõespatológicaspodemfazero
escoamentosetomarturbulento.A turbulênciaproduzruído,
e é por issoqueescutaro escoamentodo sanguecomum
estetoscópioéumatécnicadediagnósticobastanteútil.
A BOLA CURVA A trajetóriade umabola curva é realmente
curva?A respostaé sim,e a curvaé produzidapelaturbulência.
A Figura 14.31a mostraumabolaquese moveatravésdo ar da
esquerdaparaa direita.Paraum observadorquese movejunto
como centrodabola,a correntedear parecesemoverdadireita
paraa esquerda,comomostradopelaslinhas de escoamentona
figura.Em virtudedaselevadasvelocidadesnormalmenteenvol-
vidas (cercade 160krnJh), existe uma região de escoamento
turbulentoatrásdabola.
A Figura 14.31b mostraumabola girandocom 'spin para
cima'.Camadasdear nasproximidadesdasuperfícieda bolasão
puxadasnosentidodospindevidoaoatritoentreo areabolae por
causadoatritointernodo ar(viscosidade).A velocidadedo ar em
relaçãoà superfíciedabolatoma-semenornotopodaboladoque
nabase,eocorremaisturbulêncianapartesuperiordaboladoque
naparteinferior.A forçaresultantefazabolasedesviarparabaixo,
conformeindicadonaFigura14.31c.Essaéa razãopelaqualo top
spin,ou 'spinparacima',é usadonotênisemsaquesvelozespara
manteraboladentrodocampo(Figura14.31d).No lançamentode
umabolacurvanobeisebol,a bolagiraemtomodeumeixoapro-
ximadamenteverticale a curvarealobtidaé lateral.Nessecaso,a
Figura 14.31c mostrauma vistade topoda situação.Uma bola
curvalançadaporumarremessadorqueusaa mãoesquerdasofre
umdesvionadireçãode umrebatedorqueusaa mãodireita,difi-
cultandoa rebatida(Figura14.3Ie).
Um efeitosemelhanteocorrecomumaboladegolfe, que
semprepossui 'spin paratrás'devidoao impactoda face incli-
nadado taco de golfe. A diferençade pressãoresultanteentre
a partesuperiore a parteinferior da bola produzumaforça de
sustentaçãoque permitemantê-Iasuspensano ar duranteum
tempo maior do que se não houvesseo spin. Quando uma
tacadaé bem dada,a bola de golfe parece'flutuar' acimado
local de onde partiu ou, até mesmo, desviar-separa cima
durantea porção inicial da trajetória.Trata-se de um efeito
real e não de uma ilusão. As pequenasreentrânciasda bola
desempenhamum papelessencial;paraumamesmavelocida-
de inicial e umamesmarotação,a viscosidadedo ar produziria
uma trajetória mais curta em uma bola sem reentrânciasdo
que no caso de uma bola com reentrâncias.A Figura 14.31f
mostra o 'spin para trás' adquirido pela bola de golfe logo
apóso impactocom o taco.
Teste sua compreensão da Seção 14.6 Quepressãoadi-
cionalumaenfermeiradeveaplicarcomo polegarparadar uma
injeçãocomumaagulhahipodérmicadediâmetrointernoiguala
0,30 mm em comparaçãocom a pressãonecessáriaparaaplicar
umainjeçãocomumaagulhadediâmetrointernoiguala0,60mm?
Suponhaqueasduasagulhastenhamo mesmocomprimentoe que
a vazãovolumétricasejaamesmaemambososcasos.(i) O dobro;
(ii) 4 vezes;(iii) 8 vezes;(iv) 16vezes;(v) 32vezes.I
Resumo
Densidade e pressão: adensidadeéamassaporunidadedevolume.
SeamassamdeumcorpohomogêneopossuivolumeV,suadensida-
dep éarazãom/V.A densidaderelativaéarazãoentreadensidadede
ummateriale adensidadedaágua.(Vejao Exemplo14.1.)
(a) Movimentodo ar
emrelaçãoa umabola
quenãogira.
(b)Movimentode uma
bolaquegira.
Esteladoda bolasemoveno sentido
contrárioaoescoamentodo ar.
······0
......~~'v,..
Esteiadosemoveno mesmo
sentidodo escoamentodear.
(c) Força geradaquandoumabolaquegira semoveno ar.
Uma bolaemmovimentoarrastao ar adjacenteconsigo.
Assim, quandoo arpassapor umabolaquegira:
_---_ •..................De umlado,abolaretarda o ar, criando
~ umaregiãodealtapressão.
t', C: ..'Do outrolado,a bolaacelerao ar, criando
.•..............umaregiãodebaixa pressão.
A forçaresultanteapontanosentidodo
ladodebaixapressão.
(d)Spinpuxandoumabolade tênisparabaixo. (e) Spin fazendoumabolase
desviarlateralmente.
(f)Spinparatrásemumaboladegolfe.
Figura 14.31 (a)-( e) Analisando o movimento de uma bola que gira no ar. (f) Fotografia estroboscópica de uma bola de golfe sendo arremessada por
um taco. A fotografia foi feita com 1000 flashes por segundo. A bola faz uma volta completa depois de oito fotografias, correspondendo a uma velocida-
de angular de 125 rev/s ou 7.500 rpm.
Pressãoé a forçanormalporunidadedeárea.A leidePascal
afirmaque a pressãoaplicadasobrea superfíciede um fluido
fechadoé transmitidasemdiminuiçãoa todosos pontosdofluido.
A pressãoabsolutaé apressãototalemumfluido;apressãomano-
métricaé a diferençaentrea pressãoabsolutae a pressãoatmos-
férica.A unidadeSI de pressãoé o pascal(Pa): 1Pa = 1N/m2•
(Vejao Exemplo14.2.)
m
p = V
dF1-
P=d:4
(14.1)
(14.2)
Capítulo 14 Mecânicados fluidos 91
laminar,ascamadasdo fluido deslizamsuavementeumassobre
asoutras.No escoamentoturbulentoexisteumagrandedesordem
e a configuraçãodoescoamentomudaconstantemente.
A conservaçãoda massade um fluido incompressívelé
expressapelaequaçãoda continuidade,querelacionaas veloci-
dadesde escoamentou I e U2 paraduasseçõesretasA I e A2 ao
longode um tubodeescoamento.O produtoAu é a vazão vo/u-
métrica,dV/dt,a taxacoma qualovolumeatravessaumaseção
retado tubo.(VerExemplo 14.6.)
A equaçãodeBernoullirelacionaa pressãoP coma velocida-
deU e aalturaY paraquaisquerdoispontos,supondoo escoamento
estacionáriodeumfluidoideal.(Vejaosexemplos14.7-14.10.)
PequenaáreadA no interiordo fluido emrepouso
---
~ I dF1-
dF1- dA t
\ /
Forçasnormaisiguaisexercidassobre
ambosos ladospelofluido circundante
Pressões em um fluido em repouso: a diferençadepressãoentre
ospontos1e2emumfluidoemrepousodedensidadep uniforme(um
fluidoincompressível)éproporcionalà diferençaentreasalturasYI e
)'2·Seapressãonasupelfíciedeumfluidoincompressívelemrepouso
éPu, apressãoemumaprofundidadeh édadapelasomaentreapres-
sãodesuperfíciemaispgh. (Vejaosexemplos14.3e 14.4.)
P2 - PI = -pg (Y2 - YI)
(pressãoemum fluidodedensidadeuniforme) (14.5)
P =Po +pgh
(pressãoemum fluidodedensidadeuniforme) (14.6)
Empuxo: O princípio de Arquimedesafirma que, quandoum
corpo estáimersoem um fluido, ele exercesobreo corpo uma
forçadeempuxodebaixoparacimaigualaopesodo fluidodes-
locadopelocorpo.(Vejao Exemplo 14.5.)
Escoamento de fluidos: Um fluido idealé incompressívele não
possuiviscosidade(atritointerno).Uma linhadeescoamentoé a
trajetóriadeumapartículado fluido;umalinhadecorrenteé uma
curvacuja tangenteem cadapontodá a direçãoe o sentidodo
vetorvelocidade.Um tubode escoamentoé delimitadoem sua
superfícieexternapor linhas de escoamento.No escoamento
AlUI =A2u2
(equaçãodacontinuidade,fluido incompressível)
dV
- = Au (vazãovolumétrica)dt
I 2 _ I 2
PI +pgYI +-PUI - P2 +pgY2 +-PU22 2
(equaçãodeBernoulli)
Principais termos
barômetrodemercúrio,78
densidade,72
densidademédia,73
densidaderelativa,73
dinâmicados fluidos,72
empuxo,79
escoamentoestacionário,82
escoamentolaminar,82
escoamentoturbulento,82
estáticados fluidos,72
equaçãodacontinuidade,82
equaçãodeBernoulli,85
fluido ideal,82
forçadeempuxo,79
lei dePascal,76
linhadecorrente,82
linhadeescoamento,82
pascal,74
pressão,74
pressãoabsoluta,77
pressãoatmosférica,74
pressãomanométrica,77
( 14.10)
(14.11)
(14.17)
92 FíSICA II
princípiodeArquimedes,79
tensãosuperficial,81
tubodeescoamento,82
turbulência,89
viscosidade,82
Resposta à Pergunta Inicial do Capítulo
Tantoo corpo do tubarãoquantoo do peixe tropical são mais
densosdo quea águado mar;portanto,sedependessemapenas
dessefator,ambosafundariam.Entretanto,o peixetropicalpos-
sui umacavidadecheiadegásno corpochamadabexiganatató-
ria,deformaquea densidademédiadocorpodo peixeé a mesma
quea daáguadomareo peixenemafundanememerge.Os tuba-
rõesnão possuembexiganatatória.Assim, eles precisamnadar
constantementeparanãoafundar,usandosuasbarbatanaspeito-
raisparaobtera forçadesustentação,demodobastantesemelhan-
teaofuncionamentodasasasdeumavião(vejaa Seção]4.5).
Respostas às Perguntas dos Testes de
Compreensão
14.1Resposta:(ü),(iv),(i) e (iü)(empate),(v).Em todososcasosa
densidademédiaéigualà massadivididapelovolume.Logo,temos
(i) p =(4,0kg) / (1,60X 10-3m3) =2,50x 103kg/m3;
(ii) p =(8,0kg) / (] ,60x 10-3m3) =5,0x ]03kg/m3;
(iii) p =(8,0kg) / (3,20x 10-3m3) =2,50x ]03kg/m3;
(iv)p =(2560kg) / (0,640m3) =2,50x 103kg/m3;
(v) p = (2560kg) / (1,28m3) = 2,0 x 103kg/m3. Note que,em
comparaçãocomo objeto(i),o objeto(ii) possuio dobrodamassa,
porémo mesmovolumee,assim,temo dobrodadensidademédia.
O objeto(iii) possuio dobroda massae o dobrodo volumedo
objeto(i), logo, (i) e (iii) apresentama mesmadensidademédia.
Finalmente,o objeto(v) tema mesmamassaqueo objeto(iv),
porém,o dobrodovolume,então(v)possuia metadedadensidade
médiade(iv).
14.2Resposta:(ii). PelaEquação(14.9),apressãoforadobarôme-
tro é igual ao produtopgh. Quandoo barômetroé retiradodo
refrigerador,a densidadep diminui,enquantoa alturah dacoluna
demercúriopermaneceigual.Assim,apressãodo ardevesermais
baixaforado quedentrodorefrigerador.
14.3 Resposta:(i). Considerea água,a estátuae o recipienteum
sistema;o pesototaldo sistemanãodependedo fatode a estátua
estarsubmersaounão.A forçadereaçãototal,inclusivea tensãoT
e a forçaF debaixoparacimaquea balançaexercesobreo reci-
piente(igualà leituradabalança),é a mesmaemambososcasos.
Entretanto,comovimosno Exemplo 14.5,T diminuiem7,84N
quandoa estátuaé submersa,entãoa leituradabalançaF precisa
aumentarem7,84N. Um pontode vistaalternativoé o dequea
águaexerceumaforçadeempuxodebaixoparacimaiguala 7,84
N sobrea estátua;logo,a estátuaprecisaexercerumaforçaigual
decimaparabaixosobreaágua,tomandoa leituradabalança7,84
N maiordoqueo pesodaáguae do recipiente.
14.4 Resposta:(ii). Umaestradaqueseestreitadetrêspistaspara
umaé comoumtubocujaáreadaseçãoretadiminuiparaumterço
deseuvalor.Seoscarrossecomportassemcomoasmolécu]asdeum
fluidoincompressível,àmedidaqueoscarrosatingissemo trechode
umapista,oespaçamentoentreoscarros(a 'densidade')permanece-
riao mesmo,porém,a velocidadedoscarrostrip]icaria.Issomante-
ria a 'vazãovolumétrica'(númerodecarrosporsegundopassando
porumpontonaestrada)constante.Na vidareal,oscarrossecom-
portamcomo moléculasde um fluido compressíve/:acabamse
aglomerando(a 'densidade'aumenta),e menoscarrosporsegundo
passamporumpontonaestrada(a 'vazãovo]umétrica'diminui).
14.5Resposta:(ii). A segundalei deNewtonafirmaqueumcorpo
acelera(suavelocidadevaria)emreaçãoaumaforçaresultante.No
escoamentode fluidos,a diferençade pressãoentredois pontos
significaqueaspartículasdo fluidoquesemovementreessesdois
pontossãosubmetidasa umaforçaquefaz comqueaspartículas
do fluidoacelereme tenhamvelocidadevariável.
14.6 Resposta:(iv). A pressãonecessáriaé proporcionala I/R4,
ondeR é o raio internoda agulha(metadedo diâmetrointerno).
Com a agulhadediâmetromenor,a pressãoaumentadeumfator
[(0,60mm)/ (0,30mm)t=24= 16.
Questões para discussão
Q14.1 Um cubode carvalhode faceslisasnormalmenteflutuana
água.Suponhaquevocêo submergissecompletamentee pressio-
nasseumadas facescontrao fundodo tanquede modoquenão
houvesseáguasobessaface.O blocosubiriaà superfíciee flutua-
ria?Há umaforçadeempuxoatuandosobreele?Explique.
Q14.2 Uma mangueiradeborrachaé ligadaa umfunil, e a extre-
midadelivre é encurvadaparaapontarparacima.Derramando-se
águano funil, ela sobena mangueiraatéum nível igualao nível
daáguanofunil, emborao volumedaáguado funil sejamaiordo
queo volumeda águana mangueira.Por quê?O quesustentao
pesoadicionaldaáguanofunil?
Q14.3 Comparandoos exemplos14.1(Seção]4.1)e 14.2(Seção
14.2),parecequeumpesode700N de arexerceumaforçapara
baixoiguala 2,0x 106N sobreo piso.Comoissoé possível?
Q14.4 A Equação(14.7)mostraqueumarazãode 100para] pode
fornecerumaforça na saída ]00 vezesmaiordo quea força na
entrada.Issoviolaaconservaçãodaenergia?Explique.
Q14.5 Vocêdeveternotadoque,quantomenorfora pressãodeum
pneu,maiorseráa áreade contatoentreo pneue o pavimento.
Porquê?
Q14.6 No ba]onismo,enche-seumbalãograndecomar aquecido
por um combustorde gássituadonaparteinferiordo balão.Por
queo ardeveseraquecido?Comoo balonistacontrolaa ascensão
e a descidadobalão?
Q14.7 Paradescrevero tamanhodeumgrandenavioécostumeusar-
se expressõesdo tipo "ele desloca20000toneladas".O que isso
significa?O pesodo naviopodesercalculadoporessainformação?
Q14.8 Vocêcolocaumaesferamaciçade alumíniodentrode um
baldecom águaem repousosobreo solo.A forçade empuxoé
igualao pesoda águadeslocada;esteé menordo queo pesoda
esfera,logoaesferaafundaatéa basedo balde.Sevocêtransporta
o baldeatéum elevadorquesobeverticalmentecom aceleração
constante,o pesoaparentedaáguaaumentae a forçadeempuxo
aumentatambém.Caso a aceleraçãodo elevadorsejasuficiente-
menteelevada,a esferapodesaltarparaforadaágua?Explique.
Q14.9 Um dirigível resistente,mais levedo queo ar e cheiode
hélionãopodecontinuarsubindoindefinidamente.Por quê?Qual
é o fatorquedeterminaa alturamáximaqueelepodeatingir?
Q14.10A pressãodo ar diminuicom o aumentoda altura.Então
porqueo ar dasuperfícieterrestrenãoé continuamenteempurra-
do peladiferençade pressãoparaas camadasmaiselevadas,de