apostila nº3

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Universidade Estácio de Sá - Estatística Descritiva - 1
MMEEDDIIDDAASS DDEE PPOOSSIIÇÇÃÃOO EE DDEE TTEENNDDÊÊNNCCIIAA CCEENNTTRRAALL 
 
As medidas de Posição são as Médias, Moda, Mediana, e demais Separatrizes. São também chama-
das de medidas de Tendência Central. 
As medidas de tendência central são utilizadas para caracterizar uma série estatística em estudo, for-
necendo importantes informações sobre ela. Estas medidas procuram identificar um valor intermediá-
rio da série, em torno do qual seus elementos encontram-se distribuídos, ou seja, um número em tor-
no do qual a série se concentra. 
 
11 -- MMééddiiaa 
 
A média é um valor representativo de um conjunto de dados. 
 
n
X
X
i∑
= → para dados não tabulados 
 
n
fX
X
ii∑
= → para dados tabulados ou ponderados 
 
Ex.1: X = { 8, 3, 5, 12 } 
 
 
 
 
 
 
Ex.2: Se 5, 8, 6, 2 ocorrerem com as freqüências 3, 2, 4 e 1, respectivamente, a média será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.3: Se o exame final, em um curso, tem peso 3 e as provas correntes peso 1, e um estudante tem 
grau 85 naquele exame e 70 e 90 nas provas, seu grau médio é: 
 
 
 
 
 
 
Ex.4: Calcular a média dos valores: 2, 6, 8, 10 e 4. 
 
 
 
 
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Ex.5: Calcular o grau médio das notas obtidas por um estudante em seu curso: 40, 60, 50, 80, 60, 50, 
60, 40, 50 e 70. 
 
 
 
 
Ex.6: Agrupar os dados acima em uma distribuição de freqüência e, em seguida, calcular a média. 
 
 
Notas Provas 
 
 
 
 
 
Total 
 
 
Ex.7: Calcular o peso médio dos indivíduos: 
 
Pesos (kg) IInnddiivvíídduuooss 
55 17 
56 35 
57 24 
58 29 
59 34 
60 20 
61 15 
62 12 
63 10 
64 13 
65 6 
Total 215 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Estácio de Sá - Estatística Descritiva - 3
11..11 -- PPrroopprriieeddaaddeess ddaa MMééddiiaa 
 
1ª - A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números, em relação à média, é zero. 
 
2ª - Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada valor do conjunto, a nova média será a 
original aumentada ou diminuída do valor dessa constante. 
 
3ª - Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma constante, a nova média será 
a original multiplicada ou dividida do valor dessa constante. 
 
4ª - A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada. 
 
5ª - Para um dado conjunto de números, a média é única. 
 
6ª - A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. 
 
 
Ex.8: Os salários mensais de quatro homens são: R$ 1.500,00 ; R$ 1.800,00 ; R$ 1.950,00 ; e 
 R$ 9.000,00. 
a) Determinar a média de seus salários; 
 
 
 
 
 b) Poder-se-ia dizer que essa média é típica dos salários ? 
 
 
 
Ex.9: Entre 100 números, vinte são 4, quarenta são 5, trinta são 6 e os restantes são 7. Determinar 
a média dos números. 
 
 
 
 
 
 
Ex.10: A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências dos salários semanais, em reais, de 65 
empregados da empresa WZY: 
 
 
Salários 
( R$ ) 
Número de 
Empregados 
 50 |– 60 8 
 60 |– 70 10 
 70 |– 80 16 
 80 |– 90 14 
 90 |– 100 10 
100 |– 110 5 
110 |– 120 2 
Total 65 
 
Determinar: 
 
a) O limite inferior da sexta classe. 
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b) O limite superior da quarta classe. 
c) O ponto médio da terceira classe. 
d) A amplitude do quinto intervalo de classe. 
e) A freqüência relativa da terceira classe. 
f) A percentagem de empregados que ganham menos de R$ 80,00. 
g) A percentagem de empregados que ganham menos de R$ 100,00 e pelo menos R$ 60,00 por 
semana. 
 
 
Ex.11: Os tempos de reação de um indivíduo a determinados estímulos foram medidos por um psicó-
logo como sendo 0,53; 0,46; 0,50; 0,49; 0,52; 0,53; 0,44 e 0,55 segundos, respectivamente. Determi-
nar o tempo médio de reação do indivíduos a esses estímulos. 
 
 
 
 
 
Ex.12: Três professores de Economia atribuíram os graus médios de exame de 75, 82 e 84 a suas 
respectivas classes, que se compunham de 32, 25 e 17 estudantes, respectivamente. Determinar o 
grau médio geral. 
 
 
 
 
 
Ex.13: A tabela abaixo mostra a distribuição, em toneladas, das cargas máximas suportadas por cer-
tos cabos fabricados por uma companhia: 
 
 
Carga Máxima 
( toneladas ) 
Número de 
Cabos 
 9,3 |– 9,7 2 
 9,7 |– 10,1 5 
10,1 |– 10,5 12 
10,5 |– 10,9 17 
10,9 |– 11,3 14 
11,3 |– 11,7 6 
11,7 |– 12,1 3 
12,1 |– 12,5 1 
Total 60 
 
 
Determinar a média das cargas máximas. 
 
 
 
 
 
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22 -- MMeeddiiaannaa 
 
A mediana é o valor central de um conjunto de números organizados em ordem de grandeza. Sua 
característica principal é dividir esse conjunto de números em duas partes iguais. 
 
22..11 -- DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa MMeeddiiaannaa 
 
� Dados não tabulados: 
1º - Ordenar os valores; 
2º - Verificar se n é impar ou par; 
3º - Para n ímpar, a mediana é o valor do meio; 
 Para n par, a mediana é a média dos dois valores do meio. 
 
Ex.14: X = { 3, 7, 9, 2, 10, 11, 1, 8, 12, 8 } 
 
 
 
 
Ex.15: X = { 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18} 
 
 
 
 
Ex.16: Os graus de um estudante em seis exames foram: 84, 91, 72, 68, 87 e 78. Determinar a me-
diana dos graus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Dados tabulados não agrupados em classes: 
1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada; 
2º - Verificar se n é impar ou par; 
3º - Localizar na Fa o meio da distribuição. A mediana será o valor da variável correspondente ao 
ponto central. 
 
 
 
� Dados tabulados agrupados em classes: 
 
1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada; 
 
2º - Calcular a posição da mediana por: 
 
2
n
EMd = 
 
3º - Identificar o intervalo que contém a mediana localizando o EMd na Fa ; 
 
 
 
 
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4º - Aplicar a fórmula da interpolação para o cálculo da mediana: 
 
 h.
f
FE
lMd
MEDIANA
i
aaMd
i
−
+= 
 
Onde: 
 
li => limite inferior da classe mediana 
 
EMd => posição da mediana 
 
Faa => freqüência acumulada anterior à classe mediana 
 
f iMEDIANA => freqüência simples da classe mediana 
 
h => intervalo da classe mediana 
 
 
 
33 -- MMooddaa 
 
A moda é o valor que ocorre com a maior freqüência em um conjunto de números. A moda pode não 
existir e, mesmo que exista, pode não ser única. 
 
 
33..11 -- DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa MMooddaa 
 
� Dados não tabulados: 
A determinação é imediata. 
 
 
Ex.17: X = { 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12 } 
 
 
 
 
Ex.18: X = { 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9, 10 } 
 
 
 
 
Ex.19: X = { 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 9, 9, 10, 10 } 
 
 
 
 
 
� Dados tabulados não agrupados em classes: 
A determinação é imediata. A moda será o valor de Xi correspondente à maior freqüência. 
 
 
 
� Dados tabulados agrupados em classes: 
1º - Identificar a classe modal ( classe correspondente à maior freqüência ); 
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2º - Aplicar a fórmula de Kzuber para o cálculo da moda: 
 
 h.lMo
21
1
i ∆+∆
∆
+= 
 
Onde: 
 
li => limite inferior da classe modal 
 
∆1 => diferença entre a freqüência simples da classe modal e a imediatamente anterior 
 
∆2 => diferença entre a freqüênciasimples da classe modal e a imediatamente posterior 
 
h => intervalo da classe mediana 
 
 
 
 
44 -- CCoommppaarraaççõõeess eennttrree aa MMééddiiaa,, MMeeddiiaannaa ee MMooddaa 
 
 
A média é influenciada por cada valor do conjunto, inclusive os extremos. Já a mediana é relativa-
mente insensível aos valores extremos. 
 
 
 
• • • • • • • • • 
 
 Mediana Média 
 
 
 
 
A ordenação dos dados para a determinação da mediana, por vezes, pode ser difícil. 
 
 
A moda, comparada à média e a mediana, é a medida menos útil por não ter nenhum tratamento ma-
temático mas, do ponto de vista descritivo, a moda indica o valor "típico" em termos de maior ocorrên-
cia. A utilidade da moda acontece quando um ou um grupo de valores ocorrem com uma freqüência 
muito maior que os demais. Quando todos, ou quase, todos os valores ocorrem aproximadamente 
com a mesma freqüência, a moda nada acrescenta em termos de descrição dos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MMEEDDIIDDAASS SSEEPPAARRAATTRRIIZZEESS 
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São números reais que dividem a seqüência ordenada de dados em partes que contêm a mesma 
quantidade de elementos da série. 
 
MMeeddiiaannaa ((MMdd)):: Divide a seqüência ordenada de dados em duas partes iguais, cada uma delas 
contendo 50% dos valores da seqüência. 
 
 
QQuuaarrttiill ((QQ)):: Divide a seqüência ordenada de dados em quatro partes iguais, cada uma delas 
contendo 25% dos valores da seqüência. 
Assim, o primeiro quartil, Q1, separa a seqüência ordenada, deixando 25% de seus 
valores à esquerda e 75% dos seus valores à direita. 
 
 25% 50% 75% 
 
 
 Q1 Q2 Q3 
 
O segundo quartil será a mediana da série. 
 
 
QQuuiinnttiill ((KK)):: Divide a seqüência ordenada de dados em cinco partes iguais, cada uma delas 
contendo 20% dos valores da seqüência. 
Assim, o primeiro quintil, K1, separa a seqüência ordenada, deixando 20% de seus 
valores à esquerda e 80% dos seus valores à direita. 
 
 
DDeecciill ((DD)):: Divide a seqüência ordenada de dados em dez partes iguais, cada uma delas con-
tendo 10% dos valores da seqüência. 
Assim, o primeiro decil, D1, separa a seqüência ordenada, deixando 10% de seus 
valores à esquerda e 90% dos seus valores à direita. 
 
 
PPeerrcceennttiill ((PP)):: Se dividirmos a seqüência ordenada em 100 partes iguais, cada uma delas ficará 
com 1% de seus elementos. 
Assim, o percentil divide a seqüência ordenada de dados em cem partes iguais, 
cada uma delas contendo 1% dos valores da seqüência. 
Assim, o primeiro percentil, P1, separa a seqüência ordenada, deixando 1% de 
seus valores à esquerda e 99% dos seus valores à direita. 
 
Observe que os quartis, decis e quintis são múltiplos dos percentis, podendo, cada um deles ser ex-
presso como um percentil. 
 
Resumindo, tem-se: 
 
Q1 = P25 K1 = P20 D1 = P10 
Q2 = P50 K2 = P40 D2 = P20 
Q3 = P75 K3 = P60 D3 = P30 
 K4 = P80 D4 = P40 
 D5 = P50 
 D6 = P60 
 D7 = P70 
 D8 = P80 
 D9 = P90 
 
 
Universidade Estácio de Sá - Estatística Descritiva - 9
Para efetuarmos o cálculo de uma medida separatriz devemos, primeiramente, ordenar os elementos 
de uma seqüência de dados. A seguir, é preciso correlacionar a medida desejada, com o seu percentil 
correspondente, Pi. Finalmente, calculamos i% de N, ou seja: 
 
i x N 
100 
 
para localizar a posição do percentil i no rol. 
 
Ex. 
Calcule Q1 da seqüência 
X: 2, 5, 8, 5, 5, 10, 1, 12, 12, 11, 13, 15. 
 
Solução: 
Ordenando a seqüência, obtemos o rol: 
X: 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15 
 
Q1 = P25 
Assim, 25% de 12 indicará a posição de Q1 na série: 
 
25 x 12 = 3 
 100 
 
Logo, Q1 será 5, o 3º elemento do rol.