2 Aula Programada de C lculo 01

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CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURICIO DE NASSAU 
 NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA
 Aula Programada de Cálculo (APC 02)
 João Mesquita
Funções Reais	
Definição:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B é um trio (A, B, f), onde o conjunto A é chamado de domínio da função, o conjunto B é chamado de contradomínio da função e f é uma lei, ou seja é uma regra (ou fórmula) que associa a cada elemento do conjunto A um único elemento do conjunto B.
Usamos a notação f:A B para indicar que f é função de A em B sendo A o conjunto domínio da função e B o contradomínio. 
Notação:
Usamos a simbologia para indicarmos que a função f transforma o número x no número y. Quando o conjunto A é um subconjunto do conjunto R dos números reais, dizemos que f é uma função de variável real. No caso em que B é um subconjunto do conjunto R dos números reais, dizemos que f é uma função real, portanto se A e B são subconjuntos do conjunto R dos números reais, dizemos que a função f é uma função real de variável real.
Definimos o gráfico de uma função f como sendo o subconjunto do plano cartesiano formado pelos pontos da forma (x,f(x)) com x sendo elemento de A, ou seja, . O gráfico de uma função real pode ser representado geometricamente no plano cartesiano conforme ilustra a figura a seguir:
Observações:
i) Duas funções f e g são consideradas iguais quando possuem o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma lei.
ii) Quando o domínio de uma função real não vir de forma explicita deveremos entender o domínio como sendo o maior subconjunto de R para o qual a fórmula dada faça sentido.
iii) Dada uma função f:A B, chamamos de conjunto imagem de f, denotado por Im(f) o conjunto cujos elementos são os elementos de B que são correspondidos pela função, ou seja, . 
Graficamente,
2.Alguns tipos Especiais de Funções 
I - Função Injetiva
 
Uma função de A em B é Injetiva quando e somente quando dois elementos quaisquer e distintos do domínio possuem imagens distintas.
Por exemplo,
Observe que, sendo f Injetiva, então se x1 x2 implica que f(x1) f(x2), ou seja, y1 y2. ou equivalentemente , 
Exemplo: Considere o conjunto A cujos elementos são todos os brasileiros, o conjunto B=R (números reais) e a correspondência f de A em B definida por
Isto define uma função Injetiva de A em B?
Resolução:
Não, pois, por exemplo, dois brasileiros gêmeos apresentarão a mesma idade.
II - Função Sobrejetiva
Uma função é sobrejetiva quando o seu conjunto imagem é exatamente igual ao seu contradomínio, ou seja, qualquer que seja o elemento do contradomínio ele é imagem de pelo menos um elemento do domínio da função.
Exemplo: Considere o conjunto A cujos elementos são todos os brasileiros, o conjunto B=R (números reais) e a correspondência f de A em B definida por
Isto define uma função sobrejetiva de A em B?
Resolução:
Não, pois, por exemplo, os números negativos do contradomínio (conjunto dos números reais) não são correspondidos por nenhum brasileiro.
III - Função Bijetiva
Toda função que seja sobrejetiva e Injetiva ao mesmo tempo é chamada de objetiva.
	
IV - Paridade de uma função
Função par: 
Ou seja, valores simétricos de x possuem a mesma imagem. Por exemplo, a função f: IR →IR dada por f(x) = x2 é par.
Função ímpar: 
Ou seja, valores simétricos de x possuem imagens simétricas. Por exemplo, a função f: IR →IR dada por f(x) = x3 é ímpar.
Observações: 
Um fato importante é perceber que existem funções que não são nem pares nem ímpares.
Pode-se verificar que a representação gráfica de uma função par é simétrica em relação ao eixo y enquanto que a representação gráfica de uma função ímpar é simétrica em relação a origem conforme ilustram s figuras abaixo.
V - Composição de Funções
Dadas as funções f: A B e g: B C, chama-se composta de g com f a função h = gof: A C, onde gof(x) = g[f(x)].
	
Esquema:
Dizemos que h é a função composta de g e f e representamos h = gof (lê-se g composta com f ou g círculo f).
	
Observações:
I.Dadas as funções g e f pode-se pensar em 
quatro funções compostas, gof, fog, gog, fof, 
para as quais se tem, respectivamente:
(gof) (x) = g [f(x)]
(fog) (x) = f [g(x)]
(gog) (x) = g [g(x)]
(fof) (x) = f [f(x)]
II. Perceba que em geral, .
VI - Função Inversa
Dada a função f: A B, bijetora, denomina-se função inversa de f, a função g: B  A tal que se f(a) = b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a A e b B.
Observação:
D(f) = Im(f-1), Im(f) = D(f-1)
[f-1 (x)]-1 = f(x)
Relação entre os gráficos de f e de sua inversa f-1
	
Os gráficos das funções f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz do quadrante ímpares.
Observe que: fog(x) = gof(x) = x f e g são inversas entre si.
Obtenção da Inversa
Para obtermos a lei da inversa de uma função f(x), basta reescrevermos a função, trocando de lugar as variáveis x e y, e, em seguida, expressarmos y em função de x.
Tarefa Mínima 
01. Seja S o conjunto de todas as pessoas eu estavam vivas em outubro de 2016 e T o conjunto de todos os números reais. Seja f a regra que determina para cada pessoa o seu peso em quilos precisamente ao meio – dia de 10 de outubro de 2016. Discuta se f: S →T é uma função.
02. Seja a função real de variável real 
Seu domínio é dado por:
a) 
b) 
c) 
d) 
03. Seja a função f de R em R, dada pelo gráfico a seguir:
2
-2
1
2
-1
x
y
É correto afirmar:
a) O conjunto imagem de f é 
b) f é Bijetiva.
c) f(x) = f(-x) para todo x real.
d) f(x) > 0 para todo x real.
e) f é sobrejetiva e não Injetiva.
04. Seja uma função Injetiva, satisfazendo:
Então é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
05. Indique o gráfico que melhor representa a situação expressa na sentença:
“Quanto menor o preço de um produto, maior é seu consumo”
a)
c)
d)
b)
06. Classificar quanto a paridade as funções definidas por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
07. Sendo f(x) = 2x – 8 e g(x) = 3x + 7, determinar as leis que definem fog, gof, fof, gog, (fog) o (gof) e (gog) o (fof)
08. Sejauma função tal que, para todo x, . O valor de é:
a) 10
b) 32
c) 2
d) igual a g(3)
09. Sejam as funções .Se é a função inversa de , então o valor de é igual a:
a) 2		
b) 4
c) 3		
d) 5
10. Seja sendo a n – ésima composta de , calcule 
a) 1		
b) 4
c) 2		
d) 5
11. Qual é a função afim para a qual e 
12. Resolver as inequações abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e)