Cálculo Diferencial e Integral: Exercícios Resolvidos

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs2C3e02M 
 
CDCI/CMCD 
(01) É possível determinar o gradiente do rotacional do divergente do laplaciano 
do produto escalar de duas funções vetoriais de posição? 
Solução: 
Sejam as funções vetoriais de posição vr e wr . 
Logo: )]w.v[(Lap rr∃ , pois: fw.v =rr e g)f(Lap = . 
Como o divergente transforma campo vetorial em campo escalar, não é possível 
determinar o divergente do )f(Lap ; pois g)f(Lap = , onde g é uma função escalar 
de posição. 
Portanto, não é possível determinar o gradiente do rotacional do divergente do la-
placiano do produto escalar de duas funções vetoriais de posição 
 
(02) Seja a função k.zxy3j.xyi.xz)z,y,x(v 23 rrrr +−= . Determinar, se possível, no 
ponto P(1,1,1), o )v.v(grad rr . 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
=+−+−= )k.z.y.x.3j.x.yi.z.x).(k.z.y.x.3j.x.yi.z.x(v.v 2323 rrrrrrrr 
)z,y,x(fz.y.x.9x.yz.x 2422622 =++= 
Logo: =∇=∇= )z,y,x(f.)v.v.()v.v(grad
rrrrrr
 
k).zyx18zx2(j).zyx36xy6(i).zxy18xy2z.x2( 422232252462 rrr ++++++= . 
Portanto: 
)20,42,22(k.20j.42i.22)v.v(grad )1,1,1(P =++=
rrrrr
. 
 
(03) Sejam k.xzj.yzi.yx3)z,y,x(v 22 rrrr −+= e yzx)z,y,x(f 2= . Determinar, no 
ponto P(1,-2,-1), o vetor gradiente de v.v.f rr . 
Solução: 
Imediatamente, deve-se observar que v.v.f rr corresponde a uma função escalar g; 
ou seja: 3453236 yzxzyxzyx9gv.v.f ++==rr . 
Logo: [ ] [ ] =++∇=
−−−− )1,2,1(P
3453236
)1,2,1(P )yzxzyxzyx9.()v.v.f(grd
rrr
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs2C3e02M 
 
CDCI/CMCD 
+


++
∂
∂
+++
∂
∂
= )yzxzyxzyx9(
y
.j)yzxzyxzyx9(
x
.i 34532363453236
rr
 
k.118j.121i.465)yzxzyxzyx9(
z
.k
)1,2,1(P
3453236
rrrr
−−=

++
∂
∂
+
−−
. 
 
(04) Sabendo-se que uma função vetorial de posição vr diz-se solenoidal se, e 
somente se, 0)v(div =r . Determinar, então, os valores reais e positivos de k de tal 
forma que a função k).kxz(j).z2y(i).yx()z,y,x(v rrrr ++−++= seja um exemplo 
de função solenoidal. 
Solução: 
=++−++= ]k).kxz(j).z2y(i).yx[(div)v(div rrrr 
=++−++∇= ]k).kxz(j).z2y(i).yx.[( rrrr 
( ) =++−++





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= k).kxz(j).z2y(i).yx(.
z
.k
y
.j
x
.i
rrrrrr
 
3111 =++= . 
Logo: ℜ∈∀= ,3)v(div r . 
Portanto, k).kxz(j).z2y(i).yx()z,y,x(v rrrr ++−++= não é solenoidal. 
 
(05) Sejam k.xz3j.y2i.xzv 2 rrrr −+= e k.zj.yz2i.xz3w 2 rrrr −+= . Determinar, no 
ponto P(1,-1,2), ( )wXXv rrr ∇ . 
Solução: 
j.x3i.y2
zyz2xz3
zyx
kji
)z,y,x(wX
2
rr
rrr
rr
+−=
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇ . 
)y4zx3,xyz6,zx9(
0x3y2
xz3y2xz
kji
)j.x3i.y2(Xv 22222 +=
−
−=+−
rrr
rrr
. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs2C3e02M 
 
CDCI/CMCD 
Portanto: ( ) ( )16,12,18k.16j.12i.18wXXv )2,1,1(P −=+−=∇ − rrrrrr . 
 
(06) A função )v.f(rot r é irrotacional? Considerar que 43zxy)z,y,x(f = e que 
k.zxy3j.xyi.xz)z,y,x(v 23 rrrr +−= . 
Solução: 
Como =+−= )z.y.x).(k.z.y.x.3j.x.yi.z.x(v.f 4323 rrrr , 
k.z.y.x.3j.z.y.xi.z.y.x 552462532 rrr +−= , 
tem-se que: =+−= )k.z.y.x3j.z.y.xi.z.y.x(rot)v.f(rot 552462532 rrrr 
=+−∇= )k.z.y.x3j.z.y.xi.z.y.x(X 552462532 rrrr 
=
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
552462532 z.y.x3z.y.xz.y.x
zyx
kji rrr
 
k).z.y.x.3z.y.x.2(j).z.y.x.6z.y.x.5(i).z.y.x.4z.y.x.15( 5224655432362542 rrr −−+−++= . 
Logo: )v.f(rot r não é função irrotacional, pois 0)v.f(rot
rr
≠ . 
 
(07) Sejam as funções k.z.y.x.3j.x.yi.z.xv 23 rrrr +−= e 43 z.y.x)z,y,x(f = . Deter-
minar, se possível, a função: )v.f(div r no ponto P(1,1,1). 
Solução: 
Como k.z.y.x3j.z.y.xi.z.y.xz.y.x).k.z.y.x.3j.x.yi.z.x(v.f 5524625324323 rrrrrrr +−=+−= , 
tem-se que: 
=+−= )k.z.y.x3j.z.y.xi.z.y.x(div)v.f(div 552462532 rrrr 
=+−∇= )k.z.y.x3j.z.y.xi.z.y.x.( 552462532 rrrr 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs2C3e02M 
 
CDCI/CMCD 
=+−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= )k.z.y.x3j.z.y.xi.z.y.x).(
z
.k
y
.j
x
.i( 552462532
rrrrrr
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
= )z.y.x3(
z
)z.y.x(
y
)z.y.x(
x
552462532
 
45245253 z.y.x.15z.y.x.6z.y.x.2 +−= . 
Portanto, resulta que: 111562)v.f(div
)1,1,1(P
=+−=
r
. 
 
(08) Determinar, se possível, a função )v.f(rot r no ponto P(1,1,1) sabendo-se 
que: 43zxy)z,y,x(f = e k.zxy3j.xyi.xz)z,y,x(v 23 rrrr +−= . 
Solução: 
Como =+−= )k.z.y.x.3j.x.yi.z.x).(z.y.x(v.f 2343 rrrr , 
k.z.y.x.3j.z.y.xi.z.y.x 552462532 rrr +−= , 
tem-se que: =+−= )k.z.y.x3j.z.y.xi.z.y.x(rot)v.f(rot 552462532 rrrr 
=+−∇= )k.z.y.x3j.z.y.xi.z.y.x(X 552462532 rrrr 
=
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
552462532
z.y.x3z.y.xz.y.x
zyx
kji rrr
 
=−−+−++= k).z.y.x.3z.y.x.2(j).z.y.x.6z.y.x.5(i).z.y.x.4z.y.x.15( 5224655432362542 rrr
 
)5.1,19(k.5j.1i.19k).32(j).65(i).415()v.f(rot
)1,1,1(P
−−=−−=−−+−++==
rrrrrrr
 
 
(09) Diz-se que uma função vetorial de ponto )z,y,x(vr é irrotacional quando 
0)]z,y,x(v[rot
rr
= . Determinar as constantes a, b, c de forma que a função vetorial 
de posição definida por k).z2cyx4(j).zy3bx(i).azy2x(v rrrr +++−−+++= se-
ja irrotacional. 
Solução: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs2C3e02M 
 
CDCI/CMCD 
Imediatamente, tem-se que: 
⇒=





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=∇ 0k.
y
v
x
vj.
x
v
z
vi.
z
v
y
v)v,v,v(X 123123321
rrrrr
 
( ) ( ) ( ) ⇒=−+−++=∇⇒ )0,0,0(k.2bj.4ai.1c)v,v,v(X 321 rrrr 





=−
=−
=+
⇒
02b
04a
01c
 
Resposta: 4a = , 2b = e 1c −= . 
 
(10) A função definida por k.zxy3j.xyi.xz)z,y,x(v 23 rrrr +−= é irrotacional? Jus-
tifique. 
Solução: 
A função k.z.y.x.3j.x.yi.z.xv 23 rrrr +−= não é irrotacional, pois 
0)v(rot
rr
≠ ; ou seja: 
0k.yj).z.y.3x(i.z.y.x.6
z.y.x.3x.yz.x
zyx
kji
)v(rot 32
23
rrrr
rrr
r
≠−−+=
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= . 
 
(11) A função k.z.y.x.3j.x.yi.z.xv 23 rrrr +−= é um exemplo de função solenoidal? 
Justifique. 
Solução: 
A função k.z.y.x.3j.x.yi.z.xv 23 rrrr +−= seria uma função solenoidal desde que 
0)k.z.y.x.3j.x.yi.z.x.( 23 =+−∇ rrrr . 
Mas, =+−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ )k.z.y.x.3j.x.yi.z.x).(
z
.k
y
.j
x
.i( 23
rrrrrr
 
0y.x.3x.y.3z)z.y.x.3(
z
)x.y(
y
)z.x(
x
2223 ≠+−=
∂
∂
+−
∂
∂
+
∂
∂
= . 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs2C3e02M 
 
CDCI/CMCD 
Logo: k.z.y.x.3j.x.yi.z.xv 23 rrrr +−= não é solenoidal. 
 
(12) Determinar a função )]v.f(rot[div r , sabendo-se que: 32 z.y.x)z,y,x(f = e 
k.x2j.yi.xz)z,y,x(v 22 rrrr +−= . 
Solução: 
Observando-se que 
k.z.y.x.2j.z.y.xi.z.y.x)k.x.2j.yi.z.x).(z.y.x(v.f 34332432232 rrrrrrr +−=+−= e 
=+−= )z.y.x.2j.z.y.xi.z.y.x(rot)v.f(rot 3433243 rrr 
=+−∇= )z.y.x.2j.z.y.xi.z.y.x(X 3433243 rrr 
=
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
3433243
z.y.x.2z.y.xz.y.x
zyx
kji rrr
 
k).z.xz.y.x.2(j).z.y.x.8z.y.x.4(i).z.y.x.3z.x.2( 4333333323234 rrr −−+−++= , 
tem-se que: 
+−
∂
∂
++
∂
∂
= )z.y.x.8z.y.x.4(
y
)z.y.x.3z.x.2(
x
)]v.f(rot[div 333323234r 
−−++=−−
∂
∂
+ 333323334333 z.x.8z.x.4z.y.x.6z.x.8)z.xz.y.x.2(
z
 
0z.x.4z.y.x.6 3323 =−− . 
Ou seja: 0)]v.f(rot[div =r . 
 
(13) Demonstrar que: 0)vX(. =∇∇ rrr , onde vr é uma função vetorial de posição. 
Resposta: 
Seja k).z,y,x(vj).z,y,x(vi).z,y,x(v)z,y,x(v 321
rrrr
++= . 
Logo, tem-se que: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs2C3e02M 
 
CDCI/CMCD 
=













∂
∂
∂
∂
∂
∂






∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇∇ )z,y,x(vX
z
,
y
,
x
.
z
,
y
,x
)vX(. rr
rr
 
=












∂
∂
∂
∂
∂
∂






∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
321 vvv
zyx
kji
.
z
,
y
,
x
rrr
 
=













∂
∂
−
∂
∂






∂
∂
−
∂
∂






∂
∂
−
∂
∂






∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
y
v
x
v
,
x
v
z
v
,
z
v
y
v
.
z
,
y
,
x
123123
 
=
∂∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂∂
∂
=
yz
v
xz
v
xy
v
zy
v
zx
v
yx
v 1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
 
0
xy
v
yx
v
xz
v
zx
v
yz
v
zy
v 3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
=





∂∂
∂
−
∂∂
∂
+





∂∂
∂
−
∂∂
∂
+





∂∂
∂
−
∂∂
∂
= . 
 
(14) Sendo k.xzj.yxi.yz2v 22 rrrr +−= , k.y.xj.z.yi.xu 2 rrrr −+= e 32 yzx2f = , de-
terminar: 
(a) ( ) f..v ∇rr ; 
(b) ( ) v.u. rrr∇ ; 
(c) )f.(Xv ∇rr . 
Respostas: 
(a) k.yzx4j.yzx2 4334 rr +− ; 
(b) ( ) ( ) ( )k.xzzx2j.yzxyx2i.yz2xyz4 322232 rrr +++−+ ; 
(c) 0k.0j.0i.0 rrrr =++ ; 
 
(15) Se k.zxyj.zy2i.zxv 2232 rrrr +−= , determinar v.rr∇ no ponto P(1,-1,1). 
Resposta: 3v. −=∇ r
r
.