pratica 01 parcial-vibracoes EDITADO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS-UFMG
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA-DEMEC
ESCOLA DE ENGENHARIA
Aula Prática nº 01:
VIBRAÇÕES LIVRES PARA SISTEMAS COM UM GRAU-DE-LIBERDADE: MOVIMENTO HARMÔNICO
Luiz Paulo Rodrigues Miranda – 2009019118 (turma N1)
Marcus Paulo de Faria Naback – 2010430098 (turma N3)
Belo Horizonte, 23 de fevereiro de 2014
OBJETIVOS
Realizar experimentos com sistema massa-mola e pêndulo em laboratório e aplicar os conceitos físicos de movimento harmônico simples, de forma a responder às seguintes perguntas e solicitações para cada um dos sistemas:
Pêndulo mecânico
Obter a equação de movimento para vibração livre do pêndulo;
Calcular as freqüências naturais do sistema utilizando comprimentos diferentes e mesma massa e massas diferentes e mesmo comprimento;
Estimar experimentalmente os coeficientes de rigidez para todo o sistema;
Obter os valores da constante de rigidez do sistema, analiticamente (utilizando a equação de movimento obtida anteriormente) e experimentalmente (a partir da freqüência natural do sistema);
Analisar as possíveis fontes de imprecisão do experimento.
Sistema massa-mola
Obter a equação de movimento para vibração livre para os dois sistemas massa-mola utilizados (em série e individual);
Calcular as freqüências naturais do sistema e verificar qual o efeito que a mudança de rigidez tem no valor obtido e como se poderia aumentar a freqüência natural do sistema em 10%.
Estimar experimentalmente os coeficientes de rigidez para todos os sistemas;
Determinar a rigidez equivalente para a associação em série considerando os valores obtidos individualmente e comparar com o valor experimental obtido para o conjunto. Explicar se houve diferença e por quê;
Analisar as possíveis fontes de erro no ensaio e nos cálculos;
INTRODUÇÃO
O movimento harmônico pode ser representado como a projeção numa linha reta de um ponto que se move numa circunferência a velocidade constante (freqüência angular ω). A velocidade e aceleração do movimento harmônico podem ser determinadas pela diferenciação da expressão do deslocamento:
							(1a)
				(1b)
				(1c)
Assim, a velocidade, e a aceleração são também harmônicas, com a mesma freqüência de oscilação, porém à frente do deslocamento com diferenças de fase de π/2 e π radianos, respectivamente.
Pêndulo mecânico
Para o pêndulo representado na Figura 1, tem-se as seguintes equações:
Figura 1 – (a) Pêndulo simples; (b) componentes da força
Para componente tangencial da força:	
		(2)
Para a aceleração tangencial:		
			(3)
Da segunda Lei de Newton: 		
	(4)
Para pequenas oscilações, pequenos ângulos, a equação de movimento para um pêndulo simples:	
	 (5)
Cálculo da freqüência natural do sistema
Utilizando as seguintes equações para o movimento harmônico, tem-se:
							(6a)
				(6b)
			(6c)
Substituindo a equação (6a) em (6c), tem-se:
					 (7)
Por comparação com a equação (5), obtem-se: 
				 (8)
Para calcular a freqüência natural experimentalmente, utiliza-se:
 ωexp = 2π/T, 	onde T é o período			 (9)
O erro, que é a diferença entre a frequência angular teórica e experimental, é dado pela equação:
				(10)
Cálculo constante de rigidez do sistema
A constante de rigidez do sistema é o coeficiente da equação de movimento associada à amplitude de movimento. Reorganizando a equação (4), tem-se:
					(11)
Sendo que a constante de rigidez do sistema é: 
							(12)
Para o cálculo experimental, sabe-se que a constante de rigidez do sistema pode ser obtida a partir da freqüência natural do sistema, utilizando a equação (9). 
O erro, que é a diferença entre a rigidez teórica e experimental é dado pela equação:
					(13)
Sistema massa-mola
Para o sistema massa-mola ilustrado na Figura 2, tem-se as seguintes equações:
Figura 2 – Sistema massa-mola
A força é dada por: 		
			(15)
Da segunda Lei de Newton, obtem-se a equação de movimento para um sistema massa-mola sem amortecimento:	
			(16)
Utilizando as seguintes equações para o movimento harmônico, tem-se:
						 (17a)
			 (17b)
		 (17c)
Substituindo a equação (12ª) em (12c), tem-se: 
				(18)
Por comparação com a equação (6), obtem-se:
						 (19)
Para duas molas em série deve-se calcular o keq, dado por:
				 (20)
Para calcular a freqüência natural experimentalmente, utiliza-se:
 ωexp = 2π/T, 	onde T é o período		 (21)
Substituindo os valores de ω para uma mola e para duas molas em série, obtem-se as seguintes equações de movimento para vibração livre do sistema massa-mola: 
,para uma mola				 (22)
	,para duas molas em série	 (23)
METODOLOGIA
Pêndulo mecânico
Instrumentos: Balança, trena e cronômetro.
Aparato: 2 pesos metálicos e 2 fios de nylon de comprimentos diferentes.
Procedimentos: Pesar as massas metálicas. Montar o pêndulo mecânico, prendendo o(s) peso(s) no fio de nylon. Medir o comprimento final do fio, do seu ponto de fixação até a ponta onde a massa está presa, após a montagem. Colocar a massa em movimento através de uma excitação lateral e de forma que a sua trajetória seja em apenas um plano, para medir sua vibração em um grau de liberdade. Esperar o transiente passar e começar a medir o tempo gasto para a esfera completar 10 ciclos de vibração (i.e., 10 períodos de oscilação). Fazer cinco medições. 
Utilizou-se as seguintes montagens:
1º sistema: L1 + m1;
2º sistema: L2 + m1;
3º sistema: L2 + m2.
Sistema massa-mola
Instrumentos: balança e cronômetro
Aparato: 2 pesos metálicos e 2 molas metálicas.
Procedimentos: Pesar a massa de cada “bloco” utilizado. Montar o 1º sistema utilizando 2 molas e um bloco. Excitar verticalmente o movimento do bloco. Esperar o transiente passar e medir o período de oscilação; Repetir as medições para os seguintes sistemas:
1º sistema: K1 + K2 e m1;
2º sistema: K1 e m1;
3º sistema: K2 e m1;
4º sistema: K2 e m2.
RESULTADOS
Para cada experimento foram realizadas 5 medições do período de oscilação. Para a coleta de dados na prática do pêndulo mecânico e para o sistema massa-mola considerou-se a gravidade igual a 9,78m/s².
Pendulo Mecânico
A Tabela I apresenta os dados colhidos na prática para o pêndulo mecânico e a Tabela II mostra as medições de período realizadas.
Tabela I - Dados coletados para o pêndulo mecânico
	
	L1(cm)
	L2(cm)
	m1(g)
	m2(g)
	Nº de ciclos
	Dados
	77,8
	43,6
	262,9
	83,0
	10
Tabela II - Dados das medições do período para o pêndulo
	Medições do Período em 10 ciclos (s)
	L1+m1
	L2+m1
	L2+m2
	1º
	17,88
	13,44
	12,58
	2º
	17,90
	13,31
	12,54
	3º
	18,16
	13,30
	12,45
	4º
	17,77
	13,34
	12,52
	5º
	18,15
	13,36
	12,54
	Média
	17,97
	13,35
	12,53
	Período médio (Média/10ciclos)
	1,797
	1,335
	1,253
Sistema massa-mola
A Tabela III apresenta os dados coletados para a prática do sistema massa-mola e a Tabela IV mostra as medições de período realizadas.
Tabela III- Dados coletados para o sistema massa-mola
	
	P87(g)
	E48(g)
	M1(g)
	M2(g)
	Nº de ciclos
	Dados
	2006,1
	423
	2006,1
	2491,1
	10 ciclos
Tabela IV - Dados das medições do período para o sistema massa-mola
	Medições do Período (s)
	K1+m1
	K1+K2+m1
	K2+m1
	K2+m2
	1º
	8,60
	11,23
	7,92
	8,77
	2º
	7,81
	11,09
	7,89
	8,61
	3º
	7,99
	11,12
	7,91
	8,70
	4º
	7,87
	11,12
	7,90
	8,62
	5º
	7,78
	11,15
	7,81
	8,62
	Média
	8,01
	11,14
	7,89
	8,66
	Período médio(Média/10 ciclos)
	0,801
	1,114
	0,789
	0,866
Cálculos do Pêndulo Mecânico
Cálculo das freqüências naturais 
De acordo com os dados das Tabelas I e II têm-se:
Para o 1º sistema
Sabendo-se que g = 9,78m/s2 e e usando-se a equação (8), acha-se a freqüência natural teoricamente como ωteo = 3,546rad/s.
Para a determinação da freqüência natural experimental, utiliza-se a equação (9), substituindo T = 1,797s, obtém-se ωexp = 3,496rad/s.
Pela equação(10) acha-se o .	
Para o 2º sistema 
Sabendo-se que g = 9,78m/s2 e e usando-se a equação (8), acha-se a freqüência natural teoricamente como .
Para a determinação da freqüência natural experimental, utiliza-se a equação (9), substituindo T = 1,335s, obtém-se .
Pela equação (10) acha-se o 
Para o 3º sistema 
Sabendo-se que g = 9,78m/s2 e e usando-se a equação (8),acha-se a frequência natural teoricamente como .
Para a determinação da freqüência natural experimental, utiliza-se a equação (9), substituindo T = 1,253s, obtém-se .
Pela equação (10) acha-se o .
Análise dos resultados: 
Como era de se esperar pela equação teórica (8), a massa não modifica a freqüência natural do sistema, enquanto uma modificação no comprimento do pêndulo ocasionou uma alteração na freqüência natural do sistema.
Houve uma pequena variação no do 2º e 3º, mas isso se deu apenas devidos a erros ocasionados pelos métodos de medição.
Possíveis fontes de incerteza
Existem duas principais fontes de incertezas, as fontes devido aos métodos de medições e as fontes devido as aproximações que foram consideradas.
Sobre os métodos de medições, temos as incertezas devido a resolução e aferimento da balança, trena e até do cronometro. Na medição do tempo temos o tempo de reação do operador e ainda a dificuldade de visualizar com exatidão o momento certo de para o cronometro, esse erro foi minimizado pela contagem de 10 ciclos, mas ainda assim se mostrou existente.
Outra fonte de incerteza estava na definição do comprimento L. Pois o comprimento L deveria ser o comprimento do fio de nylon até o cento de gravidade da massa, porem com a metodologia utilizada não era possível saber o ponto certo do centro de gravidade da massa, adicionando um erro no comprimento L.
Nas aproximações incluímos outros erros, consideramos que não há amortecimento, mas sabemos que na verdade o ar amortece o sistema, consideramos a orbita do sistema em apenas um plano, quando na verdade a massa se move em uma orbita elípticas. E ainda para facilitar os caçulos, pela pequeno ângulo de movimentação consideramos que a massa se movia linearmente enquanto na verdade faz um arco.
Sistema massa-mola
Cálculo das freqüências naturais 
Para o 1º sistema
Para o cálculo da frequência natural experimental foi usada a equação (21), substituindo T = 1,114 s, obteve-se .
Para o 2º sistema
Para o cálculo da freqüência natural experimental, foi usada a equação (21), substituindo T = 0,801s, obteve-se.
Para o 3º sistema
Para o cálculo da frequência natural experimental, foi usada a equação (21), substituindo T = 0,789s, obteve-se .
Para o 4º sistema 
Para o cálculo da frequência natural experimental, foi usada a equação (21), substituindo T = 0,866s, obteve-se .
Análise dos resultados:
De acordo com a equação (21) percebe-se que a frequência natural varia inversamente proporcional ao período, sistemas que apresentaram menor período como o 2º e o 3º apresentaram uma frequência natural maior. Não é possível fazer inferências sobre a relação entre a massa e a frequência natural uma vez que ainda não foram calculados os coeficientes de rigidez do sistema. No entanto, é possível perceber que a frequência natural aumenta com o aumento da massa, o que indica que a constante de rigidez também aumenta.
Estimativa dos coeficientes de rigidez 
Para o 1º sistema 
A fim de se estimar o coeficiente de rigidez do sistema, foi usada a equação (13), substituindo os valores da frequência natural experimental e da massaobteve-se .
Para o 2º sistema 
 A fim de se estimar o coeficiente de rigidez do sistema, foi usada a equação (13), substituindo os valores da frequência natural experimental e da massaobteve-se .
Para o 3º sistema 
 A fim de se estimar o coeficiente de rigidez do sistema, foi usada a equação (13), substituindo os valores da frequência natural experimental e da massaobteve-se .
Para o 4º sistema
 A fim de se estimar o coeficiente de rigidez do sistema, foi usada a equação (13), substituindo os valores da frequência natural experimental e da massaobteve-se .
Análise dos resultados:
Pode-se comparar o valor da rigidez do 1º sistema (molas 1 e 2 em série) com o valor da rigidez equivalente calculado a partir dos valores individuais dos 2º e 3ºsistemas,molas 1 e 2, respectivamente. À partir da equação (20), obtem-se 	.
Ao analisar os valores obtidos para as freqüências naturais e para os coeficientes de rigidez, observa-se que, mantida a massa constante(como ocorrido nos 1º e 2º sistemas),a freqüência natural aumenta com o aumento do coeficiente de rigidez, o que está de acordo com o comportamento esperado pela equação (19).
Possíveis fontes de incerteza
As fontes de incerteza são resultantes de simplificações feitas para o experimento. Considerou-se que o sistema massa-mola oscilava em uma única direção, o que, na prática, não ocorre. Percebe-se que o sistema não se movimenta em um só grau de liberdade. Além disso, não considerou-se as forças dissipativas, como o atrito com o ar, por exemplo.
Outras fontes de incerteza se devem ao processo de medição. Ao observar a oscilação há dificuldades em se perceber o momento exato que o sistema completa um ciclo e há também o tempo de reação do observador para parar o cronômetro. Além disso, há incertezas dos instrumentos de medição, como, por exemplo, a menor divisão de escala. 
Bibliografia
[1] THONSON, Willian T. Teoria da Vibração com aplicações, Editora Interciência Ltda. Rio de Janeiro, Brasil, 1978