AULA 4 e 5 DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS

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Estatística Aplicada a 
Administração
D OC E N T E : E S P. E N I O J OS É B OL OGN I N I
C U R S O: A D M I N I S T RA ÇÃ O
C E N T R O U N I V E R SI TÁ RI O N ORT E PA U L I S TA – U N OR P
A U L A 4 E 5 - D I S T R I BU IÇ ÕE S D E FR E QU Ê N C I A S
2016
Distribuição de Frequência
 Tabela Primitiva:
 Tabela ROL:
A principal ideia é de organizar os dados,
para que sejam contados facilmente, assim
gerando a tabela de distribuição de frequência.
Estaturas de 40 Alunos do ColégioA
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
Estaturas de 40 Alunos do ColégioA
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
Distribuição de Frequência 
Sem Intervalo de Classes
i Estaturas (Cm) fi
1 150 1
2 151 1
3 152 1
4 153 1
5 154 1
6 155 4
7 156 3
8 157 1
9 158 2
10 159 0
11 160 5
12 161 4
13 162 2
14 163 2
15 164 3
16 165 1
17 166 1
18 167 1
19 168 2
20 169 1
21 170 1
22 171 0
23 172 1
24 173 1
TOTAL
Índices
Intervalo de Classes
Frequência Simples
Somatória Total da 
Frequência Simples
Regra de Sturges
4
Estaturas de 40Alunos do ColégioA
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
Amplitude Amostral
5
Estaturas de 40 Alunos do Colégio A
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
6
i Estaturas (cm)
1 150 |----- 154 4
2 154 |----- 158 9
3 158 |----- 162 11
4 162 |----- 166 8
5 166 |----- 170 5
6 170 |----- 174 3
TOTAL
Distribuição de Frequência 
Com Intervalo de Classes
Intervalo de Classes Frequência Simples
Somatória Total da
Frequência Simples
Índice
Intervalos de Classes
7
Suponha que você queira descobrir o número de índices de intervalo de
classes, para você não achar somente o índice, mas também os intervalos de
classes ( O total de intervalo para intervalo).
Podemos utilizar a seguinte
regra: Amplitude Amostral
(AA): AA = 97 – 33 = 64
Dados em Crédito de 50 Notas
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48
50 52 53 54 55 55 57 59 60 60
61 64 65 65 65 66 66 66 67 68
69 71 73 73 74 74 76 77 77 78
80 81 84 85 85 88 89 91 94 97
Intervalos de Classes
8
i Classes fi
1 30 |---- 40 4
2 40 |---- 50 6
3 50 |---- 60 8
4 60 |---- 70 13
5 70 |---- 80 9
6 80 |---- 90 7
7 90 |---- 100 3
TOTAL ∑fi = 50
Utilizando a fórmula da amplitude do intervalo de classes, temos:
𝒌 =
𝑨𝑻
𝒉𝒊
𝒌 =
𝟔𝟒
𝟕
𝒌 ≅ 𝟏𝟎 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐𝒔
Intervalos de Classes
9
i Classes fi
1 30 |---- 40 4
2 40 |---- 50 6
3 50 |---- 60 8
4 60 |---- 70 13
5 70 |---- 80 9
6 80 |---- 90 7
7 90 |---- 100 3
TOTAL ∑fi = 50
Para encontrar o limite de cada intervalo de classe, é necessário adotar o
seguinte procedimento:
Limite Interior da Classe: 𝑙𝑖
Limite Superior da Classe:𝐿𝑖
Para encontrarmos o limite do
intervalo de classes, deve-se
utilizar a seguinte fórmula:
ℎ𝑖 = 𝐿𝑖 −𝑙𝑖
Caso intervalo seja do índice 2,
temos:
ℎ2 = 50 − 40 = 10
𝐿𝑖𝑙𝑖
Amplitude Total da Distribuição
10
i Classes fi
1 30 |---- 40 4
2 40 |---- 50 6
3 50 |---- 60 8
4 60 |---- 70 13
5 70 |---- 80 9
6 80 |---- 90 7
7 90 |---- 100 3
TOTAL ∑fi = 50
Também, é necessário obter o valor da amplitude total da distribuição (AT), para 
encontrar utilize a seguinte fórmula:
AT  Lmax  lmin
AT 100 30
AT  70
Somatória da Frequência 
Simples
11
i Classes fi
1 30 |---- 40 4
2 40 |---- 50 6
3 50 |---- 60 8
4 60 |---- 70 13
5 70 |---- 80 9
6 80 |---- 90 7
7 90 |---- 100 3
TOTAL ∑fi = 50
O somatório das classes é fundamental para obtermos o resultado final da
frequência dos índices. Observe o seguinte exemplo:
෍
𝑖=1
𝑘
𝑓𝑖
෍
𝑖=1
𝑘=7
𝑓𝑖 = 𝑓1 +𝑓2 +𝑓3 +𝑓4 +𝑓5 +𝑓6 +𝑓7
෍
𝑖=1
𝑘=7
𝑓𝑖 = 4 + 6 + 8 + 13 + 9 + 7 + 3
෍
𝑖=1
𝑘=7
𝑓𝑖 = 50
Ponto Médio das Classes
12
i Classes fi xi
1 30 |---- 40 4 35
2 40 |---- 50 6 45
3 50 |---- 60 8 55
4 60 |---- 70 13 65
5 70 |---- 80 9 75
6 80 |---- 90 7 85
7 90 |---- 100 3 95
TOTAL ∑fi = 50
É necessário dentro de distribuições com intervalos de classes encontrar o ponto
médio da classe (𝑥𝑖):
𝑥1 =
30 + 40
2
= 35
𝑥2 =
40 + 50
2
= 45
𝑥3 =
50 + 60
2
= 55
𝑥4 =
60 + 70
2
= 65
𝑥5 =
70 + 80
2
= 75
𝑥6 =
80 + 90
2
= 85
𝑥7 =
90 + 100
2
= 95
Tipos de Frequência
13
Frequência simples ou absoluta (𝒇 𝒊 ) – s ão
valores que realmente representam o número de
dados:
Frequência relativas (𝒇𝒓 𝒊 ) - são valores das razões
entre frequência simples sobre frequência total:
Frequência acumulada ( 𝑭𝒂𝒄𝒊 ) – total das
frequências dos valores por ordem de índices:
Frequência Acumulada Relativa (𝑭𝒂𝒄𝒓𝒊) – é a
frequência acumulada da classe, pode ser dividida
pela frequência total da distribuição:
𝑭𝒂𝒄𝒊 = 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐, … , 𝒇𝒏
Frequência Relativa
14
i Classes fi xi fri
1 30 |---- 40 4 35 0,080
2 40 |---- 50 6 45 0,120
3 50 |---- 60 8 55 0,160
4 60 |---- 70 13 65 0,260
5 70 |---- 80 9 75 0,180
6 80 |---- 90 7 85 0,140
7 90 |---- 100 3 95 0,060
TOTAL ∑fi = 50 ∑fri = 1
Acompanhe o exemplo para encontrar a nova coluna da frequência
relativa (fri):
𝑓𝑟𝑖 =
𝑓𝑖
σ𝑓𝑖
𝑓𝑟1 =
4
50
= 0,080
𝑓𝑟2 =
6
50
= 0,120
𝑓𝑟3 =
8
50
= 0,160
𝑓𝑟4 =
13
50
= 0,260
𝑓𝑟5 =
9
50
= 0,180
𝑓𝑟6 =
7
50
= 0,140
𝑓𝑟7 =
3
50
= 0,060
Frequência Acumulada
15
i Classes fi xi fri Faci
1 30 |---- 40 4 35 0,080 4
2 40 |---- 50 6 45 0,120 10
3 50 |---- 60 8 55 0,160 18
4 60 |---- 70 13 65 0,260 31
5 70 |---- 80 9 75 0,180 40
6 80 |---- 90 7 85 0,140 47
7 90 |---- 100 3 95 0,060 50
TOTAL ∑fi = 50 ∑fri = 1
Acompanhe o exemplo para encontrar a nova coluna da frequência
acumulada (𝑭𝒂𝒄𝒊):
𝑭𝒂𝒄𝒊 = 𝒇𝟏 + 𝒇𝟐, … , 𝒇𝒏
𝑭𝒂𝒄𝟏 = 𝟒
𝑭𝒂𝒄𝟐 = 4 + 6 = 10
𝑭𝒂𝒄𝟑 = 4 + 6 + 8 = 18
𝑭𝒂𝒄𝟒 = 4 + 6 + 8 + 13 = 31
𝑭𝒂𝒄𝟓 = 4 + 6 + 8 + 13 + 9 = 40
𝑭𝒂𝒄𝟔 = 4 + 6 + 8 + 13 + 9 + 7 = 47
𝑭𝒂𝒄𝟕 = 4 + 6 + 8 + 13 + 9 + 7 + 3 = 50
Frequência Acumulada Relativa
16
i Classes fi xi fri Faci Fraci
1 30 |---- 40 4 35 0,080 4 0,080
2 40 |---- 50 6 45 0,120 10 0,200
3 50 |---- 60 8 55 0,160 18 0,360
4 60 |---- 70 13 65 0,260 31 0,620
5 70 |---- 80 9 75 0,180 40 0,800
6 80 |---- 90 7 85 0,140 47 0,940
7 90 |---- 100 3 95 0,060 50 1,000
TOTAL ∑fi = 50 ∑fri = 1 ∑Fraci = 4,000
Acompanhe o exemplo para encontrar a nova coluna da frequência
relativa acumulada (𝑭𝒓𝒂𝒄𝒊):
𝐹𝑟𝑎𝑐𝑖 =
𝐹𝑎𝑐𝑖
σ𝑓𝑖
𝐹𝑟𝑎𝑐1 =
4
50
= 0,080
𝐹𝑟𝑎𝑐2 =
10
50
= 0,200
𝐹𝑟𝑎𝑐3 =
18
50
= 0,360
𝐹𝑟𝑎𝑐4 =
31
50
= 0,620
𝐹𝑟𝑎𝑐5 =
40
50
= 0,800
𝐹𝑟𝑎𝑐5 =
47
50
= 0,940
𝐹𝑟𝑎𝑐5 =
50
50
= 1,000
Histogramas
17
i Classes fi xi fri Faci Fraci
1 30 |---- 40 4 35 0,080 4 0,080
2 40 |---- 50 6 45 0,120 10 0,200
3 50 |---- 60 8 55 0,160 18 0,360
4 60 |---- 70 13 65 0,260 31 0,620
5 70 |---- 80 9 75 0,180 40 0,800
6 80 |---- 90 7 85 0,140 47 0,940
7 90 |---- 100 3 95 0,060 50 1,000
TOTAL ∑fi = 50 ∑fri = 1 ∑Fraci = 4,000
Podemos desenvolver conforme a tabela um histograma, para apresentar
os picos de frequência alcançados nesta estatística:
Histogramas
18
4
6
8
13
9
7
3
02
4
6
8
10
12
14
30 |---- 40 40 |---- 50 50 |---- 60 60 |---- 70 70 |---- 80 80 |---- 90 90 |---- 100
Histrograma da Tabela
Histogramas
19
4
6
8
13
9
7
3
0
2
4
6
8
10
12
14
30 |---- 40 40 |---- 50 50 |---- 60 60 |---- 70 70 |---- 80 80 |---- 90 90 |---- 100
HISTROGRAMA DA TABELA
GRÁFICOS
20
8%
12%
16%
26%
18%
14%
6%
GRÁFICO DA TABELA
30 |---- 40
40 |---- 50
50 |---- 60
60 |---- 70
70 |---- 80
80 |---- 90
90 |---- 100
9. Exemplo Prático
21
Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir:
a) A rol;
b) Faça a tabela de distribuição de frequência;
c) Encontre a Amplitude Amostral;
d) Ache o número de classes com a regra de Sturges;
e) Qual é a amplitude do intervalo de classes;
f) Ache os pontos médios;
g) Encontre a frequência relativa, frequência acumulada e frequência 
acumulada relativa;
h) Faça o Histograma;
i) Faça o Gráfico de Polígono de frequências
69 57 72 54 93 68 72 58 64 62
65 76 60 49 74 56 66 83 70 45
60 81 71 67 63 64 53 73 81 50
67 68 53 75 65 58 80 60 53 53
Exercícios de Fixação
9. Exemplo Prático
22
Para os exercícios 2, 3 e 4 encontre os seguintes resultados:
a) A rol;
b) Faça a tabela de distribuição de frequência;
c) Encontre a Amplitude Amostral;
d) Ache o número de classes com a regra de Sturges;
e) Qual é a amplitude do intervalo de classes;
f) Ache os pontos médios;
g) Encontre a frequência relativa, frequência acumulada e 
frequência acumulada relativa;
h) Faça o Histograma;
i) Faça o Gráfico de Polígono de frequências
Exercícios de Fixação
10.1 - Lista de Exercícios 1
23
2. Conhecidas as notas de 50 alunos. Obtenha a distribuição de frequência.
Ordene a tabela primitiva para tabela ROL. Utilize a regra de sturges o
numero de índices e amplitude de intervalo de classes para a tabela de
distribuição:
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
Exercícios de Fixação
10.1 - Lista de Exercícios 1
24
3. Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes. Obtenha a distribuição
de frequência. Ordene a tabela primitiva para tabela ROL. Utilize a regra de
sturges o numero de índices e amplitude de intervalo de classes para a tabela 
de distribuição:
6 5 2 6 4 3 6 2 6 5
1 6 3 3 5 1 3 6 3 4
5 4 3 1 3 5 4 4 2 6
2 2 5 2 5 1 3 6 5 1
5 6 2 4 6 1 5 2 4 3
Exercícios de Fixação
10.1 - Lista de Exercícios 1
25
4. Considerando as notas de um teste de inteligência aplicando a 100 alunos. 
Forme a distribuição de frequência. Utilize a regra de sturges para numero de 
índices e a amplitude de intervalo de classes.
64 78 66 82 74 103 78 86 103 87
73 95 82 89 73 92 85 80 81 90
78 86 78 101 85 98 75 73 90 86
86 84 86 76 76 83 103 86 84 85
76 80 92 102 73 87 70 85 79 93
82 90 83 81 85 72 81 96 81 85
68 96 86 70 72 74 84 99 81 89
71 73 63 105 74 98 78 78 83 96
95 94 88 62 91 83 98 93 83 76
94 75 67 95 108 98 71 92 72 73
Exercícios de Fixação
26
BÁSICA:
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
SILVA, E. M. et al. Estatística: para os cursos de economia, administração e ciências
contábeis. São Paulo: Atlas, 19--.
TIBONI, C. G. R. Estatística Básica: para os cursos de administração, ciências contábeis,
tecnológicos e de gestão. São Paulo: Atlas, 20--.
COMPLEMENTAR:
HOFFMANN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 19--.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
MORETTIN, P. A; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
FONSECA, J. S; MARTINS, G. A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books do Brasil, 19--.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS