Prova de Física: Campo elétrico, Lei de Gauss, Potencial elétrico e Capacitores

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Código dos testes:____________ 
Seu nome:_________________________________________________________________ 
Prof. Neemias Alves de Lima 
 
Prova 1: Campo elétrico. Lei de Gauss. Potencial elétrico. Capacitores. 
Importante! Só serão consideradas as respostas com as argumentações e cálculos desenvolvidos na prova. Os valores finais dos 
cálculos devem ser dados com o mesmo número de algarismos significativos do dado de entrada com o menor número de 
algarismos significativos. As fórmulas que você usar que não estiverem no formulário deverão ser deduzidas! 
 
Formulário 
Parte A 
Massa do elétron: 9,109 × 10−31 kg 
Massa do próton: 1,673 × 10−27 kg 
Carga elementar: 1,602 × 10−19 C 
 
 
𝐹 12 = 𝑘
𝑞1𝑞2
𝑟12
2 𝑟 12 
𝑘 = 8,99 × 109𝑁.
𝑚2
𝐶2
 
 
 
𝐹 = 𝑞𝐸 
𝐸 = 𝑘 
𝑞𝑖
𝑟𝑖
2 𝑟 𝑖
𝑖
 
𝐸 = 𝑘 
𝑑𝑞
𝑟2
𝑟 
 
 
𝜙𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀0
 
𝜀0 =
1
4𝜋𝑘
= 8,8542 × 10−12
𝐶2
𝑁. 𝑚2
 
Parte B 
Trabalho da força elétrica: 𝑊𝑒 = −∆𝑈 = −𝑞∆𝑉 
𝑈 𝑟 = 𝑞0 
𝑘𝑞𝑖
𝑟𝑖0
𝑖
, 𝑈(𝑟 ) = 𝑞0𝑘 
𝑑𝑞
𝑟
 
𝑉 𝑟 = 𝑘 
𝑞𝑖
𝑟𝑖
𝑖
, 𝑉 𝑟 = 𝑘 
𝑑𝑞
𝑟 
 
 
 
Diferença de potencial elétrico: ∆𝑉 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑟 
𝐵
𝐴
 
Teorema trabalho-energia cinética: 𝑊𝑟𝑒𝑠 = ∆𝐾 
𝐾 =
𝑚𝑣2
2
 
1 eV = 1,602 × 10−19J 
 
 
𝑄 = 𝐶|∆𝑉| 
1
𝐶𝑒𝑞
= 
1
𝐶𝑖
𝑁
𝑖=1
, 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶𝑖
𝑁
𝑖=1
 
 
 
 
 
ORIENTAÇÃO: Este simulado deve ser resolvido entre 24 a 48 horas antes da realização da Prova 1, 
isso depois do estudante ter estudado bem o conteúdo indicado no SIGAA para cada questão da 
Prova. Siga os seguintes passos: 1) Leia todas as questões. 2) Se acha confiante para resolvê-las? Se 
sim, resolva! Se não, estude o conteúdo para estar mais bem preparado. 3) Quando estiver resolvendo 
o simulado não consulte a resolução das questões! 4) Após terminar, compare as suas respostas com as 
resoluções, veja onde você acertou e/ou errou, e avalie seu simulado! 5) Use as últimas horas antes da 
Prova para tirar suas dúvidas, e boa sorte!  
 
Questão 1 (2,5 pontos): Uma casca esférica não condutora possui um raio interno 
𝑅1 e um raio externo 𝑅2 (Figura). Não existe qualquer carga no interior da 
cavidade interna (𝑟 < 𝑅1), e a densidade volumétrica de carga é não uniforme, 
entre 𝑅1 e 𝑅2, e expressa por 𝜌 𝑟 = 𝜌0𝑅1/𝑟, em que 𝜌0 é uma constante positiva. 
Determine o campo elétrico em um ponto 𝑃, para 𝑟 > 𝑅2. 
 
Questão 2 (2,5 pontos): Um campo elétrico uniforme de 2,00 kN/C está orientado no sentido +𝑥. (a) (0,75 
ponto) Qual é a diferença de potencial 𝑉𝑏 – 𝑉𝑎 quando o ponto “𝑎” é posicionado em 𝑥 = −30,0 cm e o 
ponto “𝑏” em 𝑥 = +50,0 cm? (b) (1,25 ponto) Uma carga de teste 𝑞0 = +2,00 nC é liberada a partir do 
repouso no ponto “𝑎”. Qual é o valor de sua energia cinética ao passar pelo ponto “𝑏”? (c) (0,50 ponto) Se 
neste problema, uma carga negativa fosse utilizada no lugar da carga positiva, como seria alterada sua 
resposta? 
 
Questão 3 (2,5 pontos): A Figura mostra um sistema de quatro capacitores, 
𝐶1 = 10,0 𝜇F, 𝐶2 = 5,0 𝜇F, 𝐶3 = 8,0 𝜇F, 𝐶4 = 9,0 𝜇F, em que a diferença de 
potencial através de “ab” é de 50,0 V. (a) (1,0 ponto) Determine a capacitância 
equivalente desse sistema entre “a” e “b”. (b) (0,75 ponto) Quanta carga é 
armazenada em cada um dos capacitores? (c) (0,75 ponto) Qual é a diferença de 
potencial em cada capacitor? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 1 (2,5 pontos): Uma casca esférica não condutora possui um raio interno 
𝑅1 e um raio externo 𝑅2 (Figura). Não existe qualquer carga no interior da 
cavidade interna (𝑟 < 𝑅1), e a densidade volumétrica de carga é não uniforme, 
entre 𝑅1 e 𝑅2, e expressa por 𝜌 𝑟 = 𝜌0𝑅1/𝑟, em que 𝜌0 é uma constante positiva. 
Determine o campo elétrico em um ponto 𝑃, para 𝑟 > 𝑅2. 
 
Resolução: 
Aplicando a lei de Gauss: 
𝜙𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀0
 
𝐸4𝜋𝑟2 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀0
 
𝐸 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
4𝜋𝜀0𝑟2
 
Como o ponto P está fora da casca esférica, a carga interna é a carga total da casca! O cálculo é este: 
𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 𝑟 𝑑𝑉
𝑉
= (
𝜌0𝑅1
𝑟
)4𝜋𝑟2𝑑𝑟
𝑅2
𝑅1
= 4𝜋𝜌0𝑅1 𝑟𝑑𝑟
𝑅2
𝑅1
=
4𝜋𝜌0𝑅1
2
(𝑅2
2 − 𝑅1
2) 
𝐸 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
4𝜋𝜀0𝑟2
=
4𝜋𝜌0𝑅1
2 4𝜋𝜀0𝑟2 
 𝑅2
2 − 𝑅1
2 =
𝜌0𝑅1
2 𝜀0𝑟2 
 𝑅2
2 − 𝑅1
2 
Portanto, o módulo do campo elétrico no ponto P é 
𝐸 =
𝜌0𝑅1
2𝜀0𝑟2
 𝑅2
2 − 𝑅1
2 
A sua direção é radial, apontando para fora da esfera, já que carga é positiva por 𝜌0 ser positiva. 
 
Questão 2 (2,5 pontos): Um campo elétrico uniforme de 2,00 kN/C está orientado no sentido +𝑥. (a) (0,75 
ponto) Qual é a diferença de potencial 𝑉𝑏 – 𝑉𝑎 quando o ponto “𝑎” é posicionado em 𝑥 = −30,0 cm e o 
ponto “𝑏” em 𝑥 = +50,0 cm? (b) (1,25 ponto) Uma carga de teste 𝑞0 = +2,00 nC é liberada a partir do 
repouso no ponto “𝑎”. Qual é o valor de sua energia cinética ao passar pelo ponto “𝑏”? (c) (0,50 ponto) Se 
neste problema, uma carga negativa fosse utilizada no lugar da carga positiva, como seria alterada sua 
resposta? 
Resolução: 
(a) 
𝑉𝑏 – 𝑉𝑎 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑟 
𝑏
𝑎
= − 𝐸 𝑑𝑥
𝑥𝑏
𝑥𝑎
= −𝐸(𝑥𝑏 – 𝑥𝑎) 
𝑉𝑏 – 𝑉𝑎 = −2,00 × 10
3 50,0 × 10−2 – −30,0 × 10−2 = −1600 V 
(b) 
𝐾𝑏 – 𝐾𝑎 = 𝐾𝑏 = −𝑞 𝑉𝑏 – 𝑉𝑎 = 2,00 × 10
−9 1600 = 3,2 × 10−6 J 
(c) A carga negativa se deslocaria no sentido – 𝑥, e, portanto, nunca chegaria até o ponto “b”. 
 
Questão 3 (2,5 pontos): A Figura mostra um sistema de quatro capacitores, 
𝐶1 = 10,0 𝜇F, 𝐶2 = 5,0 𝜇F, 𝐶3 = 8,0 𝜇F, 𝐶4 = 9,0 𝜇F, em que a diferença de 
potencial através de “ab” é de 50,0 V. (a) (1,0 ponto) Determine a capacitância 
equivalente desse sistema entre “a” e “b”. (b) (0,75 ponto) Quanta carga é 
armazenada em cada um dos capacitores? (c) (0,75 ponto) Qual é a diferença de 
potencial em cada capacitor? 
 
Resolução: 
(a) Cálculo da capacitância equivalente. Os capacitores 2 e 3 estão em paralelo, a capacitância equivalente 
deles é 𝐶2 + 𝐶3. Agora este capacitor equivalente está em série com os capacitores 1 e 4, daí que a 
capacitância equivalente total é 
𝐶𝑒𝑞 = 
1
𝐶1
+
1
𝐶2 + 𝐶3
+
1
𝐶4
 
−1
 
𝐶𝑒𝑞 = 
1
10
+
1
13
+
1
9
 
−1
μF = 3,472 μF 
(b) e (c) A carga total na combinação é 
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐶𝑒𝑞𝑉𝑎𝑏 
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3,472μ 50 = 173,6 μC 
A carga nos capacitores 1 e 4 são iguais a 
𝑄1 = 𝑄4 = 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 173,6 μC 
Daí que as voltagens em 1 e 4 são: 
𝑉1 =
𝑄1
𝐶1
=
173,6μ
10μ
= 17,36 𝑉 
𝑉4 =
𝑄4
𝐶4
=
173,6μ
9,0μ
= 19,29 𝑉 
Para sabermos as cargas em 2 e 3 precisamos saber a ddp (diferença de potencial) em cada um deles. Como 
estes capacitores estão em paralelo as ddp são iguais, 
𝑉2 = 𝑉3 = 𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑉1 − 𝑉4 = 50,0 − 17,36 − 19,29 = 13,35 V 
Enfim, as cargas em 2 e 3 são: 
𝑄2 = 𝐶2𝑉2 = 5,0𝜇 13,35 = 66,8 μC 
𝑄3 = 𝐶3𝑉3 = 8,0𝜇 13,35 = 106,8 μC