a03 09 01.pdf exercicio 03 resposta

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Exemplo 
 
Resolver a equação diferencial ( ) , transformando-a em exata 
através do fator integrante. 
 
(1) Verificando que a equação não é exata. 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
Temos então que 
 
 
 
 
 
. Desta forma, a equação não é exata. 
 
(2) Multiplicando por um fator integrante 
 
 ( ) 
 
(3) Considerando o fator integrante ( ) 
 
1
1
)1(
2
)()( 2










xy
y
dx
d
y
dx
d
xy
dx
d
dx
d
xyyy
xy
x
y
y







 
 
Assim,

 não é uma função de x. 
 
(4) Considerando o fator integrante ( ) 
 
ydy
d
dy
d
y
dy
d
y
y
dy
d
yy
xy
x
y
y
11
2
2
)()(
2
2





















 
 
Equação de variáveis separáveis 
 
y
dyd



 
 
Integrando: 
 
y
k
KCy
Cy
Cy
Cy
Cy












lnln
lnlnln
lnlnln
 
Fazendo K=1, temos 
y
1

 um fator integrante. 
 
(5) Resolvendo a equação exata com o auxílio do fator integrante 
 
Utilizando este fator integrante, a equação 
0)1(2  dyxydxy 
 fica 
 
0)
1
(  dy
y
xydx
, que é exata. 
 
 
 
 
y
x
y
U
yCx
y
U
yCxyUy
x
U
1
)()( '22









 
 
Assim, 
32
'
2 ln
1
)( CyC
y
yC 
 
 
Voltando: 
 
Cyxy
CCyxyU


ln
ln 13