Eq_Dif_Chorfi_3

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EDO – Seção 3 
 
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Objetivo(s): Aplicar o método dos fatores de integração para resolução de equações 
diferenciais não exatas 
Professor: Domingos Chorfi 
Curso: Engenharia (todos os cursos) Disciplina: Equações diferenciais 
 
 
MÉTODO DOS FATORES DE INTEGRAÇÃO: Se uma Equação Diferencial do tipo: 
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy  , não é exata, ela pode, dependendo da equação, ser transformada 
em exata. Basta multiplicarmos a equação por uma função adequada ( , ) 0I x y  , chamada de 
fator integrante da equação. 
Então: 
( , ).[ ( , ) ( , ) ] 0 ( , ). ( , ) ( , ). ( , ) 0I x y M x y dx N x y dy I x y M x y dx I x y N x y dy     
Será exata se: 
[ ( , ). ( , )] [ ( , ). ( , )]
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
. ( , ) ( , ). . ( , ) ( , ).
I x y M x y I x y N x y
y x
I x y M x y I x y N x y
M x y I x y N x y I x y
y y x x
 

 
   
   
   
 
a) Vamos supor que ( , )I x y dependa só de x, então: 
( , ) ( , ) ( )
( , ) ( ) 0
( , ) ( ) ( , )
( ). . ( , ) ( ).
( , ) ( , ) ( )
( ). ( ). . ( , )
( ) ( , ) ( , )
. ( , ) ( ).[ ]
( , )
[
( )
( ).
I x y I x y dI x
I x y I x e
y x dx
M x y dI x N x y
I x N x y I x
y dx x
M x y N x y dI x
I x I x N x y
y x dx
dI x M x y N x y
N x y I x
dx y x
M x y
dI x y
I x
dx
 
     
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
 
( , )
]
( , )
N x y
x
N x y


 
    
 
   
 
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2
Se 
( , ) ( , )
[ ]
( , )
M x y N x y
y x
N x y
 

  for uma função só de x, ou seja f(x), então: 
( , ) ( , )
[ ]
( )
( , )
M x y N x y
y x
f x
N x y
 

   
Então: 
( ) ( )
( ). ( ) ( )
( )
dI x dI x
I x f x f x dx
dx I x
    
( )( )
( ) ln ( ) ( ) ( )
( )
f x dxdI x
f x dx I x f x dx I x e
I x
        será o fator integrante só de x. 
b) Vamos supor que ( , )I x y dependa só de y, então: 
( , ) ( , ) ( )
( , ) ( ) 0
( ) ( , ) ( , )
. ( , ) ( ). ( ).
( ) ( , ) ( , )
. ( , ) ( ). ( )
( ) ( , ) ( , )
. ( , ) ( ).[ ]
( , )
[
( )
( ).
I x y I x y dI y
I x y I y e
x y dy
dI y M x y N x y
M x y I y I y
dy y x
dI y N x y M x y
M x y I y I y
dy x y
dI y M x y N x y
M x y I y
dy y x
M x y
dI y y
I y
dy
 
     
 
 
  
 
 
  
 
 
   
 

 
( , )
]
( , )
N x y
x
M x y


 
Se 
( , ) ( , )
[ ]
( , )
M x y N x y
y x
M x y
 

  for uma função só de y, ou seja g(y), então: 
( , ) ( , )
[ ]
( )
( , )
M x y N x y
y x
g y
M x y
 

   . Então: 
( ) ( )
( ). ( ) ( )
( )
dI y dI y
I y g y g y dy
dy I y
    
( )( )
( ) ln ( ) ( ) ( )
( )
g y dydI y
g y dy I y g y dy I y e
I y
          
será o fator integrante só de y. 
    
 
   
 
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3
 
Determinação dos fatores integrantes para alguns casos: 
1° Caso: Se  xf
x
N
y
M
N










1 , uma função apenas de x, o fator integrante será 
 
( )
f x dx
I x e  . 
Exemplo: Resolver   022  xydydxxyx para  xfy  . Como y
x
N
ey
y
M






2 , a 
equação não é exata, mas como 
xx
N
y
M
N
11










 , o fator integrante será: 
 ( )
dx
n xxI x e e x   . 
Assim, a equação diferencial passará a ser: 
     2 2 3 2 2 2. . 0 0x x y x dx xydy x x xy x dx x ydy           . 
Donde 2 2
M N
xy e xy
y x
 
 
 
, que passará a ser uma equação diferencial exata e sua 
solução será:    3 2 2u x xy x dx k y     
4 2 2 3
4 2 3
x x y x
k y    . 
Cálculo de  yk :  2 2 10 0 ( ) ( ) 0
u
x y k y x y k y k y C
y
          

, então 
1
3224
0 324
C
xyxx
Cu  é a solução geral ou primitiva da equação. 
Resposta: Cxyxx 
324
3224
 
2° Caso: Se  1 M N g y
M y x
  
    
 uma função apenas de y , o fator integrante será 
 
( )
g y dy
I y e
  . 
    
 
   
 
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4
Exemplo: Resolver  2 0yy e x dy ydx   para  xfy  . Solução:  2 0yy e x dy ydx   
Como 11 





x
N
e
y
M a equação não é exata, mas 
   1 1 21 1M N g y
M y x y y
  
         
 e o fator integrante será: 
 2 2 ln
2
1
( )
dy
yyI y e e
y

   . Assim, a equação diferencial será: 
 221 . 0yy e x dy ydxy       2
1
0y
x
e dy dx
y y
 
   
 
, donde 
2 2
1 1M N
e
y y x y
 
 
 
, 
que passará a ser uma equação diferencial exata e  1u dx k y
y
   , ou seja,  yky
x
u  . 
Cálculo de  yk :  2 2( ) ( )y y y
u x x
k y e k y e k y e C
y y y
          

. 
Resposta: 0y
x
u e C
y
     . 
 
3° Caso: Se a equação é homogênea e 0 NyMx , então   1,I x y
Mx Ny


 é fator 
integrante da equação. 
Observação: A equação     0dyy,xNdxy,xM  é dita homogênea se, somente se, 
 
  




x
y
f
y,xN
y,xM
dx
dy . 
Exemplo: Resolver   0344  dyxydxyx . Como 34y
y
M


 e 3y
x
N


 , a equação diferencial 
não é exata, mas é homogênea e  4 4 3( ) 0x y x xy y   , portanto o fator integrante será 
    54 4 4
1 1
,I x y
xx y x xy
 
 
. Com esse fator, a equação diferencial se transforma em: 
    
 
   
 
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5
4 4 3
5 5
( )
0
x y xy
dx dy
x x

   
4 3
5 4
1
0
y y
dx dy
x x x
 
   
 
 e 
4 3 3
5 4 5
1 4y y y
y x x x x x
    
          
 que é 
uma equação diferencial exata onde sua solução será: 
     
4 4
5 4
1 1
ln
4
y y
u dx k y x k y
x x x
 
      
 
 . 
Cálculo de  yk :  
3 3
14 4
( ) ( ) 0
u y y
k y k y k y C
y x x
          

 
E a primitiva é:      
4 4
4 4 4
1 14 4
1 1
ln ln 4 ln
4 4
y y
u x C x C y x x Cx
x x
         . 
 
4° Caso: Se a equação ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy  pode ser colocado na forma 
   , , 0,yf x y dx xg x y dy     , ,onde f x y g x y . Então: 
      
1 1
,
, ,
I x y
xM yNxy f x y g x y
 

 é fator integrante da equação diferencial. 
Exemplo: Resolver     0222 2222  dyyxxdxyxy .A equação é da forma 
    0,,  dyyxxgdxyxyf 
  2222 22 yxyx
y
M



 e  2 2 2 22 2 4N x y x y
x

  

, 
a equação diferencial não é exata e o fator integrante será: 
      3 32 2 2 2
1 1
,
32 2 2
I x y
x yxy x y yx x y
 
  
. 
Com esse fator, a equação se transforma em 
   
0
3
22
3
2
33
22
33
22




dy
yx
yxx
dx
yx
yxy
  
   2 2 2 2
3 2 2 3
2 2 2
0
3 3
x y x y
dx dy
x y x y
 
   
    
 
   
 
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6
 
 
3 2 2 3
1 2 2 2
0
3 3 3 3
dx dy
x x y x y y
   
      
   
  
3 2 2 3 3 3
1 2 2 2 4
3 3 3 3 3y x x y x x y y x y
    
          
 , 
que é uma equação diferencial exata. 
Seja      3 2 3 2
1 2 1 2
,
3 3 3 3
u x y dx k y dx dx k y
x x y x x y
 
      
 
   
     yk
yx
xyk
x
dx
yx
dx
u   2232 3
1
ln
3
1
3
2
3
1
. 
Cálculo de  yk : 
    12 3 2 3
2 2 2 2 2
( ) ( ) ln
3 3 3 3 3
u
k y k y k y y C
y x y x y y y
                
 
a primitiva é     12 2
1 1 2
ln ln
3 3 3
u x y C
x y
    ou     12 2
1 1 2
ln ln 0
3 3 3
x y C
x y
    
     2 2
1 1 2 1
ln ln ln 0
3 3 3 3
x y C
x y
   
2 2
1
2 x yy Cxe
 
  
   
EXERCÍCIOS 3: SEÇÃO 3 
Determinar os fatores integrantes I e resolver as equações, pelo método das exatas: 
a) 023 2  y
dx
dy
xy Resposta: 3
2
( , )
C
I x y xy y
x
   
b)    sen cos 0dyy y
dx
  Resposta:  ( ) cosx xI x e e y C   
c) 02  y
dx
dy
x Resposta:
2
( )
C
I x x y
x
   
d)   023 22  xydydxyx para  xfy  . Resposta: C
x
y
x 
2
3