PROVA 1 2012 Geometria

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Primeira Prova de Geometria
Jose´ Yunier Bello Cruz
yunier@impa.br
Observac¸o˜es:
• Esta prova tem 3 problemas com valor indicado em cada problema.
• A durac¸a˜o da prova sera´ de aproximadamente 3 (treˆs) horas, sem consulta ou colaborac¸a˜o.
• A clareza das ide´ias e argumentac¸a˜o lo´gica, precisas e organizada na soluc¸a˜o das questo˜es sera˜o fortemente
consideradas na correc¸a˜o da prova.
• Os resultados que voceˆ usar na soluc¸a˜o das questo˜es e que na˜o foram provados em sala durante o curso sera˜o
necessa´rios prova-los.
• Por favor, use a frente e o verso de cada pa´gina.
Por favor, na˜o escreva neste espac¸o.
#1:[25 ptos] #2:[35 ptos] #3:[40 ptos]
TOTAL:
1. [25 ptos] Sejam A1, A2, . . . , An ve´rtices de um pol´ıgono convexo de n lados no plano. Fixando um ponto P ,
considere o ponto G satisfazendo a identidade:
−−→
PG =
1
n
(−−→
PA1 +
−−→
PA2 + . . .+
−−→
PAn
)
.
Mostre que: −−→
GA1 +
−−→
GA2 + . . .+
−−−−→
GAn−1 +
−−→
GAn =
−→
0 .
2. [35 ptos] Considere a qua´drica
7x2 + 6
√
3xy + 13y2 − 16y + 16
√
3x = 0. (1)
a) Ache um novo sistema de coordenada OX e OY onde a qua´drica (1) aparec¸a em forma canoˆnica.
b) Identifique (1) e fac¸a um desenho.
c) Ache nas novas coordenadas, OX e OY , os elementos principais da qua´drica (1).
d) Ache nas coordenadas antigas os elementos principais da qua´drica (1).
e) Qual e´ angulo θ formado entre os exes OX e OX?
3.[40 ptos] Sejam as qua´dricas C1 : 9x2 − 4y2 + 18x+ 8y − 31 = 0 e C2 : 4x2 + 9y2 − 16x− 54y + 61 = 0.
a) Escreva ambas em forma canoˆnica.
b) Ache os elementos principais de C1.
c) Ache a reta tangente a C2 no ponto (2, 1).
d) Ache e identifique a imagem T (C2) da curva C2 onde T e´ a composic¸a˜o da translac¸a˜o pelo vetor −→v =
(−2,−3) com a rotac¸a˜o de 30o e uma homotetia de raza˜o 3 e 2 em x e y, respectivamente. Desenhe a
transformac¸a˜o.
e) Determine a reflexa˜o de T (C2), obtida no item d), com respeito a` reta x+ 2y − 6 = 0.
f) Encontre duas equac¸o˜es parame´tricas para C1.
Os resultados sera˜o divulgados na minha pagina: https://sites.google.com/site/joseyunierbellocruz/courses