problematica 3 circuitos 1

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PROBLEMÁTICA 
 
1) Calcular, usando o método dos nós, va e vb no circuito da figura P3-1. 
 
 
Fig. P3-1 
 
Solução: Nos terminais positivos das fontes temos os nós c e d com tensões vc = 3 V e vd = 6 V, 
respectivamente. 
 Portanto, as equações dos nós a e b são: 
 
 Nó a: va/2R + (va – 3)/2R + (va – vb)/R = 0 
 Nó b: vb/2R + (vb – 6)/2R + (vb – va)/R = 0 
 
Arrumando esse sistema nas incógnitas va e vb, encontramos: va = 2,0 V e vb = 2,5 V 
 
2) Equacionar na forma matricial, pelo método das malhas, o circuito da figura P3-2, admitindo o sentido 
horário para as correntes nas malhas. 
 
 
Fig. P3-2 
 
Solução: Tomando como referência o circuito abaixo temos: 
 
 
 
 Malha 1: –12 + R1i1 + R3(i1 – i2) = 0 
 Supermalha23: R3(i2 – i1) + R2i2 – 6 + R4i3 = 0 
 Fonte de corrente: i3 – i2 = 10 
 
Arrumando na forma de um sistema temos: 
 
 (R1 + R3)i1 – R3i2 = 12 
 –R3i1 + (R2 + R3)i2 + R4i3 = 6 
 –i2 + i3 = 10 
 
OU, na forma matricial 
 
 
1 3 3 1
3 2 3 4 2
3
0 12
6
0 1 1 10
R R R i
R R R R i
i
      
      
     
           
 
3) Encontrar as tensões v1, v2 e v3, no circuito da figura P3-3. 
 
 
Fig. P3-3 
 
Solução: O circuito pode ser arrumado conforme a figura abaixo 
 
 
 
Nó 1: v1 = 3 V, i = (v1 – (–3))/6 = 1 A 
 
Supondo que as correntes estão saindo para cada nó, exceto aquelas cujo sentido já foi estabelecido, 
temos: 
 
 Nó 2: (v2 – v1)/1 + (v2 – 4)/2 + (v2 – v3)/2 – 2i = 0 
 
 Nó 3: (v3 – v2)/2 + (v3 – (–2)/2 + 2i = 0 
 
Substituindo os valores conhecidos e resolvendo o sistema formado, encontramos: 
 
 v1 = 3 V; v2 = 3,14 V; v3 = –1,43 V 
 
4) Encontre a corrente elétrica, i, no resistor de carga, RL = 10 , no circuito da figura P3-4, pelo 
método que você achar melhor. 
 
Fig. P3-4 
 
Solução: Arrumando o circuito conforme mostra a figura abaixo, onde podemos visualizar 3 malhas: M1, 
M2 e M3, então temos: 
 
 
 
Malha 1: i1 = 24 A, no sentido indicado na figura. 
Malha 2: I2 = 0,05Vx, no sentido indicado na figura. 
Malha 3: No sentido de i escrevemos: RLi – Vx + 12(i + 0,05Vx) = 0, mas Vx = 10(24 – i). Arrumando 
estas duas equações em forma de sistema temos: 
 
 22i – 0,4Vx = 0 
 10i + Vx = 240 
 
Donde tiramos i = 3,69 A 
 
5) Encontre a corrente i no circuito mostrado na figura P3-5. 
 
 
Fig. P3-5 
 
Solução: Usando o sentido horário para as correntes de malha, sendo i1 para a malha inferior esquerda 
e i2 para a malha inferior direita e i3 = i para a malha superior, escrevemos: 
 
 Malha 1: 2i1 + 2(i1 – i3) + 10 = 0 
 Malha 2: 6i2 + 4(i2 – i3) – 10 = 0 
 Malha 3: 2(i3 – i1) + 4(i3 – i2) = 0 
 
Arrumando esse sistema e resolvendo para i3 encontramos: i3 = i = –294 mA 
 
6) Encontre a tensão vab no circuito mostrado na figura P3-6. 
 
 
Fig. P3-6 
 
Solução: Escrevendo a equação da malha esquerda temos: 
 
 2ix + 4(ix – 5) – 50 = 0, donde encontramos ix = 35/3 = 11,67 A 
 
 Escrevendo a equação da malha mais externa temos: 
 
 2ix + 10ix + vab – 50 = 0, donde tiramos 
 
 vab = 50 – 12ix = 50 – 12(11,67) = –90 V 
 
7) Encontre a tensão vab no circuito mostrado na figura P3-7. 
 
 
Fig. P3-7 
 
Solução: Utilizando como referência o circuito abaixo, escrevemos: 
 
 
 
 Nó a: ix + 9ix – va/10 = 0 ou va = 100ix, mas 10 – va = 100ix ou ix = (10 – va)/100, que substituído 
na 1ª equação dá va = 5 V ou vab = 5 V 
 
8) O circuito da figura P3-8 é uma versão em corrente contínua de um sistema de três fios para 
distribuição de energia elétrica. Os resistores Ra, Rb e Rc representam as resistências dos três condutores 
que ligam as três cargas R1, R2 e R3 à fonte de alimentação de 125 / 250 V. Os resistores R1 e R2 
representam cargas ligadas aos circuitos de 125 V e R3 representa uma carga ligada ao circuito de 250 V. 
(a) Determine v1, v2 e v3. (b) O ramo Rb representa o condutor neutro do circuito de distribuição. Qual 
seria a conseqüência desagradável de uma ruptura do condutor neutro? 
 
 
Fig P3-8 
 
Solução: Adotando o sentido horário para as correntes de malha, escrevemos: 
 
 Malha superior esquerda: 0,2i1 + 9,4(i1 – i3) + 0,4(i1 – i2) – 125 = 0 
 Malha inferior esquerda: 0,2i2 + 0,4(i2 – i1) + 19,4(i2 – i3) – 125 = 0 
 Malha direita: 21,2i3 + 19,4(i3 – i2) + 9,4(i3 – i1) = 0 
 
Arrumando o sistema temos: 
 
 10i1 – 0,4i2 – 9,4i3 = 125 
 –0,4i1 + 20i2 – 19,4i3 = 125 
 –9,4i1 – 19,4i2 + 50i3 = 0 
 
Donde tiramos: v1 = 117,80 V, v2 = 123,90 V e v3 = 241,70 V 
 
9) Para o circuito mostrado na figura P3-9, determine os valores lidos pelo amperímetro e voltímetro, 
considerados ideais, bem como a corrente na fonte de 12 V. 
 
 
Fig P3-9 
 
Solução: Utilizando a análise de nó baseada na figura abaixo, escrevemos 
 
 
 
va = 12 V e vo = vc 
Nó b: (vb – va)/2 + vb/2 + (vb – vc)/2 = 0 
Nó c: (vc – vb)/2 + vc/2 – 1 = 0 
 
Arrumando em forma de um sistema, escrevemos 
 
 2vb – 5vc = 0 
 –vb + 2vc = 2 
 
Donde tiramos: vb = –10 V e vc = –4 V 
Logo, a tensão no voltímetro é vo = vc = –4 V, a corrente no amperímetro é (vb – vc)/2 = (–10 – (–4))/2 = 
–3 A e a corrente na fonte de 12 V é 2vo = 2(–4) = –8 A. 
 
10) Usando o método das malhas encontre a tensão v2 para o circuito mostrado na figura P3-10. 
 
 
Fig. P3-10 
 
Solução: As correntes de malhas são mostrada na figura abaixo: 
 
 
Então escrevemos: 
 i3 = 1/9 = 0,111 A 
 Malha composta de 1 e 2: 30i1 + 20i2 + 10 = 0 
 Entre as malhas 1 e 2: i2 – i1 = 0,5 
 
Resolvendo o sistema encontramos: i2 = 0,1 A. Portanto, v2 = 20(0,1) = 2 V 
 
11) Determine a tensão vx no circuito da figura P3-11 usando análise de nó. 
 
 
Fig. P3-11. 
 
Solução: utilizando a configuração da figura abaixo, onde supomos as correntes sempre saindo do nó, 
exceto aquelas cujo sentido já foi estabelecido, escrevemos: 
 
 
 
 Nó a: 1(va – vb) + 2va + 3vx = 0, vx = va – vb 
 Nó b: 1(vb – va) + 2vb + 4(vb – vc) – 6 = 0 
 Nó c: vc = –30 
 
Resolvendo o sistema tiramos: va = –12, vb = –18. Logo vx = va – vb = –12 – (–18) = 6 V 
 
12) Um mostrador digital ("display") requer uma fonte de potência de 5 V. Infelizmente o projeto está 
acima do orçamento e você é instruído para usar uma fonte existente de 15 V. Usando um divisor de 
tensão, como mostrado na figura P3-12, você é capaz de obter os 5 V. A especificação do "display" 
indica que ele é capaz de operar apropriadamente dentro de uma faixa de tensão de 4,8 a 5,4 V. Além 
disso, o mostrador irá consumir uma corrente I, de 300mA, quando está ativo e 100mA quando em 
modo de espera. (a) Selecione valores para R1 e R2 de tal modo que o mostrador seja alimentado entre 
4,8 V e 5,4 V sob todas as condições de corrente, I. (b) calcule a potência máxima dissipada por cada 
resistor e a corrente máxima consumida pela fonte de 15 V. (c) O uso do divisor de tensão é uma boa 
solução de engenharia? Por quê? Quais problemas poderão surgir? 
 
 
Fig. P3-12 
 
Solução: Escrevendo as equações para o nó de onde sai a corrente i, temos: 
 
 No modo de espera: 9,6/R1 – 5,4/R2 = 0,1 
 No modo ativo: 10,2/R1 – 4,8/R2 = 0,3 
 
Escrevendo o sistema em termos de condutância, temos: 
 
 9,6G1 – 5,4G2 = 0,1 
 10,2G1 – 4,8G2 = 0,3 
 
Donde tiramos: G1 = 0,12667 S e G2 = 0,20667 S 
Logo, R1 = 7,89 Ω e R2 = 4,84 Ω 
 
A potência máxima ocorre quando i = 300 mA, portanto: 
 
 P1 = v12/R1 = (10,2)2/7,89 = 13,19 W e P2 = v22/R2 = (4,8)2/4,84 = 4,76 W 
 
13) Use o método das tensões de nó para determinara potência dissipada no resistor de 5  do circuito 
mostrado na figura P3-13. 
 
 
Fig. P3-13 
 
Solução: Uma simplificação do circuito é mostrada abaixo: 
 
 
 
Escrevendo as equações dos nós temos: 
 
 Nó a: va = 500 V 
 Nó b: (vb – va)/4 + (vb – vc)/3 + (vb – vd)/2) = 0 
 Nó c: (vc – vb)/3 + vc/6 + (vc – ve)/2 = 0 
 Nó d: (vd – va)/11 + (vd – vb)/2 + (vd – ve)/4 = 0 
 Nó e: (ve – vc)/2 + ve/4 + (ve – vd)/4 = 0 
 
Resolvendo esse sistema para vd encontramos: vd = 280 V. Logo a tensão no resistor de 11Ω é vad = 220 
V, a corrente é 220/11 = 20 A, que é a mesma do resistor de 5Ω. Assim, a potência dissipada nesse 
resistor é: 
 
 P = Ri2 = 5(20)2 = 2000 W ou 2 KW. 
 
14) Use o método das correntes de malha para determinar a potência total fornecida pelas fontes ao 
circuito da figura P3-14. Mostre que a solução encontrada está correta, verificando que a potência 
dissipada no circuito é igual à potência fornecida. 
 
 
Fig. P3-14 
 
Solução: adotando o sentido horário para as três correntes de malha, escrevemos: 
 
 Malha1 inferior esquerda: 17i1 – 3i2 – 10i3 = 98 
 Malha2 inferior direita: –3i1 + 17i2 – 12i3 = –58 
 Malha3 superior: –10i1 – 12i2 + 28i3 = 0 
 
A solução desse sistema nos dá: i1 = 6,97 A, i2 = –0,61 A e i3 = 2,23 A 
 
Potência fornecida = P110V + P70V = 110(6,97) + 70(0,61) = 809,40 W 
 
Potência absorvida = P12V + P10 + P12 + P6 + P3 + P4 + P2 
 = 90,60 + 224,68 + 96,79 + 29,84 + 172,37 + 194,22 + 0,74 = 809,60 W 
 
15) Para o circuito mostrado na figura P3-15, use o método dos nós para mostrar que a tensão de saída vo 
é igual ao valor médio das tensões das fontes. 
 
 
Fig. P3-15 
 
Solução: adotando como referência o nó inferior e denominando de ao o nó superior onde vo = va, 
escrevemos: 
 
 (vo – V1)/R + (vo – V2)/R + ... + (vo – Vn)/R = 0 
 
Donde tiramos: vo = (V1 + V2 + ... + Vn)/n 
 
16) As tensões mostradas no circuito da figura P3-16 foram obtidas com um voltímetro ideal, todas 
medidas em relação a certo referencial. Determine as resistências R1 e R3. 
 
 
Fig. P3-16 
 
Solução: adotando o sentido de referência pra a corrente nos resistores da esquerda para a direita, 
temos: 
 
 vR2 = 4 – (–4) = 8 V. Logo iR2 = 8/8 = 1 A. Como a corrente é a mesma para os demais 
resistores, temos: 
 
 vR1 = 12 – 4 = 8V, então R1 = 8/1 = 8 Ω 
 vR3 = –4 – (–8) = 4 V, então R3 = 4/1 = 4 Ω 
 
17) No circuito integrado da figura P3-17, determine as tensões V0, V4, V7, V10, V20, V30, V67, V56 
medidas em relação ao nó de referência, bem como a corrente I. 
 
 
Fig. P3-17 
 
Solução: V0 = 0, V4 – V5 = 2(6) = 12 V, V4 = 12 – V5 = 12 – (–2) = 14 V 
 
 V7 = 4 V, V10 = 20 V, V20 = –2 V, V30 = –8 V, V67 = 0 V, V56 = –2 – 4 = –6 V 
 
18) No circuito integrado da figura P3-18, calcule as tensões V0, V03, V2, V23, V12 e I1. 
 
 
Fig. P3-18 
 
Solução: V0 = 0 V, V03 = 0 V, V2 = 2(3) + 2(1) = 8 V, V12 = 20 – 8 = 12 V, I1 = 5 mA. 
 
19) No circuito da figura P3-19, determine as tensões Va, Vb, Vc, Vd, Vab, Vcb, Vcd e Vad. 
 
 
Fig. P3-19 
 
Solução: A corrente na malha no sentido horário é I = (20 – 44)/(2 + 4 + 6) = –24/12 = 2 mA. 
 
 Va = 44 V, Vb = 44 – 2(2) = 40 V, Vc = 44 – (2 + 4)2 = 32 V, Vd = 44 – (2 + 4 + 6)2 = 20 V 
 
 Vab = 44 – 40 = 4 V, Vcb = 32 – 40 = –8 V, Vcd = 32 – 20 = 12 V, Vad = 44 – 20 = 24 V 
 
20) Encontre a corrente de curto circuito isc mostrada no circuito da figura P3-20. 
 
 
Fig P3-20. 
 
Solução: a dotando o nó inferior como referência, escrevemos para o nó superior a: 
 
 isc + 2i = i, então i = –isc 
 
 Mas i = 12/5 = 2,4 mA, Logo, isc = –2,4 mA