P2 2 2009 mecatronica

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Pucminas – Engenharia Mecatrônica A 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 30 Pontos – 02/10/2009 – Prof. Fabiano 
 
Nome: _________________________________________________________________ 
 
 
1) A matriz da transformação linear rotação de um vetor �� � �� em torno do vetor unitário ���	
 � �� é dada por: 
 
� ��
1 � 	���� � 	��� ��
1 � 	���� � 	���� �	
1 � 	���� � �������
1 � 	���� � 	���� ��
1 � 	���� � 	��� �	
1 � 	���� � ������	
1 � 	���� � ����� �	
1 � 	���� � ����� 	�
1 � 	���� � 	��� � 
 
Considere as seguintes transformações lineares: 
 
��: �� � �� , rotação de �� radianos em torno do vetor �340!; 
 
��: �� � �� , rotação de " radianos em torno do vetor �100!; 
 
a) Determine a matriz da transformação linear �� (4 pontos) 
b) Determine a matriz da transformação linear �� (4 pontos) 
c) Mostre (por meio de cálculos) que a transformação ��é inversível (1 ponto) 
d) Mostre (por meio de cálculos) que a transformação ��é inversível (1 ponto) 
e) Determine a matriz da transformação composta �� # �� (4 pontos) 
f) Mostre que a transformação composta do item anterior é inversível? (1 pontos) 
 
 
2) Considere a transformação linear �: �� % �� tal que: 
 
� �100! & �
2�11 ! � �
010! & �
123! � �
001! & �
120! 
 
Determine � � 25�4! (7 pontos). 
 
3) Seja �: �� % �� tal que � �)*+
 & ,
) � 3* � +2) � 2* � +4) � 4* � 3+) � 5* -. Determine todos os vetores �
)*+
 � �� 
tais que � �)*+
 & .
0000/ (8 pontos) 
Pucminas – Engenharia Mecatrônica B 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 30 Pontos – 02/10/2009 – Prof. Fabiano 
 
Nome: _________________________________________________________________ 
 
 
1) A matriz da transformação linear rotação de um vetor �� � �� em torno do vetor unitário ���	
 � �� é dada por: 
 
� ��
1 � 	���� � 	��� ��
1 � 	���� � 	���� �	
1 � 	���� � �������
1 � 	���� � 	���� ��
1 � 	���� � 	��� �	
1 � 	���� � ������	
1 � 	���� � ����� �	
1 � 	���� � ����� 	�
1 � 	���� � 	��� � 
 
Considere as seguintes transformações lineares: 
 
��: �� � �� , rotação de " radianos em torno do vetor �001!; 
 
��: �� � �� , rotação de �� radianos em torno do vetor �304!; 
 
a) Determine a matriz da transformação linear �� (4 pontos) 
b) Determine a matriz da transformação linear �� (4 pontos) 
c) Mostre (por meio de cálculos) que a transformação ��é inversível (1 ponto) 
d) Mostre (por meio de cálculos) que a transformação ��é inversível (1 ponto) 
e) Determine a matriz da transformação composta �� # �� (4 pontos) 
f) Mostre que a transformação composta do item anterior é inversível? (1 pontos) 
 
 
2) Considere a transformação linear �: �� % �� tal que: 
 
� �100! & �
�210 ! � �
010! & �
131! � �
001! & �
022! 
 
Determine � � 3�42 ! (7 pontos). 
 
3) Seja �: �� % �� tal que � �)*+
 & ,
2) � 3* � 4+) � 2* � +4) � * � 6+) � 5* � 3+ -. Determine todos os vetores �
)*+
 � �� tais 
que � �)*+
 & .
0000/ (8 pontos)