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Pucminas – Engenharia Mecatrônica A Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 30 Pontos – 02/10/2009 – Prof. Fabiano Nome: _________________________________________________________________ 1) A matriz da transformação linear rotação de um vetor �� � �� em torno do vetor unitário ��� � �� é dada por: � �� 1 � ���� � ��� �� 1 � ���� � ���� � 1 � ���� � ������� 1 � ���� � ���� �� 1 � ���� � ��� � 1 � ���� � ������ 1 � ���� � ����� � 1 � ���� � ����� � 1 � ���� � ��� � Considere as seguintes transformações lineares: ��: �� � �� , rotação de �� radianos em torno do vetor �340!; ��: �� � �� , rotação de " radianos em torno do vetor �100!; a) Determine a matriz da transformação linear �� (4 pontos) b) Determine a matriz da transformação linear �� (4 pontos) c) Mostre (por meio de cálculos) que a transformação ��é inversível (1 ponto) d) Mostre (por meio de cálculos) que a transformação ��é inversível (1 ponto) e) Determine a matriz da transformação composta �� # �� (4 pontos) f) Mostre que a transformação composta do item anterior é inversível? (1 pontos) 2) Considere a transformação linear �: �� % �� tal que: � �100! & � 2�11 ! � � 010! & � 123! � � 001! & � 120! Determine � � 25�4! (7 pontos). 3) Seja �: �� % �� tal que � �)*+ & , ) � 3* � +2) � 2* � +4) � 4* � 3+) � 5* -. Determine todos os vetores � )*+ � �� tais que � �)*+ & . 0000/ (8 pontos) Pucminas – Engenharia Mecatrônica B Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 30 Pontos – 02/10/2009 – Prof. Fabiano Nome: _________________________________________________________________ 1) A matriz da transformação linear rotação de um vetor �� � �� em torno do vetor unitário ��� � �� é dada por: � �� 1 � ���� � ��� �� 1 � ���� � ���� � 1 � ���� � ������� 1 � ���� � ���� �� 1 � ���� � ��� � 1 � ���� � ������ 1 � ���� � ����� � 1 � ���� � ����� � 1 � ���� � ��� � Considere as seguintes transformações lineares: ��: �� � �� , rotação de " radianos em torno do vetor �001!; ��: �� � �� , rotação de �� radianos em torno do vetor �304!; a) Determine a matriz da transformação linear �� (4 pontos) b) Determine a matriz da transformação linear �� (4 pontos) c) Mostre (por meio de cálculos) que a transformação ��é inversível (1 ponto) d) Mostre (por meio de cálculos) que a transformação ��é inversível (1 ponto) e) Determine a matriz da transformação composta �� # �� (4 pontos) f) Mostre que a transformação composta do item anterior é inversível? (1 pontos) 2) Considere a transformação linear �: �� % �� tal que: � �100! & � �210 ! � � 010! & � 131! � � 001! & � 022! Determine � � 3�42 ! (7 pontos). 3) Seja �: �� % �� tal que � �)*+ & , 2) � 3* � 4+) � 2* � +4) � * � 6+) � 5* � 3+ -. Determine todos os vetores � )*+ � �� tais que � �)*+ & . 0000/ (8 pontos)
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