Estatística Aplicada I AULA 03

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Estatística Aplicada I 
Capítulo II – Teoria da Probabilidade 
Universidade Federal do Pará 
Campus Universitário de Tucuruí 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof. Karen Bernardo 
Tucuruí - PA 
1 
II - Teoria da Probabilidade 
• Introdução 
• Aleatoriedade 
• Experimento aleatório 
• Espaços Amostral 
• Evento 
• Eventos Mutuamente Exclusivos 
• Probabilidade 
2 
II - Teoria da Probabilidade 
• Teoremas Fundamentais 
• Probabilidades Finitas dos Espaços Amostrais 
Finitos 
• Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Probabilidade Condicional 
• Teorema do Produto 
• Independência Estatística 
• Teorema de Bayes 
3 
II - Teoria da Probabilidade 
• Introdução 
• Aleatoriedade 
• Experimento aleatório 
• Espaços Amostral 
• Evento 
• Eventos Mutuamente Exclusivos 
• Probabilidade 
4 
Introdução 
A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o 
modelo matemático será o cálculo das 
probabilidades. 
 
Diante de um acontecimento aleatório é possível, 
às vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de 
probabilidade. 
5 
II - Teoria da Probabilidade 
• Introdução 
• Aleatoriedade 
• Experimento aleatório 
• Espaços Amostral 
• Evento 
• Eventos Mutuamente Exclusivos 
• Probabilidade 
6 
Aleatoriedade 
Pode ser explicada considerando-se as seguintes afirmações: 
 
a. Se x + 8 = 3x – 4, então x = 6; 
b. A próxima carta retirada de um baralho será um ás. 
 
• A afirmação a pode ser confirmada ou negada de forma 
conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é uma 
afirmação categórica (verdadeira ou falsa). 
 
• Na afirmativa b, entretanto, somente pode ser afirmado que o 
fato é possível, mas que é possível, também, a saída de 
qualquer uma das 52 cartas do baralho. 
7 
Aleatoriedade 
Unicamente a realização do experimento permitirá 
estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira; 
trata-se de um acontecimento aleatório. 
 
Em geral, os acontecimentos aleatórios se 
caracterizam por admitirem dois ou mais 
resultados possíveis, e não se tem elementos de 
juízo suficientes para predizer qual deles ocorrerá em 
um determinado experimento. 
8 
II - Teoria da Probabilidade 
• Introdução 
• Aleatoriedade 
• Experimento aleatório 
• Espaços Amostral 
• Evento 
• Eventos Mutuamente Exclusivos 
• Probabilidade 
9 
Experimento aleatório 
• Características: 
 
▫ Cada experimento poderá ser repetido 
indefinidamente sob as mesmas condições; 
 
▫ Não se conhece, a priori, um particular valor do 
experimento; entretanto, pode-se descrever todos 
os possíveis resultados (as possibilidades); 
10 
Experimento aleatório 
• Características: 
▫ Quando o experimento for repetido um grande 
número de vezes, surgirá uma regularidade na 
apresentação dos resultados, ou seja, ocorrerá uma 
estabilização da fração frequência relativa: 
 
 
onde: 
n é o número de repetições, e 
r é o número de sucessos de um particular resultado 
estabelecido antes da realização do experimento. 
11 
Experimento aleatório 
Exemplos: 
• Jogar um dado e observar o número 
mostrado na face superior. 
• Jogar uma moeda um certo número de vezes 
e observar o número de coroas obtidas. 
• Contar o número de peças defeituosas da 
produção diária da máquina “A”. 
12 
II - Teoria da Probabilidade 
• Introdução 
• Aleatoriedade 
• Experimento aleatório 
• Espaços Amostral 
• Evento 
• Eventos Mutuamente Exclusivos 
• Probabilidade 
13 
Espaços Amostral 
Definição: 
Para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral S como 
o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento 
(Fonseca e Martins, 1996). 
 
• Exemplos: 
 
a) E: jogar um dado e observar o número na face superior. 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
b) E: lançar duas moedas e observar o resultado. 
 S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa. 
14 
Espaços Amostral 
Exemplos: 
 c) E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte, acendê-la 
e registrar o tempo de funcionamento até fundir o filamento: 
 S = {t : t ≥ 0} 
 
 d) E: Registrar a temperatura continuamente durante um 
período de 24 horas em uma determinada localidade; as temperaturas 
mínima e máxima são registradas: 
 S = {(x, y) : x ≤ y}, onde x é a temperatura mínima e y a 
máxima. 
15 
Espaços Amostral 
Exemplos: 
 e) E: Admitir que a temperatura mínima 
nessa localidade não poderá ser menor que um 
certo valor (m) e a temperatura máxima não 
poderá ser superior a um certo valor (M). 
 S = {(x, y) : m ≤ x ≤ y ≤ M} 
16 
Espaços Amostral 
Exemplos: 
 e) E: Admitir que a temperatura mínima 
nessa localidade não poderá ser menor que um 
certo valor (m) e a temperatura máxima não 
poderá ser superior a um certo valor (M). 
 S = {(x, y) : m ≤ x ≤ y ≤ M} 
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II - Teoria da Probabilidade 
• Introdução 
• Aleatoriedade 
• Experimento aleatório 
• Espaços Amostral 
• Evento 
• Eventos Mutuamente Exclusivos 
• Probabilidade 
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Evento 
• Definição: 
 
▫ É um conjunto de resultados do experimento. 
▫ Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de 
S. 
 
Observação: Em particular, o espaço amostral, S, e 
conjunto vazio,Φ, são eventos. 
 
• S é dito o evento certo e Φ o evento impossível. 
19 
Evento 
Exemplo 1: 
 E: lançar o dado e observar o número da face
 superior. 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Eventos: 
• A: ocorrer número par: 
▫ A = {2, 4, 6} 
• B: ocorrer número impar: 
▫ B = {1, 3, 5} 
• C: ocorrer número múltiplo de 2 e 3: 
▫ C = {6}. 
20 
Evento 
Exemplo 2: 
 E: jogar três moedas e observar o resultado. 
 S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (k, k, k), 
(k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)} 
 
Eventos: 
• A: ocorrer pelo menos duas cara: 
▫ A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)} 
• B: ocorrer somente coroa: 
▫ B = {(k, k, k)}. 
21 
Evento 
• Observações: 
 - Sendo S um espaço amostral finito com n 
elementos, pode-se verificar que o número total 
de eventos extraídos de S é dado por 𝟐𝒏; 
 - No exemplo (1), o número total de eventos é 
𝟐𝟔 = 64. 
22 
Evento 
• Observações: 
 - A partir do uso das operações com conjuntos, 
novos eventos podem ser formados: 
 
a) 𝑨 ∪ 𝑩 o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre 
ou ambos ocorrem; 
b) 𝑨 ∩ 𝑩 é o evento que ocorre se A e B ocorrem 
simultaneamente; 
c) 𝑨 (A complementar) é o evento que ocorre se A 
não ocorrer. 
23 
Evento 
Exemplo: 
 E: lançar um dado e observar o resultado. 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
A = ocorrer número múltiplo de 2: 
 A = {2, 4, 6} 
B = ocorrer número múltiplo de 3: 
 B = {3, 6} 
Resolvam 
a) 𝑨 ∪ 𝑩 
b) 𝑨 ∩ 𝑩 
c) 𝑨 
d) 𝑨 ∩ 𝑩 
24 
Evento 
Exemplo: 
 E: lançar um dado e observar o resultado. 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
A = ocorrer número múltiplo de 2: 
 A = {2, 4, 6} 
B = ocorrer número múltiplo de 3: 
 B = {3, 6} 
Resolvam 
• 𝑨 ∪ 𝑩 = {2, 3, 4, 6} 
• 𝑨 ∩ 𝑩 = {6} 
• 𝑨 = {1, 3, 5} 
• 𝑨 ∩ 𝑩 = {1, 2, 3, 4, 5} 
25 
II - Teoria da Probabilidade 
• Introdução 
• Aleatoriedade 
• Experimento aleatório 
• Espaços Amostral 
• Evento 
• Eventos Mutuamente Exclusivos 
• Probabilidade 
26 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se 
os mesmos não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, 
A∩ B = 𝝓 
 
 Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado. 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 A = ocorre número par – A = {2, 4, 6} 
 B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5} 
• 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝝓 ; 
▫ logo, A e B são mutuamenteexclusivos, pois a ocorrência de um 
número que seja par e ímpar não pode ser verificada como 
decorrência do mesmo evento. 
27 
II - Teoria da Probabilidade 
• Introdução 
• Aleatoriedade 
• Experimento aleatório 
• Espaços Amostral 
• Evento 
• Eventos Mutuamente Exclusivos 
• Probabilidade 
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Probabilidade 
Definição: 
 Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu 
espaço amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, 
P(A), é uma função definida em S que associa a cada 
evento um número real, satisfazendo os seguintes 
axiomas: 
 (i) 0 ≤ P(A) ≤ 1; 
 (ii) P(S) = 1; 
 (iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos 
 A∩B = 𝝓 , então P(A∪ B) = P(A) + P(B) 
29 
II - Teoria da Probabilidade 
• Teoremas Fundamentais 
• Probabilidades Finitas dos Espaços Amostrais 
Finitos 
• Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Probabilidade Condicional 
• Teorema do Produto 
• Independência Estatística 
• Teorema de Bayes 
30 
Teoremas Fundamentais 
Conjuntos disjuntos. Em matemática, dois conjuntos são ditos 
disjuntos se não tiverem nenhum elemento em comum. 
T1: Se 𝝓 é o conjunto vazio, então P(𝝓)=0. 
 Demonstração: 
 - Seja A um evento qualquer, A e 𝝓 são disjuntos, 
pois 𝐀 ∩ 𝝓 = 𝝓; 
 - De (iii), temos que 𝐏 𝐀 ∪ 𝝓 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝝓) 
 - Como 𝐀 ∪ 𝝓 = 𝑨, então P(A) = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝝓) 
 - Logo 𝑷 𝝓 = 𝟎 
 
31 
Teoremas Fundamentais 
T2: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = 1 – 
P(A). 
 Demonstração: 
 - Do diagrama, pode-se escrever 𝐒 = 𝐀 ∪ 𝑨 . 
 - Como 𝐀 ∩ 𝑨 = 𝝓, (são mutuamente exclusivos) 
𝐏 𝐀 ∪ 𝑨 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑨 ) 
𝑷 𝑺 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑨 ) e 
1 = P(A) + P(Ā) de (i), temos que 
P(Ā) = 1 – P(A). 
 
32 
Teoremas Fundamentais 
• T3: Se 𝐴 ⊂ 𝐵, então P(A) ≤ P(B). 
 Demonstração: 
 - Do diagrama, pode-se escrever que 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) 
- Como 𝐀∩ 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝝓 (são mutuamente exclusivos) 
P( B ) = P(A) + P(𝑨 ∩B) 
P(𝑨 ∩B) = P(B)− P(A) e, 
P(B) – P(A) ≥ 0, (de i), tem-se que, 
P(A) ≤ P(B). 
 
33 
Teoremas Fundamentais 
• T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos 
quaisquer, então: 
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) 
 Demonstração: 
 a) Se A e B são mutuamente exclusivos (A∩ B = 𝝓), 
recai-se na preposição (iii); 
34 
Teoremas Fundamentais 
Demonstração: 
 
 b) Se A e B não são mutuamente exclusivos (A∩B≠𝝓), 
tem-se: 
 
 - Os eventos A e (𝑨 ∩B) são mutuamente exclusivos; logo, 
relaciona-se preposição (iii) 
P[A∪(𝑨 ∩B)] = P(A∪B) = P(A)+P(𝑨 ∩B) 
 - Mas , B é a união dos eventos mutuamente exclusivos 
(B∩A) e (B∩𝑨 ) 
- Logo, 
P(B) = P(A∩B)+P(𝑨 ∩B). 
35 
Teoremas Fundamentais 
• Demonstração: 
 - Substituindo o valor de P(𝑨 ∩B)=P(B)−P(A∩B) na 
expressão anterior, tem-se: 
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) 
 - Analogamente, para três eventos tem-se: 
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - 
P(A ∩ C) - P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C) 
36 
Teoremas Fundamentais 
• Exercício 
Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. Considere os 
eventos: 
A = {soma dos pontos igual a 6} e 
B = {pontos 1, 2 ou 3 no segundo dado}. 
Calcule: 
a) a probabilidade de ocorrer o evento A 
b) a probabilidade de ocorrer o evento B 
c) a probabilidade de ocorrer o evento união. 
d) a probabilidade da interseção entre A e o complemento de B 
e) a probabilidade da interseção entre os eventos A e B 
f) a probabilidade da união do complemento de A com o evento B 
37 
II - Teoria da Probabilidade 
• Teoremas Fundamentais 
• Probabilidades Finitas dos Espaços 
Amostrais Finitos 
• Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Probabilidade Condicional 
• Teorema do Produto 
• Independência Estatística 
• Teorema de Bayes 
38 
Probabilidades Finitas dos Espaços 
Amostrais Finitos 
• Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}. 
• Considere-se o evento formado por um resultado simples 
A = {ai}. 
A cada evento simples {ai} associa-se um número Pi 
denominado probabilidade de {ai}, que satisfaz as condições: 
 a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n 
 b) p1 + p2 + ...+ pn = 1 
• A probabilidade de cada evento composto (mais de um 
elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos 
pontos de A. 
39 
Probabilidades Finitas dos Espaços 
Amostrais Finitos 
• Exemplo: Três cavalos A, B e C, estão em uma 
corrida. Se A tem duas vezes mais 
probabilidades de ganhar de B, e B tem duas 
vezes mais probabilidade de ganhar de C, quais 
são as probabilidades de cada um dos cavalos 
ganhar? Qual seria a probabilidade de B ou C 
ganhar? 
 
40 
Probabilidades Finitas dos Espaços 
Amostrais Finitos 
• Exemplo: Três cavalos A, B e C, estão em uma corrida. Se A tem 
duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem duas vezes 
mais probabilidade de ganhar de C, quais são as probabilidades de 
cada um dos cavalos ganhar? Qual seria a probabilidade de B ou C 
ganhar? 
 
41 
Probabilidades Finitas dos Espaços 
Amostrais Finitos 
• Exemplo: Três cavalos A, B e C, estão em uma corrida. Se A tem duas 
vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem duas vezes mais 
probabilidade de ganhar de C, quais são as probabilidades de cada um 
dos cavalos ganhar? Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? 
 
Solução (continuação): 
 
 - Qual a probabilidade de B ou C ganhar? 
 Do axioma (iii): 
 
 P(B∪C) = P(B)+ P(C) = 2/7 + 1/7 = 3/7. 
42 
II - Teoria da Probabilidade 
• Teoremas Fundamentais 
• Probabilidades Finitas dos Espaços Amostrais 
Finitos 
• Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Probabilidade Condicional 
• Teorema do Produto 
• Independência Estatística 
• Teorema de Bayes 
43 
Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada 
ponto amostral desse espaço está associada a mesma 
probabilidade. 
 
• Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de 
cada ponto será igual a 1/n. 
 
• Se um evento A contém r pontos, então: 
 
 
 
44 
Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Frequentemente, este método de avaliar a 
probabilidade é enunciado da seguinte forma: 
 
45 
Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta 
de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade 
de sair um rei? e uma carta de copas? 
 
 
46 
Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta de 
baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um 
rei? e uma carta de copas? 
 
Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas} 
 
47 
Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de 
análise combinatória (Teoria de Contagem) para se obter 
o número de casos favoráveis e o número total de casos. 
 
Exemplo 2: De um lote de doze peças onde quatro são 
defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade: 
 a) de ambas serem defeituosas; 
 b) de ambas não serem defeituosas; 
 c) de pelo menos uma ser defeituosa. 
48 
Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
Soluções: 
 a) A = {ambas são defeituosas} 
49 
Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
Soluções: 
 b) B = {ambas não são defeituosas} 
50 
Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
Soluções: 
 c) C = {pelo menos uma é defeituosa} 
51 
II - Teoria da Probabilidade 
• Teoremas Fundamentais 
• Probabilidades Finitas dos Espaços Amostrais 
Finitos 
• Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Probabilidade Condicional 
• Teorema do Produto 
• Independência Estatística 
• Teorema de Bayes 
52 
Probabilidade Condicional• Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e 
observar o resultado, e o evento A = {sair o nº 3}. Então: 
P(A) = 1/6. 
 
• Considere agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {1, 
3,5}, então P(B) = ½. 
 
• A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à 
ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será 
P(A/B) = 1/3. 
53 
Probabilidade Condicional 
• Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o espaço 
amostral. No exemplo dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para 
S* = {1, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a probabilidade do 
novo evento é avaliada. 
 
• Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do evento A 
ocorrer quando o evento B tiver ocorrido, é denominada 
probabilidade condicionada, P(A/B), dada por: 
54 
Probabilidade Condicional 
• Para o exemplo apresentado, tem-se: 
 
 
• No caso de aplicações mais complexas, é mais 
prático se utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
55 
Probabilidade Condicional 
• Exemplo: No experimento do lançamento de 
dois dados, considere os eventos: 
A = {(x1,x2)|(x1+x2) = 10} e 
B = {(x1,x2)| x1>x2}, 
onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o resultado 
do dado 2. Avalie P(A), P(B) e P(B/A). 
56 
Probabilidade Condicional 
• Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados, considere 
os eventos: 
A = {(x1,x2)|(x1+x2) = 10} e 
B = {(x1,x2)| x1>x2}, 
onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o resultado do dado 2. Avalie 
P(A), P(B) e P(B/A). 
57 
Probabilidade Condicional 
• Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados, considere os 
eventos: 
A = {(x1,x2)|(x1+x2) = 10} e 
B = {(x1,x2)| x1>x2}, 
onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o resultado do dado 2. Avalie P(A), P(B) 
e P(B/A). 
58 
II - Teoria da Probabilidade 
• Teoremas Fundamentais 
• Probabilidades Finitas dos Espaços Amostrais 
Finitos 
• Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Probabilidade Condicional 
• Teorema do Produto 
• Independência Estatística 
• Teorema de Bayes 
59 
Teorema do Produto 
• O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da definição 
de probabilidade condicional, como: “A probabilidade da 
ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço 
amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles 
ocorrer pela probabilidade condicional do outro em relação ao 
primeiro”. 
 
• Assim: 
 
 
60 
Teorema do Produto 
• Exemplo: Em um lote de peças contendo doze 
unidades onde quatro são defeituosa, duas são 
retiradas, uma após a outra, sem reposição. Qual 
a probabilidade de que ambas não sejam 
defeituosas? 
61 
Teorema do Produto 
• Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades 
onde quatro são defeituosa, duas são retiradas, uma após 
a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que 
ambas não sejam defeituosas? 
 
• Solução: A = { a primeira peça retirada é boa} 
 B = {a segunda peça retirada é boa} 
62 
II - Teoria da Probabilidade 
• Teoremas Fundamentais 
• Probabilidades Finitas dos Espaços Amostrais 
Finitos 
• Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Probabilidade Condicional 
• Teorema do Produto 
• Independência Estatística 
• Teorema de Bayes 
63 
Independência Estatística 
• Definição: Um evento A é considerado independente de um 
outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a 
probabilidade de A condicionada a B, ou 
P( A) = P( A / B ) 
Se A é independente de B, então B é independente de A; logo: 
P( B ) = P( B / A) 
- Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são 
independentes, então: 
P( A∩ B ) = P( A).P( B ) 
64 
Independência Estatística 
• Dados n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles são 
independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3, ..., n a n, isto é: 
65 
Independência Estatística 
• Exemplo 1: Uma caixa contém doze peças, sendo quatro 
defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com 
reposição. Calcular a probabilidade de ambas não 
possuírem defeitos? 
66 
Independência Estatística 
• Exemplo 1: Uma caixa contém doze peças, sendo quatro 
defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com 
reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem 
defeitos? 
Solução: A = {a primeira peça não possui defeito} 
 B = {a segunda peça não possui defeito} 
• - Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por 
A, ou seja, A e B são independentes; logo: 
67 
Independência Estatística 
Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral 
equiprovável, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de 
S, verificar se estes eventos são independentes. 
68 
Independência Estatística 
Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral 
equiprovável, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de 
S, verificar se estes eventos são independentes. 
 
• Solução: S = {1, 2, 3, 4}; 
 A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4}; 
 
69 
Independência Estatística 
• Solução (continuação): 
70 
Independência Estatística 
• Solução (continuação): 
 
 
 
 
 
 
 
- Portanto, os eventos A, B e C não são independentes. 
71 
II - Teoria da Probabilidade 
• Teoremas Fundamentais 
• Probabilidades Finitas dos Espaços Amostrais 
Finitos 
• Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis 
• Probabilidade Condicional 
• Teorema do Produto 
• Independência Estatística 
• Teorema de Bayes 
72 
Teorema de Bayes 
• Sejam A1, A2, A3, ..., An, n eventos mutuamente exclusivos, 
tais que 
 
• Sejam (Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e 
B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as 
probabilidades condicionais P(B/Ai). Então, para cada i, 
tem-se: 
 
 
 
 
 que é o Teorema de Bayes. 
73 
Teorema de Bayes 
• Exemplo: Tem-se três urnas (u1, u2, u3), cada uma 
contendo bolas pretas, brancas e vermelhas, nas 
quantidades mostradas no quadro abaixo. De uma urna 
escolhida ao acaso retira-se uma bola também ao acaso, 
verificando-se que a mesma é branca. Qual a probabilidade 
da bola escolhida ter vindo da urna 2? e da urna 3? 
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Teorema de Bayes 
• Solução: 
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Teorema de Bayes 
• Solução (continuação): 
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