ED Área de figuras planas

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Áreas de Figuras Planas 
 O estudo da área de figuras planas está ligado aos conceitos relacionados à Geometria 
Euclidiana, que surgiu na Grécia antiga embasada no estudo do ponto, da reta e do plano. No 
mundo em que vivemos, existem inúmeras formas planas existentes, que são construídas a partir 
dos elementos básicos citados anteriormente. Desde a antiguidade, o homem necessitou determinar 
a medida da superfície de áreas, com o objetivo voltado para a plantação e a construção de 
moradias. Dessa forma, ele observou uma melhor organização na ocupação do terreno. 
Atualmente, o processo de expansão ocupacional utiliza os mesmos princípios criados nos séculos 
anteriores. A diferença é que hoje as medidas são padronizadas de acordo com o Sistema 
Internacional de Medidas. Dentre as medidas de área existentes temos: 
- km²: quilômetro quadrado 

- hm²: hectômetro quadrado 

- dam²: decâmetro quadrado 

- m²: metro quadrado 

- dm²: decímetro quadrado 

- cm²: centímetro quadrado 

- mm²: milímetro quadrado 
 Uma área com 1 km² equivale a uma região quadrada com lados medindo 1 km e para as 
outras medidas segue-se o mesmo raciocínio. De acordo com o Sistema de Medidas, a unidade 
padrão para a representação de áreas é o m² (metro quadrado). Utiliza–se o km² em situações 
relacionadas à medição de áreas de cidades, estados, países, continentes, etc. 
 Na Geometria, as formas mais conhecidas são: triângulo, quadrado, retângulo, 
paralelogramo, losango, trapézio e círculo. Todas essas formas possuem fórmulas matemáticas para 
o cálculo da medida de suas superfícies. Para o cálculo de área envolvendo as figuras mais 
complexas desenvolvemos cálculos matemáticos específicos entre outras técnicas. 
 Neste trabalho será abordado o cálculo da superfície das principais formas planas 
existentes, relacionando a figura com sua fórmula matemática. 
 Tabela – Fórmulas para o cálculo do Perímetro e Área das principais figuras planas 
 
 
 
 Exemplos, Problemas e Situações-problema no Cálculo do Perímetro e da Área 
das Principais Figuras Planas; 
 Com base na classificação de Dante (2000), os exemplos a seguir foram elaborados como 
sendo do tipo exercício, porque trabalham conceitos específicos e aplicação direta de fórmulas, que 
no caso são os conceitos e as fórmulas para o cálculo de perímetro e área das principais figuras 
planas e algoritmos básicos: 
 
Exemplo 1 – Perímetro e área do Quadrado Calcule o perímetro do quadrado ao lado: 
P =4 x 3 
P = 12 u 
 
Calcule a área do quadrado ao lado: A = l 
A = 3 
A = 9 u.a 
Exemplo 2 – Perímetro e área do Retângulo 
 
Calcule o perímetro do retângulo ao lado: P = 2 x 2 + 2x 4 
P =4 +8 
P = 12 u 
Calcule a área do retângulo ao lado: A = bh 
A =4 x 2 
A = 8 u.a 
Exemplo 3 – Perímetro e área do Trapézio Calcule o perímetro do trapézio ao lado: 
P =2 +6 +3 +5 
P =8 +8 
P = 16 u 
Calcule a área do trapézio ao lado: 
A = [(B + b)h] / 2 
A = [(6 + 2) x 3] / 2 
A = [8 x 3] / 2 
A = 24 / 2 
A = 12 u.a 
Exemplo 4 – Perímetro e área do Triângulo Calcule o perímetro do triângulo ao lado: 
P =4 +5 +3 
P =9 +3 
P = 12 u 
Calcule a área do triângulo ao lado: 
A = (bh) / 2 
A = (3 x 4) / 2 
A = 6 u.a 
 
Exemplo 5 – Perímetro e área do Losango 
Calcule o perímetro do losango ao lado: P = 4 x 2,24 
23 
 
P = 8,96 u 
Calcule a área do losango ao lado: A = (Dd) / 2 
A = (4 x 2) / 2 
A =8 / 2 
A = 4 u.a 
Exemplo 6 – Perímetro e área do Paralelogramo 
Calcule o perímetro do paralelogramo ao lado: P = 4 + 4 + 2,24 + 2,24 
P = 8 + 4, 48 
P = 12,48 u 
Calcule a área do paralelogramo ao lado: A = bh 
A =4 x 2 
A = 8 u.a 
 
Exemplo 7 – Perímetro e área do Círculo 
Calcule o perímetro do círculo ao lado: C=2 r 
C=2 x4 
C=8 u 
Calcule a área do circulo ao lado: A = r 
A = x 4 
A = 16 u.a 
24 
 
 INTRODUÇÃO 
________________________________________________________________________________ 
 
 Em nossa vida cotidiana podemos encontrar vários exemplos da aplicabilidade desses 
conceitos. Por exemplo, para saber quantos metros quadrados de ladrilhos serão usados para revestir 
uma determinada área, para determinar quantos metros de arame serão necessários para cercar um 
terreno ou para a construção de uma caixa-d’água para que ela tenha uma determinada capacidade. 
 O estudo sobre área e perímetro de figuras planas é importante também porque eles são 
conceitos fundamentais para outros conteúdos da Geometria, principalmente a área, para a 
determinação do volume de sólidos geométricos, como por exemplo: o volume do cubo, do 
paralelepípedo, do cilindro, entre outros. Além disso, como são conceitos geométricos, segundo 
PAVANELLO (1993), mantém relações com a Aritmética, a Álgebra e a Trigonometria, trazendo 
grandes contribuições para a construção do conhecimento matemático. Isto é verdade, pois há 
inúmeras situações- problema envolvendo o conceito de área e perímetro de figuras planas que 
podem ser resolvidas relacionando-os à conceitos aritméticos, algébricos, ou trigonométricos. 
 INTRODUÇÃO 
________________________________________________________________________________ 
 
 Em nossa vida cotidiana podemos encontrar vários exemplos da aplicabilidade desses 
conceitos. Por exemplo, para saber quantos metros quadrados de ladrilhos serão usados para revestir 
uma determinada área, para determinar quantos metros de arame serão necessários para cercar um 
terreno ou para a construção de uma caixa-d’água para que ela tenha uma determinada capacidade. 
 O estudo sobre área e perímetro de figuras planas é importante também porque eles são 
conceitos fundamentais para outros conteúdos da Geometria, principalmente a área, para a 
determinação do volume de sólidos geométricos, como por exemplo: o volume do cubo, do 
paralelepípedo, do cilindro, entre outros. Além disso, como são conceitos geométricos, segundo 
PAVANELLO (1993), mantém relações com a Aritmética, a Álgebra e a Trigonometria, trazendo 
grandes contribuições para a construção do conhecimento matemático. Isto é verdade, pois há 
inúmeras situações- problema envolvendo o conceito de área e perímetro de figuras planas que 
podem ser resolvidas relacionando-os à conceitos aritméticos, algébricos, ou trigonométricos. 
 Volume de Corpos 
 O problema de determinar o volume de um corpo remonta a antiguidade. Surgiu em 
relação à necessidade prática do homem, como calcular o volume de grãos armazenados. 
A ideia que temos de volume é do espaço ocupado por um objeto. 
 
 Exemplo: Como fazemos para calcular o volume de uma pessoa que pesa 120 kg? 
 A resposta é colocar esta pessoa dentro de um recipiente que tenha uma escala com a 
marcação dos volumes. Quando colocado dentro deste recipiente totalmente submerso, a pessoa 
deslocar um volume que será marcado pela escala. O volume que foi deslocado será o mesmo 
volume da pessoa. Porém, se formos calcular o volume de um objeto muito grande ou muito 
pequeno, esse método não pode ser considerado. Para calcular o volume de um objeto temos que 
usar uma unidade comum, como por exemplo o m3, cm3, litro, mililitro etc. Vejamos agora como 
calcular o volume de alguns sólidos mais simples, como um cubo e um paralelepípedo retângulo. 
 Imaginemos dois recipientes, um na forma de um cubo e outro em uma forma arbitrária, 
como podemos ver na Figura. 
 Figura: Um cubo e um recipiente qualquer. 
 Suponhamos que ambas estejam cheias do mesmo tipo de líquido, contendo no primeiro m 
litros deste líquido e n litros no segundo. Para saber quanto o segundo é maior que o primeiro, basta 
tomar a parte 1/m do primeiro, multiplicar por n, ou seja, o segundo recipiente é n/m vezes maior 
que o primeiro. Chamamos de volume do segundo recipiente o número que indica quantas vezes o 
segundo é maior que o primeiro. Neste caso, o primeiro recipiente é a unidade de medida,que 
vamos chamar de cubo unitário, pois o seu volume é igual a 1. Desta definição de volume se obtém 
as seguintes propriedades. 
 • Primeiro: uma vez que para encher todo o recipiente se necessita de uma quantidade 
determinada de líquido, resulta que todo recipiente tenha um volume (positivo) determinado; 
 • Segundo: para encher recipientes iguais necessita-se da mesma quantidade de líquido e, 
por isso, os recipientes iguais têm volumes iguais; 
 • Terceiro: se dividirmos o recipiente em duas partes, a quantidade de líquido necessária 
para encher todo o recipiente constará das quantidades de líquido necessárias para encher suas 
partes. Por isso, o volume de todo o recipiente é igual à soma dos volumes de suas partes. 
 De acordo com esta de definição, para saber o volume de um recipiente é preciso enchê-lo 
de líquido. Porém, na prática, o que devemos saber é quanto de líquido cabe num recipiente sem 
enchê-lo. Logo, temos que conhecer o recipiente e conhecer as fórmulas que nos permita calcular 
seu volume. 
A seguir vamos mostrar como calcular o volume de um prisma, mas para isso, vamos mostrar como 
calcular o volume de um paralelepípedo retangular e de um paralelepípedo oblíquo. 
 Volume de um Paralelepípedo retângulo 
 Determinemos primeiro o volume do bloco retangular ou paralelepípedo retângulo. Um 
paralelepípedo retângulo é um sólido limitado por 6 retângulos. Esses retângulos são as faces do 
paralelepípedo, e os lados do retângulos são chamados de arestas do paralelepípedo. A Figura 2.22 
representa um cubo com aresta igual a 1 e um paralelepípedo retangular cujo volume deve ser 
medido. 
 Se tomarmos um paralelepípedo retângulo cujas medidas das arestas são 3, 2 e 2, então o 
volume do paralelepípedo retângulo é igual a 3 · 2 · 2 = 12 cubos unitários, como mostra a Figura 
2.22. 
 Figura: Cubo unitário e retângulo de lados inteiros. 
 Agora, se as arestas tiverem medidas não inteiras, ou seja, suas medidas forem números 
fracionários ou irracionais? Neste caso, vejamos a proposição seguinte. 
 
Proposição 2.6.1 O volume de um paralelepípedo retângulo de lados a, b e c é igual a V=a·b·c. 
 Prova: Dados um cubo unitário e um paralelepípedo retângulo de lados a, b e c. Dividamos 
as arestas do cubo em N partes iguais e tracemos pelos pontos de divisão planos perpendiculares a 
estas arestas. O cubo será dividido em N3 cubos pequenos. O volume do cubo grande é igual à 
soma dos volumes dos cubos pequenos, sendo assim, como volume do cubo grande é igual a 1 e 
temos um total de N3 cubos pequenos, então o volume do cubo pequeno é igual a 1/N3. 
 Na Figura 2.23, as arestas do cubo foram divididas em quatro partes cada uma. Logo, o 
número de cubos pequenos é de 16 · 4 = 43 e, por conseguinte, o volume do cubo pequeno é 1/64. 
 
 
 Figura: Um cubo e um paralelepípedo retângulo. 
 Seja q a aresta do cubo pequeno, então, q = 1/N e, por isso, o volume do cubo pequeno é 
q3 = 1/N3. 
 Indiquemos por l o número inteiro da divisão de a por q, por m o número inteiro da divisão 
de b por q e por n o número inteiro que resulta da divisão de c por q. Então, o número de cubos que 
contém o paralelepípedo é lmn, enquanto que o número de cubos contidos no retângulo não será 
maior que (l+1)(m+1)(n+1). Daí, resulta que o volume V do paralelepípedo retângulo está entre os 
números lmnq3 e (l + 1)(m + 1)(n + 1)q3, ou seja, 
lmnq3 ≤ V <(l+1) (m+1) (n+1) q3. 
 
 Demonstraremos agora que o produto a · b · c está compreendido entre estes 
números. Como temos 
l · q ≤ a < (l + 1)q, m · q ≤ b < (m + 1)q 
m · q ≤ b < (m + 1)q 
e 
n · q ≤ c < (m + 1)q(n + 1)q. 
Daí temos 
lmnq3 ≤a·b·c<(l+1)(m+1)(n+1)q3, 
ou seja, 
lmnq3 ≤ abc < lmnq3 +lmq3 +lnq3 +mnq3 +mq3 +nq3. 
 Sabendo que ambos os números, V e a · b · c que estão compreendidos entre os números (l 
+ 1)(m + 1)(n + 1)q3 e lmnq3, diferem no máximo (l + 1)(m + 1)(n + 1)q3 −lmnq3, ou seja, diferem 
no máximo lmq3 +lnq3 +mnq3 +mq3 +nq3. Tomando o número N su cientemente grande e usando 
que lq ≤ a, mq ≤ b e nq ≤ c e que q = 1/N, temos 
 Isso resulta que a diferença entre V e abc é tão pequena quanto se queira. Assim, isso 
ocorre se, e somente se, eles forem iguais. Portanto, V = abc. 
 Volume de um Paralelepípedo Oblíquo 
 O volume de um Paralelepípedo oblíquo é igual ao produto da área da base pela altura. 
 Prova: Dado um paralelepípedo oblíquo ABCDA1B1C1D1 de base ABCD como ilustrado 
na Figura a seguir. 
 Figura: Paralelogramo oblíquo. 
 Considere, sem perda de generalidade, a aresta AA1 e suas paralelas como sendo menores 
ou iguais às outras arestas. 
 Agora, tracemos um plano que passa pela aresta BC e que é perpendicular 
à base ABCD. Um dos sólido formado é um paralelepípedo de base triangular BB1B2CC1C2, em 
que B2 e C2 são pontos internos das arestas A1B1 e C1D1 respectivamente. Considere os pontos 
A2 e D2 que pertencem respectivamente a A1B1 e a C1D1 e ao plano perpendicular a ABCD, que 
passa pela aresta AD, como podemos ver na Figura abaixo. Sendo assim, podemos recortar o 
paralelepípedo BB1B2CC1C2. 
 Figura: Paralelepípedo oblíquo ABCDA1B1C1D1. 
 Separemos agora o prisma BB1B2CC1C2 obteremos um novo paralelepípedo 
ABCDA2B2C2D2, o qual possui volume igual ao volume do paralelepípedo inicial. Ao realizar 
com o paralelepípedo as transformações assinaladas, a área da base e a altura se conservam. 
Também se conservam os planos de duas faces laterais, enquanto outros dois são perpendiculares à 
base. Aplicando mais uma vez essa transformação, obteremos um paralelepípedo de faces laterais 
perpendiculares à base, bastando, para isso, traçar pelos segmentos AB e CD planos 
perpendiculares ao plano ABCD e, usando o mesmo raciocínio anterior, obteremos um 
paralelepípedo ABCDA3B3C3D3, como podemos ver na figura seguinte. 
 Figura: Paralelepípedo oblíquo ABCDA2B2C2D2. 
 
 Por m, tracemos pelos segmentos AA3 e CC3 planos perpendiculares ao plano 
ABA3B3, obteremos o paralelepípedo retângulo ABCDA2B2C2D2. 
 Figura: Paralelepípedo oblíquo ABB4A4A3B3C3D3. 
 O volume do paralelepípedo retângulo é igual ao produto de suas dimensões lineares. O 
produto de duas dimensões lineares é a área da sua base e a terceira dimensão é sua altura. Logo, o 
volume do paralelepípedo retângulo é igual ao produto da área de sua base pela altura. Portanto, o 
volume de todo paralelepípedo é igual ao produto da área base pela sua altura. 
 Volume de um Prisma 
 O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base por sua altura. 
 
 Prova: Consideremos o volume de um prisma de base triangular ABC. Complementemos o 
prisma como indica a Figura seguinte. O ponto O é o centro de simetria do paralelepípedo. Por isso, 
o prisma agregado é simétrico ao ponto O e, por isso, seu volume é igual ao volume do prisma 
inicial. O volume do paralelepípedo construído é o dobro do volume do prisma inicial, que é igual 
ao produto da área da sua base pela altura. 
 Figura: Paralelepípedo de base triangular. 
 A área da base é igual a área duplicada do triângulo ABC e a altura é igual a altura do 
prisma inicial. Daqui deduzimos que o volume do prisma inicial é igual ao produto da área da base 
pela altura. 
 Consideremos agora um prisma qualquer cuja base é um polígono de base n e altura h. 
Neste caso, o polígono pode ser dividido em n − 2 triângulos, formando assim n − 2 prismas de base 
triangular, como mostra a Figura abaixo. 
 Figura: Prisma qualquer. 
Logo, o volume do prisma é igual a somas dos volumes dos prismas, ou seja 
V=AA1A2A3 ·h+AA1A3A4 ·h+···+AA1An−1An ·h. 
 Como h é um fator comum a todos os termos. Sendo assim, como 
V = AA1A2A3 + AA1A3A4 + · · · + AA1An−1An = Abase. 
Portanto, segue que 
V=Abase ·h.